竇凇耀，陳映，陳燕，劉政瑋

（北京無(wú)線電測(cè)量研究所，北京 100854）

0 引言

在現(xiàn)代防御當(dāng)中，只有獲得目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)特征的高精度估計(jì)才能有效提高對(duì)目標(biāo)攔截的概率。但是非合作目標(biāo)機(jī)動(dòng)性的增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)特征（加速度）的估計(jì)帶來(lái)了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)［1-2］。傳統(tǒng)的單站雷達(dá)通過(guò)選擇合適的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型和濾波估計(jì)方法來(lái)提升對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)精度。常用的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型可以分為兩類，一類是單模型，另一類是多模型。單模型有CA（constant acceleration）模型、CT（coordinated turning）模型、Singer 模型、“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型以及將目標(biāo)機(jī)動(dòng)加加速度描述為一階時(shí)間相關(guān)過(guò)程的Jerk 模型等［3-6］。多模型算法的模型集合由單模型構(gòu)成，交互多模型算法（interactive multiple model，IMM）被認(rèn)為是目前機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤最有效的方法之一［7-8］。由于傳統(tǒng)IMM 算法的模型集合是固定不變的，為了有效提升模型集合對(duì)目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)模式的匹配度，出現(xiàn)了模型集合可以自適應(yīng)調(diào)整的變結(jié)構(gòu)交互多模算法［9-12］。

由于雷達(dá)獲得的量測(cè)信息一般是在球坐標(biāo)系中進(jìn)行描述的，所以需要用到非線性的濾波方法。常用的非線性濾波估計(jì)方法有擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）、無(wú)敏卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）等［13-14］。除此之外，還有適用于非高斯情形的容積卡爾曼濾波（cubature Kalman filter，CKF）和在線調(diào)整狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的強(qiáng)跟蹤濾波器（strong tracking filter，STF）等［4，15］。

單站雷達(dá)對(duì)目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)特征的估計(jì)精度較差，因?yàn)閱卫走_(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法都是對(duì)上述常規(guī)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的修正，但是對(duì)于非合作目標(biāo)而言，通過(guò)運(yùn)動(dòng)模型修正的方式始終是有缺陷的，因?yàn)槭冀K不知道目標(biāo)對(duì)象如何機(jī)動(dòng)。本文側(cè)重從多雷達(dá)探測(cè)結(jié)合徑向速度增廣量測(cè)的角度來(lái)研究目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)特征估計(jì)精度的提升［16］。

1 集中式雷達(dá)組網(wǎng)目標(biāo)跟蹤算法

假設(shè)在集中式的雷達(dá)組網(wǎng)中有N個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)，這N個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)分別位于不同的位置，共同組成一個(gè)探測(cè)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)雷達(dá)節(jié)點(diǎn)將量測(cè)信息直接發(fā)送到融合中心［17］。本文假設(shè)雷達(dá)的數(shù)據(jù)采集速率相同但開(kāi)機(jī)時(shí)刻不同，在忽略通信時(shí)延的情況下，由融合中心采用序貫無(wú)跡卡爾曼濾波算法進(jìn)行信息融合［18-19］。

1.1 序貫無(wú)跡卡爾曼濾波

在直角坐標(biāo)系下將目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程定義為

式中：F為CA 模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；Wk為過(guò)程噪聲。

目標(biāo)的狀態(tài)向量為

式中：xk，yk，zk分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的位置；˙ 分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的速度分別為目標(biāo)在X，Y，Z方向上的加速度。

式中：T為雷達(dá)采樣間隔；?為矩陣直積的運(yùn)算符號(hào)。

在雷達(dá)坐標(biāo)系下將量測(cè)方程定義為

式中：Pr為雷達(dá)的位置坐標(biāo)；Vk為量測(cè)噪聲；h(·)為目標(biāo)的非線性量測(cè)函數(shù)，具體表示如下：

假設(shè)已知k時(shí)刻系統(tǒng)的融合估計(jì)值為，對(duì)應(yīng)的融合協(xié)方差陣為。根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程和量測(cè)方程可以得到系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的一步預(yù)測(cè)為

