榮譽 陳剛 豆天賜

摘要 ：為提高機械臂作業(yè)效率以及抗沖擊能力，提出了一種綜合最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。首先通過建立3-5-3多項式曲線數(shù)學(xué)模型構(gòu)造出端點運動參數(shù)可控的關(guān)節(jié)運動軌跡；然后考慮關(guān)節(jié)位置、速度、加速度等約束條件，通過加權(quán)系數(shù)法定義目標(biāo)函數(shù)，使機械臂的動作時間、沖擊和靈巧度達(dá)到綜合最優(yōu)，在目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計中采用動態(tài)加權(quán)方法來處理關(guān)節(jié)速度與沖擊之間的矛盾；最后，針對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，利用拉丁超立方抽樣函數(shù)均勻化種群， 并提出隨機慣性權(quán)重更新策略，得到改進(jìn)粒子群算法，利用該算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到綜合最優(yōu)運動軌跡。進(jìn)行了仿真和樣機實驗，實驗結(jié)果證明所提方法具有可行性。

關(guān)鍵詞 ：工業(yè)機器人；軌跡規(guī)劃；多目標(biāo)優(yōu)化；粒子群算法

中圖分類號 ：TP241.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.015

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

A Multi Index Comprehensive Optimal Anti Impact Trajectory

Planning Method

RONG Yu ?1，2 ?CHEN Gang 2 DOU Tianci ?1，2

1.School of Vehicle and Energy，Yanshan University，Qinhuandao，Hebei，066004

2.Hebei Key Laboratory of Special Transport Equipment，Qinhuangdao，Hebei，066004

3.College of Mechanical and Electrical Engineering，Hebei Normal University of Science &

Technology，Qinhuangdao，Hebei，066004

Abstract ： A comprehensive optimal trajectory planning method was proposed to improve the efficiency and impact resistance of robotic arms. Firstly， by establishing a 3-5-3 polynomial curve mathematical model， a joint motion trajectory with controllable endpoint motion parameters was constructed. Secondly， considering constraints such as joint position， velocity， and acceleration， the objective function was defined using the weighted coefficient method to achieve a comprehensive optimization of the action time， impact， and dexterity of the robotic arm. The dynamic weighting method was used in the design of the objective function to address the contradiction between joint velocity and impact. Finally， for the standard particle swarm optimization algorithm， the Latin hypercube sampling function was used to homogenize the population， and a random inertia weight update strategy was proposed to obtain an improved particle swarm algorithm. This algorithm was used to optimize the objective function and obtain the comprehensive optimal motion trajectory. Simulation and prototype experiments were conducted， and the experimental results demonstrate the feasibility of the proposed method.

Key words ： industrial robot; trajectory planning; multi objective optimization; particle swarm optimization（PSO）

0 引言

軌跡規(guī)劃是工業(yè)機器人完成作業(yè)任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)，其主要步驟如下：首先采用多項式插值或樣條曲線插值構(gòu)造關(guān)節(jié)空間運動軌跡，然后通過智能算法對構(gòu)造的軌跡曲線進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)不同的工作任務(wù)，軌跡優(yōu)化有不同的選擇方案，主要分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化。

單目標(biāo)優(yōu)化主要有以下幾種：①時間最優(yōu)軌跡優(yōu)化，可以最小化作業(yè)時間進(jìn)而提高生產(chǎn)效率；②能量最優(yōu)軌跡優(yōu)化，可以在降低機器能耗的同時減少機械臂的應(yīng)力作用；③沖擊最優(yōu)軌跡優(yōu)化，可以減小沖擊，延長機器人的使用壽命。ZHANG等 ?［1］ 用五次多項式構(gòu)造軌跡曲線，應(yīng)用改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而實現(xiàn)時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃。HE等 ?［2］ 將機械手的時間最優(yōu)路徑規(guī)劃（time-optimal trajectory planning， TOTP） 問題轉(zhuǎn)化為多約束條件下的非線性最優(yōu)值搜索問題，提出了一種基于模糊控制的時間搜索算法來求解時間最優(yōu)軌跡。HUANG等 ?［3］ 提出了一種粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization， PSO）算法來搜索具有動力學(xué)約束的空間機械臂全局時間最優(yōu)軌跡。李小為等 ?［4］ 提出了粒子群優(yōu)化速度約束下的時間最優(yōu) 3-5-3 多項式插值軌跡規(guī)劃方法。王成 ?［5］ ?在考慮機器人各關(guān)節(jié)速度、加速度、加加速度和力矩約束的情況下，應(yīng)用遺傳算法求解工業(yè)機器人能量最優(yōu)軌跡。ZHANG等 ?［6］ 提出了一種實用的時間最優(yōu)光滑軌跡規(guī)劃算法，該算法利用基于動力學(xué)模型的時間最優(yōu)理論規(guī)劃機器人的運動軌跡， 在幾何路徑和關(guān)節(jié)力矩約束下構(gòu)建軌跡優(yōu)化模型，在求解過程中動態(tài)選擇最優(yōu)軌跡參數(shù)，并利用輸入整形算法實現(xiàn)時間最優(yōu)光滑軌跡。胡智宇 ?［7］ 提出在關(guān)節(jié)空間采用五次多項式插補算法對各關(guān)節(jié)設(shè)計點到點的運動規(guī)劃，并用區(qū)間極大熵函數(shù)算法進(jìn)行沖擊最優(yōu)軌跡規(guī)劃。

