雷力軍，王志文

（中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津300222）

引言

高程測(cè)量是工程測(cè)量中的重要一環(huán)，在施工放樣、變形監(jiān)測(cè)、地基勘察等項(xiàng)目中往往涉及到高程測(cè)量，已是測(cè)繪者必須掌握的測(cè)繪技能之一。目前高程測(cè)量主要采用的方法為水準(zhǔn)測(cè)量[1]，該方法測(cè)定的高程精度最佳，是精密工程測(cè)量、高級(jí)控制網(wǎng)普遍采用的方法。但水準(zhǔn)測(cè)量也有突出的缺點(diǎn)，水準(zhǔn)測(cè)量的工作量大、參與人員多、成本高、測(cè)量耗時(shí)長、測(cè)量工作進(jìn)展十分緩慢，特別在高地、山區(qū)等地表起伏比較大的地區(qū)顯得尤為突出，因此尋找出一種靈活、便捷、成本低、受地形限制少的高程測(cè)量手段，一直是測(cè)量領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)、難點(diǎn)[2]。

三角高程測(cè)量具有水準(zhǔn)測(cè)量無法企及的優(yōu)點(diǎn)，它具有測(cè)量速度快、耗時(shí)短、方便靈活、視線長、小成本、減小系統(tǒng)誤差累計(jì)、受地形影響小等優(yōu) 勢(shì)[3-5]。因此研究分析三角高程測(cè)量能夠達(dá)到怎樣的精度水平以及在什么條件下可以取代水準(zhǔn)測(cè)量，這些問題這在實(shí)際工作中顯得尤為突出，是我們測(cè)量工作者必須攻克的難點(diǎn)。

1 中間法三角高程測(cè)量原理和誤差改正

1.1 中間法三角高程測(cè)量原理

三角高程測(cè)量在以前就被提出，但由于當(dāng)時(shí)的測(cè)量技術(shù)落后，測(cè)量儀器的測(cè)角、測(cè)距誤差很大，因此該方法沒被重視。隨著測(cè)繪技術(shù)的發(fā)展，測(cè)量儀器越來越精密、精度越來越高尤其是測(cè)角、測(cè)距精度有了長足提升，這使得三角高程測(cè)量技術(shù)成為了可能，在測(cè)量精度方面能夠達(dá)到水準(zhǔn)測(cè)量水平[6-8]。此外，三角高程測(cè)量靈活、方便、高效、受地形限制少的特點(diǎn)，使得三角高程方法具有廣闊的推廣前景以及市場(chǎng)價(jià)值，其測(cè)量原理圖如下[9]。

圖1 中間法三角高程測(cè)量示意圖Fig.1 Principles of elevation survey by Trigonometric Leveling using midway-method

假設(shè)在地面上存在兩點(diǎn)A 和B，將全站儀架設(shè)在AB 中間位置C 點(diǎn)，在A、B 兩點(diǎn)安裝覘標(biāo)。使用全站儀照準(zhǔn)B 點(diǎn)的覘標(biāo)，測(cè)量出垂直角αCB、CB兩點(diǎn)之間的斜距測(cè)量值SCB、全站儀高i和B 點(diǎn)覘標(biāo)高vB，然后再使用全站儀照準(zhǔn)A 點(diǎn)的覘標(biāo)，測(cè)量出垂直角αCA以及CA 之間的斜距測(cè)量值SCA和A點(diǎn)覘標(biāo)高vA。則通過幾何計(jì)算可以分別得到CB 和CA 之間的高差值：

由上述兩式可得A、B 兩點(diǎn)之間的高差：

若是在A、B 兩點(diǎn)上的覘標(biāo)高度一致，公式（3）可以進(jìn)化成如下：

由公式（4）可知，測(cè)量結(jié)果消除了全站儀高i和A、B 點(diǎn)覘標(biāo)高v對(duì)高差測(cè)量有影響，提高了觀測(cè)精度。