式中：k1為第1 個(gè)量測(cè)到達(dá)的時(shí)刻，各個(gè)傳感器之間在不同時(shí)刻的量測(cè)噪聲互不相關(guān)。在融合中心按照量測(cè)到達(dá)的時(shí)刻，利用UKF 對(duì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行序貫濾波更新，第1 個(gè)到達(dá)的量測(cè)對(duì)融合中心狀態(tài)估計(jì)值的更新為

后續(xù)到達(dá)的第i個(gè)量測(cè)(1 ＜i≤N)對(duì)融合中心的狀態(tài)估計(jì)值的更新為

k+1 時(shí)刻系統(tǒng)的融合估計(jì)值，對(duì)應(yīng)的協(xié)方差陣

1.2 帶徑向速度的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)CRLB（Cramer-Rao lower bound）

量測(cè)函數(shù)中的徑向速度表達(dá)式［20］為

一般雷達(dá)的量測(cè)為距離，方位角和俯仰角，為了提升機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的跟蹤精度，增加徑向速度維量測(cè)，構(gòu)造量測(cè)向量為Zk= (rk，ak，ek，vrk)T，其中rk為距離，ak是方位角，ek是俯仰角，vrk是徑向速度。

由式（9）得到新的量測(cè)函數(shù)為

帶徑向速度的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)CRLB 為

從式（11）中可以看出，想要求出J-1的解析式需要對(duì)一個(gè)9×9 的矩陣求逆，較為困難，但是從式（11）可以看出

速度估計(jì)CRLB 取J-1的速度項(xiàng)對(duì)應(yīng)的部分，引入徑向速度維之后速度估計(jì)CRLB 的增加項(xiàng)為可以看出速度估計(jì)CRLB 的精度提升為。增加徑向速度維量測(cè)有效地提升了速度估計(jì)的精度，進(jìn)一步提升了目標(biāo)加速度的估計(jì)精度。

1.3 雙傳感器的幾何精度因子（geometry dilution of precision，GDOP）

根據(jù)每個(gè)傳感器的Fisher 矩陣Ji可以得到雙傳感器狀態(tài)估計(jì)的CRLB 為

為了討論的方便，只考慮目標(biāo)的距離信息rk和方位角信息ak，則

取位置估計(jì)CRLB 的跡作為雙傳感器的GDOP［21］，雙傳感器的GDOP 圖見(jiàn)圖1。

圖1 雙傳感器的GDOP 圖Fig. 1 Dual sensor GDOP diagram

圖1 中雷達(dá)視線夾角是雷達(dá)與目標(biāo)之間視線的夾角，從圖1 中可以看出雷達(dá)視線夾角在60°～120°，目標(biāo)的GDOP 值較小，GDOP 值越小代表著估計(jì)的精度也就越高，因此雷達(dá)與目標(biāo)之間視線的夾角應(yīng)盡可能地保持在60°～120°。

2 仿真校驗(yàn)

本文模擬一段目標(biāo)機(jī)動(dòng)的三維場(chǎng)景，然后采用3 部相同的雷達(dá)在不同位置以集中式的方法進(jìn)行組網(wǎng)，采用序貫無(wú)跡卡爾曼濾波算法對(duì)3 部雷達(dá)的跟蹤結(jié)果進(jìn)行融合。

分3 個(gè)方向?qū)δ繕?biāo)運(yùn)動(dòng)建模為X= 3 000t+500 000；Y= 20 000 sin (wt) + 700 000（w= π/120）；Z= 9 000 000，t從0 到540 s。

假設(shè)有3 個(gè)雷達(dá)同時(shí)跟蹤該運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。3 部雷達(dá)的量測(cè)誤差均相同，雷達(dá) 1 的位置為(200 000，700 000，0)； 雷 達(dá) 2 的 位 置 為[650 000，900 000，0]； 雷 達(dá) 3 的 位 置 為[1 200 000，500 000，0]（單位均為m）。3 部雷達(dá)量測(cè)周期都是0.6 s，但是3 部雷達(dá)的開(kāi)機(jī)時(shí)間不同，之間相差0.2 s。雷達(dá)1，2，3 依次開(kāi)機(jī)。目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2 所示。圖2 中目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡上的三角代表目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方向，圓圈代表結(jié)束跟蹤時(shí)刻目標(biāo)的位置。運(yùn)動(dòng)軌跡下方的三角代表雷達(dá)。目標(biāo)真實(shí)的加速度如圖3 所示。