多目標(biāo)優(yōu)化是指機器人兩個及以上的運動指標(biāo)達(dá)到綜合最優(yōu)。HE等 ?［8］ 提出了一種約束免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法（constraint immune multi-objective optimization algorithm， CIMOA），對工業(yè)機器人的總運行時間和總沖擊進(jìn)行尋優(yōu)計算。朱世強等 ?［9］ ?采用序列二次規(guī)劃方法求解最優(yōu)運動時間節(jié)點，進(jìn)而規(guī)劃出滿足非線性運動學(xué)約束的時間最優(yōu)脈動連續(xù)軌跡。徐海黎等 ?［10］ 采用基因環(huán)境雙演化免疫克隆算法對時間和能量的代價函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。HUANG等 ?［11］ 通過5階B樣條構(gòu)造軌跡曲線，然后采用非支配排序遺傳算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ， NSGA-Ⅱ）對整個軌跡行程時間和平均加加速度兩個目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。施祥玲等 ?［12］ 采用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化（multi-objective particle swarm optimization， MOPSO）算法，以工業(yè)機器人運行時間、能量消耗和軌跡脈動為目標(biāo)對其運動軌跡進(jìn)行優(yōu)化。呂鯤等 ?［13］ 將運行時間和關(guān)節(jié)角加加速度的積分和作為目標(biāo)函數(shù)，通過遺傳算法得到滿足運動學(xué)約束和動力學(xué)約束的時間、沖擊綜合最優(yōu)軌跡曲線。湯小紅等 ?［14］ 提出一種具有混沌尋優(yōu)的多目標(biāo)自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法，在綜合考慮時間、能耗、沖擊的情況下求解最優(yōu)軌跡。

由前文可知，國內(nèi)外研究人員采用的各種優(yōu)化方法非常豐富，優(yōu)化目標(biāo)也都相對完善，但以靈巧度最優(yōu)為目標(biāo)對工業(yè)機器人的運動軌跡進(jìn)行優(yōu)化的報道相對較少。對于任何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的機器人，靈巧度始終是一項衡量運動性能的重要指標(biāo)。機械臂若具有良好的靈巧度，則具有更好的運動控制能力，能夠更精準(zhǔn)地執(zhí)行任務(wù)。針對機械臂靈巧度量化問題，國內(nèi)外學(xué)者也開展了許多研究。于凌濤等 ?［15］ 通過分析機械臂雅可比矩陣奇異值、加權(quán)全域空間條件數(shù)均值與全域空間條件數(shù)波動值，建立了綜合靈巧度指標(biāo)。菅奕穎 ?［16］ 利用服務(wù)球理論，通過計算機械臂全部可到點構(gòu)成的點的集合與總點數(shù)的商來衡量機械臂靈巧度。楊玉維等 ?［17］ 采用雅可比逆矩陣的條件數(shù)來衡量并聯(lián)機器人的靈巧度。楊磊等 ?［18］ 采用速度雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)來衡量空間4SPS-PS并聯(lián)機構(gòu)的靈巧性。TCHON等 ?［19］ 采用內(nèi)生配置空間方法，提出了局部靈巧度和全局靈巧度兩個運動學(xué)靈巧度測量指標(biāo)，描述了內(nèi)生靈巧度測量相對于移動操作機器人傳統(tǒng)性能測量的優(yōu)勢，兩種靈巧度都用于確認(rèn)移動操作機器人的最優(yōu)配置和最優(yōu)幾何形態(tài)。

本文從提高工業(yè)機器人整體運動性能出發(fā)，以3-5-3多項式曲線模型進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的軌跡插值，通過加權(quán)系數(shù)法將總時間、總沖擊和靈巧度三個指標(biāo)整合為綜合指標(biāo)，以綜合指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)。同時，為獲得全局綜合最優(yōu)解，提出了一種改進(jìn)的粒子群算法， 以該算法對軌跡曲線進(jìn)行尋優(yōu)。最后通過仿真和樣機實驗來驗證所提方法的有效性。

1 機器人運動學(xué)建模

本文以FANUC M710iC50六自由度機械臂為研究對象，采用D-H表達(dá)法建立運動學(xué)模型。

1.1 機器人D-H坐標(biāo)的建立

通過D-H表示法對FANUC M710iC50六自由度機械臂建立運動學(xué)模型，明確各連桿之間的運動關(guān)系。圖1所示為機械臂各個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系定義。FANUC M710iC50六自由度機械臂的D-H 參數(shù)見表1，其中，α i為連桿扭角，a i為連桿長度，θ i為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，d i為關(guān)節(jié)偏置，i=1，2，…，6。