1.2 球氣差改正

1）球氣差改正原理

三角高程測(cè)量一般把水準(zhǔn)面看作平面，把視線作為直線。然而大地水準(zhǔn)面是曲面而不是直線，因此地球曲率必然會(huì)給高差測(cè)量造成誤差尤其兩觀測(cè)點(diǎn)之間的距離比較遠(yuǎn)時(shí)，該誤差尤為突出。當(dāng)光線通過密度不一致的空氣時(shí)，光線不會(huì)在沿直線傳播而會(huì)發(fā)生折射，也就是從儀器出發(fā)的光線到目標(biāo)點(diǎn)之間的路線不是直線，而是一條既有曲率又有撓率的復(fù)雜空間曲線[1,2]，地球曲率和大氣折射的影響原理如圖2 所示。

圖2 地球曲率和大氣折光的影響原理圖Fig.2 Principle of the influence of Earth curvature and atmospheric refraction

如圖2 所示，假設(shè)地面上存在兩點(diǎn)A 和B，把全站儀架設(shè)在A 點(diǎn)，量取儀器高為i1；在B 點(diǎn)架設(shè)硯標(biāo)，并測(cè)量硯標(biāo)高度v2；然后使用全站儀照準(zhǔn)硯標(biāo)獲取水平距離S0。

圖2 中，PC 線段代表全站儀所提供的水平視線；PN 曲線代表光線從全站儀望遠(yuǎn)鏡出發(fā)到目標(biāo)點(diǎn)的傳播路徑；PM 代表的是過點(diǎn)P 的曲線PN 的切線；PE、AF 曲線分別代表過P 點(diǎn)和A 點(diǎn)的水準(zhǔn)面；R 代表的是參考橢球面的曲率半徑。

當(dāng)架設(shè)在A 點(diǎn)的全站儀，其望遠(yuǎn)鏡照準(zhǔn)的方向與線段PM 重合時(shí)，由于光線受到大氣折射的影響，其傳播路徑并不會(huì)沿著線段PM 而是會(huì)沿著曲線PN 傳播，此時(shí)的N 點(diǎn)正好會(huì)落在望遠(yuǎn)鏡的橫絲上，換言之，架設(shè)在A 點(diǎn)的全站儀所測(cè)的垂直角為P 點(diǎn)與M 點(diǎn)之間的垂直角為α12。

由圖2 可明確的計(jì)算出地面兩點(diǎn)A、B 之間的高差的計(jì)算公式：

在公式（5）中，EF代表的是全站儀儀器高i1；NB代表的是硯標(biāo)高度v2；CE代表地球曲率對(duì)高差影響的改正值；MN代表大氣折射對(duì)高差測(cè)量的影響改正值；

地球曲率和大氣折光對(duì)測(cè)量的影響改正值的影響改正計(jì)算公式如下：

公式（7）中的R′表示的是曲線PN在點(diǎn)N處的曲率半徑。在此，設(shè)(K 表示大氣折光系數(shù))，因此可以得到：

在進(jìn)行三角高程測(cè)量時(shí)，由于點(diǎn)A 和B 之間的距離一般不會(huì)很長，因此，AB 之間的水平距離S0與曲率半徑之間的比值比較小，因此可以認(rèn)為PC垂直O(jiān)M，換言之，∠PCM≈90°。所以三角形ΔPCM可以認(rèn)為是直角三角形，因此公式（5）中的MC可以表達(dá)如下：

公式（11）中S0表示的是高斯平面上的水平距離，當(dāng)測(cè)量儀器測(cè)量的距離為斜距S 時(shí)，其高差計(jì)算公式為：

2）球氣差對(duì)測(cè)高的影響值

由公式（12）可知，球氣差對(duì)測(cè)量高差的影響除了受到測(cè)距的影響之外，還會(huì)受到垂直角的影響。為了獲知當(dāng)球氣差對(duì)測(cè)量高程的影響程度，本文計(jì)算了球氣差改正值隨著測(cè)距長度和垂直角變化的變化值，由圖3 所示。在計(jì)算過程中，取大氣折射系數(shù)取值為0.12。

圖3 球氣差對(duì)測(cè)量高程的影響值Fig.3 The influence value of Refraction abnormity on measuring elevation