圖2 目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig. 2 True trajectory of the target

圖3 目標(biāo)真實(shí)加速度Fig. 3 True target acceleration

2.1 量測(cè)精度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)影響

2.1.1 測(cè)距精度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的影響

在固定測(cè)角精度為0.3°的情況下，研究測(cè)距精度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的影響。

3 部雷達(dá)均采用三維的CA 模型對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。3 部雷達(dá)屬于同一型號(hào)雷達(dá)，量測(cè)誤差均相等，單個(gè)雷達(dá)對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)誤差和融合后的加速度估計(jì)誤差如圖4 所示。

圖4 不同測(cè)距精度下雷達(dá)的加速度誤差對(duì)比Fig. 4 Comparison of radar acceleration error under different ranging accuracy

從圖4 可以看出，測(cè)距精度從100 m 增加到10 m，增加了10 倍，對(duì)單個(gè)雷達(dá)的加速度估計(jì)誤差的影響不是很明顯。但是測(cè)距精度增大10 倍以后，融合估計(jì)的加速度項(xiàng)誤差明顯增加。通過(guò)以上的仿真實(shí)驗(yàn)可以說(shuō)明機(jī)動(dòng)目標(biāo)的融合估計(jì)加速度精度對(duì)距離量測(cè)精度敏感，下面繼續(xù)研究機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度精度對(duì)測(cè)角精度的敏感性。

2.1.2 測(cè)角精度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度估計(jì)影響

在固定距離量測(cè)精度為10 m 的情況下，對(duì)比測(cè)角精度為0.3°和0.03°對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的影響。仿真結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 不同測(cè)角精度下雷達(dá)加速度項(xiàng)誤差對(duì)比Fig. 5 Comparison of radar acceleration error under different angle measurement accuracy

從圖5 中看出，測(cè)角精度從0.3°提升到0.03°，精度提升了10 倍，單個(gè)雷達(dá)加速度項(xiàng)估計(jì)均得到了明顯提升。但是經(jīng)過(guò)融合估計(jì)之后，加速度誤差在測(cè)角精度變化前后，變化并不明顯。這樣的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明該雷達(dá)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)精度對(duì)于測(cè)角誤差并不敏感，改進(jìn)雷達(dá)的測(cè)角精度無(wú)法進(jìn)一步有效提升機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度估計(jì)精度。

2.2 徑向速度輔助的機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)

從2.1 節(jié)的仿真可以看出，采用雷達(dá)組網(wǎng)具有很強(qiáng)的抗干擾性能，即使單個(gè)雷達(dá)的跟蹤誤差很大，融合后的跟蹤精度依舊很高，但是機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度對(duì)雷達(dá)的測(cè)角精度并不敏感。為了進(jìn)一步提升機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度估計(jì)精度，在量測(cè)中增加徑向速度維。

在固定測(cè)角精度為0.03°，測(cè)距精度為10 m 的情況下，研究徑向速度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的影響，徑向速度的誤差為0.5 m/s。

在有無(wú)徑向速度輔助跟蹤的情況下，對(duì)比加速度項(xiàng)估計(jì)誤差，如圖6 所示。

圖6 有無(wú)徑向速度量測(cè)下雷達(dá)的加速度誤差對(duì)比Fig. 6 Comparion of radar acceleration error with or without radial velocity measurement

從圖6 可以看出，增加了徑向速度維以后，對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度項(xiàng)估計(jì)精度明顯提升了，在無(wú)徑向速度維時(shí)，加速度估計(jì)誤差的均值為3 m/s2。在加入徑向速度量測(cè)之后，加速度估計(jì)誤差的均值下降到了1.7 m/s2。這說(shuō)明增加了量測(cè)維度使得機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度估計(jì)精度得到了明顯的提升。為了進(jìn)一步提升對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的估計(jì)精度，對(duì)雷達(dá)站的布局進(jìn)行優(yōu)化。