1.2 機器人正運動學(xué)建模

已知機械臂幾何參數(shù)和各連桿間的運動關(guān)系，采用齊次變換法求得從坐標(biāo)系{0}到坐標(biāo)系{i}的變換過程。按照機械臂坐標(biāo)系定義，連桿變換矩陣公式為

i-1 ???i ?T =

Rot （z ?i-1 ，θ i） Trans （z ?i-1 ，d i） Trans （x i，a i） Rot （x i，α i） （1）

其中， Rot （z ?i-1 ，θ i）、 Rot （x i，α i）為旋轉(zhuǎn)矩陣，分別表示繞坐標(biāo)系{i-1}的z軸旋轉(zhuǎn)θ i角度和繞坐標(biāo) 系{i}的x軸旋轉(zhuǎn)α i角度； Trans （z ?i-1 ，d i）、 Trans （x i，a i）為平移矩陣， 分別表示沿坐標(biāo)系{i-1}的z軸方向移動d i距離和沿坐標(biāo)系{i}的x軸方向移動a i距離。

由式（1）可以得到連桿齊次變換矩陣 ?i-1 ???i ?T 的通式：

i-1 ???i ?T =

cos ?θ i - sin ?θ i cos ?α i ?sin ?θ i sin ?α i a i cos ?θ i

sin ?θ i ?cos ?θ i cos ?α i - cos ?θ i sin ?α i a i sin ?θ i 0 ?sin ?α i ?cos ?α i d i 0 0 0 1 ??（2）

由式（2）可得相鄰兩坐標(biāo)系間變換矩陣 0 1 T ， 1 2 T ，…， 5 6 T ，故機器人的正運動學(xué)計算公 式為

0 6 T = 0 1 T 1 2 T 2 3 T 3 4 T 4 5 T 5 6 T = ?r ?11 ?r ?12 ?r ?13 ?p x r ?21 ?r ?22 ?r ?23 ?p y r ?31 ?r ?32 ?r ?33 ?p z 0 0 0 1 ??（3）

其中， ?i-1 ???i ?T 表示桿件i坐標(biāo)系向i-1坐標(biāo)系的齊次變換矩陣；r ?ij 為坐標(biāo)系{6}相對于坐標(biāo)系{0}的旋轉(zhuǎn)矩陣元素，描述坐標(biāo)系{6}相對于坐標(biāo)系{0}的姿態(tài)信息；p x、p y、p z為坐標(biāo)系{6}原點相對于坐標(biāo)系{0}原點的位置向量分量，描述坐標(biāo)系{6}原點相對于坐標(biāo)系{0}原點的位置信息。

1.3 機器人逆運動學(xué)建模

對于圖1所示的空間六自由度串聯(lián)機械臂，末端位姿 0 6 T 已知。機械臂逆運動學(xué)建模就是根據(jù)式（3）求各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ i。