從圖3 可以明顯的看出，當(dāng)斜距一定時(shí)，球氣差對(duì)測(cè)量高差的影響隨著垂直角的增加而減小。當(dāng)垂直角一定時(shí)，球氣差對(duì)測(cè)量高差的影響隨著斜距的增加而增大。當(dāng)斜距小于100 m 時(shí)，地球曲率對(duì)測(cè)量高差的影響不受垂直角的影響，當(dāng)垂直角大于85 °時(shí)（斜距小于1 000 m），此時(shí)地球曲率對(duì)測(cè)量高差的影響可以忽略不計(jì)。

2 中間法三角高程測(cè)量精度分析

2.1 中間法三角高程測(cè)量中誤差求解

由上述公式可知中間法三角高程測(cè)量的計(jì)算公式如下：

如果兩棱鏡高的高度相同，則公式（13）則可進(jìn)一步得：

公式（15）中，α1、α2表示前視后視的垂直角；S1、S2表示前視后視的斜距；忽略其中的微小項(xiàng)可得如下：

佛性是佛教理論中的基本觀念，這一觀念無論在印度佛教還是中國佛教發(fā)展史上都具有重要影響。諸多佛教經(jīng)典都有過對(duì)佛性的相關(guān)論述，也有不少佛教流派或宗派對(duì)佛性做出過種種解釋。佛性含義十分豐富，內(nèi)容也極為復(fù)雜，本文所指佛性為大乘佛教中普遍接受的思想，基于大乘佛教佛性論中一切眾生皆有佛性，一切眾生皆可成佛的觀點(diǎn)，在成佛之路以及由佛性引發(fā)的現(xiàn)世價(jià)值方面做一基本闡述。

由公式（16）中可以看到S1?cosα1以 及S2?cosα2，該兩個(gè)變量分別表示前后視距的平距，為了簡化誤差分析的復(fù)雜性，以平距來表示測(cè)距誤差，則公式（16）可改為如下所示：

由公式（17）可以得知：在進(jìn)行中間法三角高程測(cè)量時(shí)誤差來源分為平距測(cè)量、豎直角測(cè)量和K值的誤差，它們對(duì)高差的影響分別如下：

2.2 中間法三角高程測(cè)量中誤差的變化情況

為探索中間法三角高程測(cè)量中誤差的變化情況以及其能夠達(dá)到怎樣的精度水平?，F(xiàn)取兩倍的中誤差作為極限誤差，也就是 Δ限=2mh，與有關(guān)規(guī)范中規(guī)定的三、四等水準(zhǔn)測(cè)量限差進(jìn)行比較。在實(shí)際應(yīng)用中由于視線等問題，測(cè)量時(shí)前后兩棱鏡高度不可能一直保持相同，故首先考慮前后兩棱鏡高度不一致的情況，根據(jù)公式（13），由誤差傳播定理可得：

此時(shí)的中間法三角高程測(cè)量中誤差平方中包含測(cè)角中誤差、測(cè)距中誤差以及大氣折射中誤差和棱鏡測(cè)高誤差，因此影響中間法三角高程測(cè)量中誤差的因素有：測(cè)距、測(cè)角、大氣折射和棱鏡測(cè)高。

就目前常規(guī)的全站儀精度而言，其測(cè)距精度一般為±（1+1× 10-6D）～（5+5× 10-6D），其中D 表示測(cè)距長度（單位：km），而測(cè)角精度一般為±0.5”～6.0”。對(duì)于全站儀高以及棱鏡高的量取，一般采用卡尺進(jìn)行測(cè)量，當(dāng)要求的精度比較高時(shí)，可以采用測(cè)桿量取。大氣折射系數(shù)K 的誤差一般在±0.03～0.05 之間。在本論文中選取全站儀的測(cè)距精度為±（2+2× 10-6D）、測(cè)角精度為2”、大氣折射系數(shù)誤差為±0.04、儀器高和目標(biāo)高的測(cè)量誤差為±2 mm，以這些指標(biāo)進(jìn)行本文論的理論研究。