2.3 雷達(dá)布站對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的影響

雷達(dá)組網(wǎng)中，除了數(shù)據(jù)融合算法、雷達(dá)探測(cè)性能會(huì)對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)產(chǎn)生影響之外，雷達(dá)站與跟蹤目標(biāo)之間的幾何位置也會(huì)對(duì)目標(biāo)的加速度估計(jì)產(chǎn)生影響，為了進(jìn)一步提升機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的估計(jì)精度，將雷達(dá)布站進(jìn)行優(yōu)化如圖7，雷達(dá)布站優(yōu)化以后的加速度估計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖8。優(yōu)化之后的雷達(dá)站點(diǎn)：雷達(dá)1 的位置為(-300 000，-1600 000，0)；雷達(dá)2的位置為(1 300 000，3 000 000，0)；雷達(dá)3 的位置為(2 900 000，-1 600 000，0)。

圖7 雷達(dá)布站俯視圖Fig. 7 Top view of radar stations

圖8 雷達(dá)布站優(yōu)化前后加速度估計(jì)的誤差對(duì)比Fig. 8 Error comparison of acceleraion estimation before and after radar station optimization

從圖7 中可以看出優(yōu)化前雷達(dá)1 和雷達(dá)3、雷達(dá)2 的視線夾角在不斷地減小至40°以下，雷達(dá)2 和雷達(dá)3 的視線夾角一直在140°～180°，3 部雷達(dá)的視線范圍始終沒(méi)有達(dá)到最優(yōu)。但是優(yōu)化后可以保證雷達(dá)1 和雷達(dá)3 的視線夾角在90°～120°，滿足60°～120°的最優(yōu)位置范圍。從圖8 可以看出經(jīng)過(guò)雷達(dá)布站的優(yōu)化過(guò)后，機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的融合估計(jì)精度得到了明顯的提高，誤差的均值達(dá)到了0.9 m/s2。圖8的仿真結(jié)果充分證明了雷達(dá)站布局對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)有著十分重要的影響。

將不同實(shí)驗(yàn)條件下，雷達(dá)組網(wǎng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的估計(jì)結(jié)果匯總到表1。從表1 可以看出測(cè)距精度對(duì)目標(biāo)加速度估計(jì)誤差的影響最大，其次是徑向速度和雷達(dá)站的布局，最后是測(cè)角精度。由于測(cè)角精度對(duì)目標(biāo)加速度估計(jì)精度的影響較小，在忽略角度量測(cè)后，目標(biāo)加速度的估計(jì)精度幾乎不變。

表1 不同優(yōu)化條件下機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)精度Table 1 Acceleration estimation accuracy of maneuvering target under different optimation conditions

3 結(jié)束語(yǔ)

雷達(dá)組網(wǎng)可以有效克服單個(gè)雷達(dá)的缺陷，提升目標(biāo)跟蹤的精度和穩(wěn)定性，這是因?yàn)樵诙嗬走_(dá)探測(cè)的情況下采用序貫無(wú)跡卡爾曼濾波的方式進(jìn)行信息融合，相當(dāng)于增加了雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的數(shù)據(jù)采集速率，因此加速度的估計(jì)精度得到了提升。在本文的仿真實(shí)驗(yàn)中，距離量測(cè)精度對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度融合估計(jì)精度的影響比角度量測(cè)精度更大。為了進(jìn)一步提升對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度的估計(jì)精度，除了進(jìn)一步提升測(cè)距精度以外，還可以引入徑向速度作為新的一維量測(cè)。增加一維量測(cè)相當(dāng)于增加了一維對(duì)目標(biāo)的觀測(cè)視角，自然可以增加對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的信息量，進(jìn)而提升估計(jì)精度?？梢钥闯?，在徑向速度輔助下，機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)精度得到了很大的提升。除此之外，雷達(dá)站的布局和目標(biāo)之間的相對(duì)幾何關(guān)系也會(huì)對(duì)觀測(cè)精度造成影響，對(duì)雷達(dá)站的布局進(jìn)行優(yōu)化之后，加速度的估計(jì)精度可以再一次得到明顯提升。雷達(dá)組網(wǎng)結(jié)合徑向速度增廣量測(cè)有效獲得了目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)特征的高精度估計(jì)。