首先將式（3）兩邊同時左乘 0 1 T ??-1 （θ 1）、 1 2 T ??-1 （θ 2）， 右乘 5 6 T ??-1 （θ 6）可得

1 2 T ??-1 （θ 2） 0 1 T ??-1 （θ 1） ?0 6 T ??5 6 T ??-1 （θ 6）=

2 3 T （θ 3） ?3 4 T （θ 4） ?4 5 T （θ 5） ?（4）

根據(jù)式（4）兩側(cè)矩陣第三行第四列對應(yīng)元素相等可得

-p y cos ?θ 1+p x sin ?θ 1+d 6（r ?23 ?cos ?θ 1-r ?13 ?sin ?θ 1）=

d 2+d 3 ?（5）

由式（5）可求解θ 1得

θ 1= arctan （m，n）- arctan （d 2+d 3，

± m 2+n 2-（d 2+d 3） 2 ） ?（6）

m=d 6r ?23 -p y ?n=d 6r ?13 -p x

根據(jù)式（4）兩側(cè)矩陣對應(yīng)元素（1，4）（表示第一行、第四行元素，下同）和（2，4）分別相等，可得

k 2 sin ?θ 2-k 1 cos ?θ 2-a 2=a 3 cos ?θ 3+d 4 sin ?θ 3 ?（7）

k 1 sin ?θ 2+k 2 cos ?θ 2=a 3 sin ?θ 3-d 4 cos ?θ 3 ?（8）

其中，k 1、k 2分別為

k 1=（d 6r ?13 -p x） cos ?θ 1+（d 6r ?23 -p y） sin ?θ 1+a 1 ?（9）

k 2=p z-d 1-d 6r ?33 ??（10）

聯(lián)立式（7）和式（8），求解θ 2得

θ 2= arctan （k 3，k 4）- arctan （k 5，± k 2 3+k 2 4-k 2 5 ） ?（11）

其中，k 3、k 4、k 5分別為

k 3=2a 2k 1 ?（12）

k 4=2a 2k 2 ?（13）

k 5=a 2 3+d 2 4-a 2 2-k 2 1-k 2 2 ?（14）

將θ 2代入式（7）整理可得

θ 3= arctan （g，± a 2 3+d 2 4-g 2 ）- arctan （a 3，d 4） ?（15）

g=k 2 sin ?θ 2-k 1 cos ?θ 2-a 2

將式（3）等號兩邊同時左乘 0 1 T ??-1 （θ 1）、 1 2 T ??-1 （θ 2）、

2 3 T ??-1 （θ 3）可得

2 3 T ??-1 （θ 3） ?1 2 T ??-1 （θ 2） ?0 1 T ??-1 （θ 1） ?0 6 T =

3 4 T （θ 4） ?4 5 T （θ 5） ?5 6 T （θ 6） ?（16）

根據(jù)式（16）兩側(cè)矩陣對應(yīng)元素（3，3）相等，可得

cos ?θ 5=（r ?13 c 1+r ?23 ?sin ?θ 1） sin （θ 2+θ 3）-

r ?33 ?cos ?（θ 2+θ 3） ?（17）

其中，（3，3）表示式（16）兩側(cè)矩陣第三行第三列所對應(yīng)的元素值。

由式（17）可求解得到θ 5為

θ 5= arccos （（r ?13 ?cos ?θ 1+r ?23 ?sin ?θ 1） sin （θ 2+θ 3）-

r ?33 ?cos ?（θ 2+θ 3）） ?（18）

根據(jù)式（16）兩側(cè)矩陣對應(yīng)元素（2，3）相等，可得

- sin ?θ 4 sin ?θ 5=r ?13 ?sin ?θ 1-r ?23 ?cos ?θ 1 ?（19）

當(dāng) sin ?θ 5≠0時，由式（19）可求解得到θ 4為

θ 4= arcsin （（r ?23 ?cos ??θ 1-r ?13 ?sin ?θ 1）/ sin ?θ 5） ?（20）

當(dāng) sin ?θ 5=0時，機械手處于奇異形位。此時，關(guān)節(jié)4與關(guān)節(jié)6軸線重合，只能求解出θ 4與θ 6的和或差。在奇異形位時，可任意選取θ 4的值，再計算相應(yīng)的θ 6值。

將式（3）等號兩邊同時左乘 0 1 T ??-1 （θ 1），右乘 5 6 T ??-1 （θ 6）可得

0 1 T ??-1 （θ 1） ?0 6 T ??5 6 T ??-1 （θ 6）= 1 2 T （θ 2） ?2 3 T （θ 3） ?3 4 T （θ 4） ?4 5 T （θ 5） ?（21）

根據(jù)式（21）兩側(cè)矩陣對應(yīng)元素（2，2）相等，可得

r ?32 ?cos ?θ 6+r ?31 ?sin ?θ 6=- sin ?θ 4 sin （θ 2+θ 3） ?（22）

由式（22）可求解得到θ 6為

θ 6= arctan （- sin ?θ 4 sin （θ 2+θ 3），

± r 2 ?31 +r 2 ?32 - sin ?2θ 4 sin ?2（θ 2+θ 3） ）-

arctan （r ?32 ，r ?31 ）

（23）

綜上所述，給定機器人末端位姿矩陣，即可求得滿足機器人工作要求的關(guān)節(jié)角度。

2 構(gòu)造3-5-3多項式插值函數(shù)

在機器人軌跡規(guī)劃過程中，多項式插值軌跡是一種常見的軌跡構(gòu)造方法。多項式插值軌跡的 核心就是計算多項式的系數(shù)，其計算量隨多項式次數(shù)的增加而逐級遞增。本文在綜合考慮軌跡在起點、終點和中間點的位置、速度、加速度和 Jerk （位置三階導(dǎo)數(shù)）連續(xù)以及軌跡平滑性的情況下，選擇計算量相對較小的3-5-3多項式插值構(gòu)造軌跡曲線。

對于3-5-3多項式插值構(gòu)造軌跡曲線，首先根據(jù)機器人在笛卡兒坐標(biāo)系下起始點以及中間點的空間坐標(biāo)，通過逆運動學(xué)求解各個關(guān)節(jié)在4個插值點處的關(guān)節(jié)角度，用θ ?ij 表示關(guān)節(jié)i第j個路徑點的插值角度，其中i=1，2，…，n， n表示關(guān)節(jié)數(shù)目；j=0，1，2，3表示路徑點的序號。在路徑點間采用3-5-3多項式構(gòu)造軌跡曲線，其約束條件如下：①初始點、末端點和中間點的位置；②路徑點間位置、速度和加速度連續(xù)；③始末位置速度和加速度為0。