現(xiàn)取兩倍的中誤差作為極限誤差，Δ限=2mh，與三、四等水準(zhǔn)測(cè)量限差比較。

由表1 可以看出：中間法三角高程測(cè)量的中誤差受到測(cè)距、測(cè)角的影響，當(dāng)測(cè)距越小、垂直角越小，則中間法三角高程測(cè)量精度越高。因此，為了提高測(cè)高精度，在進(jìn)行中間法三角高程測(cè)量時(shí)盡量縮短測(cè)距和測(cè)角。由表1 可以看出，測(cè)距在800 m以內(nèi)時(shí)，中間法三角高程測(cè)量可以滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求。

表1 中間法三角高程測(cè)量極限誤差與三、四等水準(zhǔn)測(cè)量限差對(duì)比Tab.1 Comparison of the Limit Errors of Intermediate Trigonometric Elevation Measurement with the Limit Errors of Third and Fourth Leveling Measurement

由表1 中的結(jié)果也可以看出，當(dāng)測(cè)距一定時(shí)，測(cè)距中誤差對(duì)測(cè)量中誤差的影響隨著垂直角的增加而增加，而當(dāng)垂直角一定的時(shí)，測(cè)距中誤差對(duì)測(cè)量中誤差的影響隨著測(cè)距的增加而增加。

3 工程實(shí)例應(yīng)用

我公司于2022 年承擔(dān)了北方某港口泊位及航道水深測(cè)量項(xiàng)目，項(xiàng)目中臨時(shí)驗(yàn)潮站高程需從附近高程控制點(diǎn)（A 點(diǎn)）進(jìn)行引測(cè)，但在進(jìn)行驗(yàn)潮站高程引測(cè)之前，需對(duì)A 點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行檢測(cè)，距離A點(diǎn)最近的另一個(gè)高程控制點(diǎn)（B 點(diǎn)）相距為4.5 km。AB 高程控制點(diǎn)間有半島山地、地形高差起伏較大，又需經(jīng)過回填區(qū)域，回填區(qū)內(nèi)常有溝溝坎坎的復(fù)雜地形，采用常規(guī)水準(zhǔn)測(cè)量方法進(jìn)行高程控制點(diǎn)檢測(cè)勢(shì)必費(fèi)時(shí)費(fèi)力，為加快工期進(jìn)度及節(jié)約人力、物力等各項(xiàng)生產(chǎn)成本，本項(xiàng)目高程控制點(diǎn)檢測(cè)采用中間法三角高程測(cè)量方法進(jìn)行。

使用徠卡TCA 2003 全站儀進(jìn)行測(cè)量，其精度指標(biāo)如下：

測(cè)角精度：±0.5″；

測(cè)距精度：±(1+1× 10-6D) mm；

D 代表距離單位為km，具有目標(biāo)自動(dòng)照準(zhǔn)功能。

在進(jìn)行中間法三角高程測(cè)量時(shí)，盡量把全站儀架設(shè)在兩測(cè)點(diǎn)中間，采用兩個(gè)觀測(cè)測(cè)回，即(盤左)– 前(盤左) -前(盤右)– 后(盤右)的測(cè)量程序。為減小外界環(huán)境對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，選取下午2 h 至4 h進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，這個(gè)時(shí)間段觀測(cè)條件比較穩(wěn)定，可以提高數(shù)據(jù)采集的質(zhì)量，減小測(cè)量誤差，高差檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表見表2。

表2 高差檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Statistical table for height difference detection

由表2 數(shù)據(jù)可知高程控制點(diǎn)穩(wěn)定，可作為高程起算點(diǎn)使用。同時(shí)驗(yàn)證了中間法三角高程測(cè)量可在實(shí)際工程中能代替四等水準(zhǔn)測(cè)量，滿足日常測(cè)量需要。

4 結(jié)語

本文分析了中間法三角高程的基本原理、誤差來源和改正模型。在理論證明了其測(cè)量精度可達(dá)四等水準(zhǔn)測(cè)量，并通過具體實(shí)際工程應(yīng)用驗(yàn)證了中間法三角高程測(cè)量的可行性，可滿足日常測(cè)量工作需要。