第i關(guān)節(jié)3-5-3多項式插值函數(shù)的通式為

θ ?i1 （t 1）=a ?13 t 3 1+a ?12 t 2 1+a ?11 t 1+a ?10

θ ?i2 （t 2）=a ?25 t 5 2+a ?24 t 4 2+a ?23 t 3 2+a ?22 t 2 2+a ?21 t 2+a ?20

θ ?i3 （t 3）=a ?33 t 3 3+a ?32 t 2 3+a ?31 t 3+a ?30 ???（24）

式中，θ ?i1 （t 1）、θ ?i2 （t 2）、θ ?i3 （t 3）分別為多項式的角位移函數(shù)；a ?ij 為第i（i=1，2，3）段多項式的第j個系數(shù)，j取決于多項式次數(shù)；t為插值的時間變量。

式（24）中的系數(shù)a ?ij 可根據(jù)約束條件求出，根據(jù)約束條件和約束邊界可推導(dǎo)出關(guān)節(jié)插值點與系數(shù)的關(guān)系矩陣 A ：

A =

t 3 1 t 2 1 t 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 3t 2 1 2t 1 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 6t 1 2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t 5 2 t 4 2 t 3 2 t 2 2 t 2 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 5t 4 2 4t 3 2 3t 2 2 2t 2 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 20t 3 2 12t 2 2 6t 2 2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t 3 3 t 2 3 t 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3t 2 3 2t 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6t 3 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ???（25）

式中，t i為第i段軌跡機械臂所運行時間。

約束條件和約束邊界只與時間t有關(guān)。關(guān)系矩陣 A 與系數(shù)矩陣 a 的關(guān)系表達(dá)式如下：

Aa = θ ??（26）

其中， θ 為關(guān)節(jié)角度矩陣。系數(shù)矩陣 a 的表達(dá)式為

a =［ a ?1 ?a ?2 ?a ?3］ ?T ??（27）

a ?1=［a ?13 ?a ?12 ?a ?11 ?a ?10 ］ ?（28）

a ?2=［a ?25 ?a ?24 ?a ?23 ?a ?22 ?a ?21 ?a ?20 ］ ?（29）

a ?3=［a ?33 ?a ?32 ?a ?31 ?a ?30 ］ ?（30）

關(guān)節(jié)角度矩陣 θ 的表達(dá)式如下：

θ =［0 0 0 0 0 0 x ?i3 ?0 0 x ?i0 ?0 0

x ?i2 ?x ?i1 ］ ?T ??（31）

式中，x ?ij 為第i個關(guān)節(jié)第j個插值點的位置。

綜上所述，3-5-3多項式軌跡曲線僅與時間t有關(guān)，因此可以找到一個時間，使得機器人在這段軌跡下運行時綜合性能最優(yōu)。

3 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造

軌跡優(yōu)化的核心就是目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造。目前國內(nèi)外學(xué)者對目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造采用的各種方法非常豐富，但這些方法存在兩類問題：一是采用單一的運動性能指標(biāo)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，其結(jié)構(gòu)過于簡單，所得解無法全面考慮機械臂運動性能和應(yīng)用場合；二是選取的指標(biāo)過多，導(dǎo)致優(yōu)化問題變得更為復(fù)雜，增加了目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造的難度和計算量。因此，在機械臂運動性能和目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造難度的權(quán)衡下，本文選擇以下三個主要指標(biāo)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造：①總時間，指機器人完成任務(wù)所需的實際時間，在工業(yè)自動化中，機器人的作業(yè)時間是影響生產(chǎn)效率的關(guān)鍵性因素;②總沖擊，指機器人執(zhí)行任務(wù)時產(chǎn)生的撞擊和振動，沖擊直接影響機械臂運動的穩(wěn)定性和可靠性;③靈巧度，指機器人完成任務(wù)時的靈活性和適應(yīng)性，靈巧度的優(yōu)化可以使機器人適應(yīng)更加復(fù)雜的任務(wù)以及具有更快的響應(yīng) 速度。

3.1 時間優(yōu)化問題描述

假設(shè)機器人執(zhí)行一個動作，其末端執(zhí)行器經(jīng)過n個點（包括起點和終點）。通過機器人逆運動學(xué)轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)空間的n個對應(yīng)的位置序列，故產(chǎn)生n-1段軌跡，機器人完成n-1段軌跡所需時間之和即機器人運動的總時間，故時間優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為

S 1=∑ n－1 i=1 t i ?（32）

式中，n-1為機械臂運動軌跡的段數(shù)，即插值點數(shù)目減1。

3.2 沖擊優(yōu)化問題描述

機械臂沿軌跡運動時，若存在加速度不連續(xù)的情況，則整個機械臂系統(tǒng)將產(chǎn)生較大的沖擊。沖擊影響機械臂運動穩(wěn)定性的同時還會加速機械臂疲勞破壞、縮短機械臂使用壽命。又因為機械臂的沖擊與機械臂的脈動有直接關(guān)系，脈動越小則沖擊越小。而機械臂的脈動由加速度的變化（即加加速度）來體現(xiàn)。本文在進(jìn)行沖擊優(yōu)化問題描述時采用絕對平均沖擊s來衡量關(guān)節(jié)沖擊大小，其表達(dá)式如下：

第一段軌跡沖擊

s ?i1 = ?1 t 1 ∫ ?t ??1 ?0（q … ??i1 ） 2 d t ??（33）

第二段軌跡沖擊

s ?i2 = ?1 t 2 ∫ ?t ??2 ?0（q … ??i2 ） ?2 ?d t ??（34）

第三段軌跡沖擊

s ?i3 = ?1 t 3 ∫ ?t ??3 ?0（q … ??i3 ） ?2 ?d t ??（35）

式中，t 1、t 2、t 3分別為三段軌跡運行的時間；q … ??i1 、q … ??i2 、q … ??i3 分別為第i關(guān)節(jié)第一、二、三段沖擊量，即關(guān)節(jié)加速度關(guān)于時間的變化率。

在3-5-3多項式軌跡規(guī)劃中，具體可以將軌跡分為三個階段，即初始階段、中間階段和末尾階段。對于每個階段，根據(jù)實際情況分別賦予其不同的沖擊權(quán)重，進(jìn)而實現(xiàn)全局的動態(tài)權(quán)重，使軌跡設(shè)計更加合理。具體可以將三段多項式軌跡沖擊所占權(quán)重表示為

S 2=w 1s ?i1 +w 2s ?i2 +w 3s ?i3 ??（36）

式中，w 1、w 2、w 3為動態(tài)權(quán)重系數(shù)，分別表示三段軌跡的沖擊權(quán)重。

對于動態(tài)權(quán)重的設(shè)定，本文根據(jù)各關(guān)節(jié)沖擊與各段軌跡運行時間的變化關(guān)系來構(gòu)造動態(tài)權(quán)重函數(shù)，其變換關(guān)系如圖2所示。其中，t 1、t 2、t 3為各段軌跡運行時間；圖2 a、圖2b、圖2c 分別以t 1、t 2、t 3為自變量，其余兩段軌跡時間不變；圖2 d 以t 1、t 2、t 3為自變量。

由圖2可知，關(guān)節(jié)沖擊量隨時間的減少呈遞增的趨勢。由于圖2中關(guān)節(jié)沖擊與各段軌跡運行時間的變化情況相似，故本文選取圖2 d 中關(guān)節(jié)1絕對平均沖擊量與軌跡運行時間的離散點分別進(jìn)行反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、多項式函數(shù)曲線擬合，擬合結(jié)果如圖3所示。

根據(jù)圖3擬合曲線分別計算各條曲線與離散點的均方根誤差（ root mean squared error，RMSE ），數(shù)據(jù)見表2。

由表2可知多項式函數(shù)均方根誤差最小，但多項式函數(shù)擬合的曲線不符合關(guān)節(jié)絕對平均沖擊量與各段軌跡運行時間的變化關(guān)系。反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三種函數(shù)中，以反比例函數(shù)擬合的曲線均方根誤差最小，即擬合程度最高。故本文在構(gòu)造動態(tài)權(quán)重函數(shù)時采用反比例函數(shù)，其表達(dá)式為

T =［t 1 t 2 t 3］ ?（37）

（1）當(dāng)T i= max （ T ）時，有

w i= ?min （ T ） t 1+t 2+t 3 ??（38）

（2）當(dāng)T i= median （ T ） 時，有

w i= ?median （ T ） t 1+t 2+t 3 ??（39）

（3）當(dāng)T i= min （ T ），有

w i= ?max （ T ） t 1+t 2+t 3 ??（40）

式中， T 為時間向量，其元素t i為第i段軌跡所運行的時間；i取1、2、3；w i為第i段軌跡沖擊的權(quán)重系數(shù)。

3.3 靈巧度優(yōu)化問題描述

機器人在靠近奇異位形區(qū)域時，其輸入運動與輸出運動之間的傳遞關(guān)系逐漸失真，而靈巧度就是衡量這種失真程度的指標(biāo)。雅可比矩陣的條件數(shù)作為機器人靈巧度的度量指標(biāo)，其值越接近1，機器人靈巧性越好，機器人在該位姿下的運動性能越優(yōu)。雅可比矩陣條件數(shù)定義如下：

K J=‖ J ‖·‖ J ??-1 ‖ ?（41）

式中， J 為雅可比矩陣，‖·‖為2- 范數(shù)。

機器人末端同時具有移動和轉(zhuǎn)動時其雅可比矩陣存在量綱不統(tǒng)一問題，而條件數(shù)在計算時要求雅可比矩陣所有元素的量綱統(tǒng)一，因此需要對雅可比矩陣進(jìn)行預(yù)處理，使其元素量綱統(tǒng)一。本文參照文獻(xiàn)［20］提出的可變加權(quán)矩陣對雅可比矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理?？勺兗訖?quán)矩陣表達(dá)式 如下：

W ?V= ??1 L v ?I ?t 0 0 ?1 L ω ?I ?r ???（42）

式中， I ?t、 I ?r為單位矩陣，下標(biāo)t、r為單位矩陣的階數(shù)；L v為對應(yīng)末端平移速度各行矢量模的均方根；L ω為對應(yīng)轉(zhuǎn)動自由度各行矢量模的均方根。

綜上，雅可比矩陣規(guī)范量綱后的表達(dá)式為

= W ?V J ??（43）

式中， ??為雅可比量綱規(guī)范化矩陣。

機械臂運動過程中可能存在某些位姿使得機械臂關(guān)節(jié)速度趨于無窮大，導(dǎo)致機械臂失去控制，無法繼續(xù)運動，即奇異點。在奇異點處，機械臂的雅可比矩陣逆矩陣不存在。所以引入雅可比矩陣的偽逆矩陣來代替逆矩陣的求解。偽逆矩陣 J ?+的具體形式為

J ?+= VΣ ?+ U ??T ??（44）

其中， V 、 Σ 、 U 為雅可比矩陣的奇異值分解，其表達(dá)式為

= UΣV ??T ??（45）

其中， U 為左奇異向量矩陣； V 為右奇異向量矩陣； Σ 為奇異值矩陣，也是對角矩陣，對角線上的元素是從大到小排列的奇異值； Σ ?+為 Σ 的偽逆矩陣，也是對角矩陣，對角線上的元素是 Σ 中奇異值的倒數(shù)，若奇異值為0，則對應(yīng)的元素為0，其表達(dá)式如下：

Σ ?+= diag （ 1 σ 1 ， 1 σ 2 ，…， 1 σ n ） ?（46）

式中，σ i為雅可比矩陣奇異值。

在實際計算中，通常會對奇異值進(jìn)行修正，以避免除以一個接近于0的數(shù)。通常設(shè)置一個閾值，若小于閾值則將其設(shè)置為0。根據(jù)總時間、總沖擊和條件數(shù)的數(shù)量級關(guān)系，本文將閾值設(shè)置為0.01。

雖然條件數(shù)可以反映機械臂在指定位姿下的運動能力，但不能反映在整個軌跡內(nèi)的運動能力，故構(gòu)造整個軌跡靈巧度衡量指標(biāo)，即對整個軌跡條件數(shù)取和求平均值，這一指標(biāo)能夠全面反映機械臂在整個運動過程的運動學(xué)靈巧度，其表達(dá) 式為

S 3= 1 N ∑ N i=1 K i ?（47）

式中，S 3為整段軌跡條件數(shù)均值；N為軌跡插值點數(shù)目；K i為時間變量為t 1、t 2、t 3時所生成軌跡的第i個插值點處條件數(shù)的值。

3.4 機器人優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

本文以六自由度機械臂為研究對象，采用3-5-3多項式構(gòu)造軌跡曲線。若直接以多項式軌跡的系數(shù)a ?ij 作為待尋優(yōu)量，則通過式（25）可以得到時間變量t 1、t 2、t 3，這時變量維度為14。由上文多項式軌跡的約束條件可知系數(shù)矩陣 A 僅與結(jié)束時間t有關(guān)，若直接以時間變量t 1、t 2、t 3作為待尋優(yōu)量，這時變量的維度為3，搜索維度大幅度降低，可以有效降低尋優(yōu)的復(fù)雜性和困難性。故本文對目標(biāo)函數(shù)求解時以時間變量作為待尋 優(yōu)量。

綜上對優(yōu)化問題的描述，可以定義以下三個優(yōu)化目標(biāo)：

f 1=∑ 3 i=1 t i ?（48）

f 2=∑ 6 i=1 w 1s ?i1 +w 2s ?i2 +w 3s ?i3 ??（49）

f 3= 1 N ∑ N i=1 K i ?（50）

式中，t i為第i段軌跡運行時長，i=1，2，3；N為插值點數(shù)目；f 1為機械臂運行總時間；f 2為機械臂總沖擊；f 3為機械臂全局靈巧度均值。

以上３個優(yōu)化目標(biāo)中，f 1可以作為衡量機械臂運動效率的指標(biāo)；f 2可以作為衡量關(guān)節(jié)磨損和機械臂穩(wěn)定性的指標(biāo)；f 3可以作為衡量機械臂整個軌跡靈活性的指標(biāo)。

設(shè)定運動學(xué)和時間約束條件，將機器人多目標(biāo)綜合最優(yōu)問題表達(dá)如下：

f= min （ξ 1f 1+ξ 2f 2+ξ 3f 3） ?（51）

其中，ξ 1、ξ 2、ξ 3為加權(quán)參數(shù)，其作用是平衡總時間、總沖擊和全局靈巧度均值在數(shù)量級上存在的差別，并根據(jù)機器人不同的實際需求，對機器人總時間、總沖擊、全局靈巧度均值進(jìn)行加權(quán)，同時強調(diào)某項指標(biāo)在整體中的重要程度。

3.5 最優(yōu)問題約束條件

約束條件表示為作用于機器人上的運動學(xué)性能的物理極限。由機器人結(jié)構(gòu)尺寸和運動學(xué)模型可得約束條件如下：

（1）關(guān)節(jié)位置

q ??min ?≤q≤q ??max ???（52）

（2）關(guān)節(jié)速度

q · ???min ?≤q · ≤q · ???max ???（53）

（3）關(guān)節(jié)加速度

q ?¨ ???min ?≤q ?¨ ≤q ?¨ ???max ???（54）

（4）軌跡運行時間

1≤t i≤5 ?（55）

4 軌跡優(yōu)化算法——改進(jìn)粒子群算法

針對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法前期局部搜索能力弱、后期全局搜索能力弱的問題，本文在粒子群算法中引入人工蜂群 （artificial bee colony， ABC）算法 的采蜜蜂蜜源更新策略，同時提出基于隨機慣性權(quán)重的粒子速度更新公式。最后以綜合指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，采用改進(jìn)粒子群算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 改進(jìn)粒子群算法

粒子速度更新改進(jìn)策略如下。為改善粒子群算法在迭代前期局部搜索能力的不足和迭代后期全局搜索能力的不足，并提高收斂速度和全局收斂性，本文采用隨機慣性權(quán)重策略實現(xiàn)慣性權(quán)重系數(shù)w的動態(tài)改變。粒子速度更新公式如下：

v ?id =wv ?id +c 1r 1（p ?id -x ?id ）+c 2r 2（p ?gd -x ?id ）

（56）

式中，w為慣性權(quán)重系數(shù)，其值越大，全局尋優(yōu)能力強，局部尋優(yōu)能力弱， 其值越小，全局尋優(yōu)能力弱，局部尋優(yōu)能力強;c 1、c 2分別為個體學(xué)習(xí)因子和社會學(xué)習(xí)因子，表示粒子向個體歷史最優(yōu)位置和種群歷史最優(yōu)位置移動的權(quán)重；v ?id 為粒子當(dāng)前速度；r 1、r 2為［0，1］區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)；p ?id 為當(dāng)前粒子已知最優(yōu)解；p ?gd 為種群已知最優(yōu)解；x ?id 為粒子當(dāng)前位置。

隨機慣性權(quán)重系數(shù)表達(dá)式為

w=w ??min ?+（w ??max ?-w ??min ?）rand（1）+

σ×randn（1） ?（57）

式中，w ??max ?為隨機慣性權(quán)重最大值；w ??min ?為隨機慣性權(quán)重初始值；rand（1）為［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機數(shù); randn（1）為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）的隨機數(shù)的函數(shù);σ為權(quán)重誤差系數(shù)，控制取值中的權(quán)重誤差，使權(quán)重w有利于向期望權(quán)重方向進(jìn)化，一般取值范圍為0.2～0.5。

通過設(shè)定不同慣性權(quán)重系數(shù)和權(quán)重誤差系數(shù)，對Ackley、Alpine、Rastrigin、Rosenbrock四種測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗，優(yōu)化結(jié)果保留2位小數(shù)，具體優(yōu)化結(jié)果見表3。

通過對優(yōu)化難易程度不同的四種測試函數(shù)在不同慣性權(quán)重和權(quán)重誤差下進(jìn)行仿真實驗，在表3中發(fā)現(xiàn)［0.5 0.4 0.2］這一組慣性權(quán)重和權(quán)重誤差的取值更加合適，四種函數(shù)在這一取值下的平均迭代次數(shù)較小，即平均收斂速度較快，故選取該這一組策略作為慣性權(quán)重和權(quán)重誤差的 取值。

4.2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的計算步驟

（1）使用基本的拉丁超立方抽樣函數(shù) （Latin hypercube sampling， LHS） 初始化粒子的位置、隨機初始化速度。計算每個粒子對應(yīng)的適應(yīng)度，確定個體最優(yōu)值p_best和種群最優(yōu)值g_best。

（2）采用 ABC 算法采蜜蜂蜜源更新策略對粒子的位置、個體最優(yōu)適應(yīng)值p_best和種群最優(yōu)值g_best進(jìn)行更新。

（3）用改進(jìn)粒子群算法速度更新公式對所有粒子的位置及速度進(jìn)行更新，并計算各粒子的適應(yīng)度，更新p_best、g_best。

（4）判斷收斂條件是否滿足，若滿足， 則停止迭代，輸出最優(yōu)結(jié)果g_best；否則，轉(zhuǎn)到步驟（２），直至收斂。

4.3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法與其他算法的比較

對4種不同類型的測試函數(shù)分別用粒子群算法、人工蜂群算法和改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行測試，測試結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，人工蜂群算法搜索能力最弱，標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法次之，改進(jìn)粒子群算法搜索能力最強。還可以明顯發(fā)現(xiàn)，三種算法針對不同函數(shù)時，其穩(wěn)定性也不盡相同，但改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的迭代次數(shù)始終保持在較低水平。上述分析可證明，改進(jìn)粒子群算法更加有效，迭代次數(shù)更少，穩(wěn)定性更好。故本文采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化方法對函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4.4 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的應(yīng)用

本文對總時間、總沖擊、靈巧度三個指標(biāo)進(jìn)行綜合優(yōu)化，將每個指標(biāo)與權(quán)重系數(shù)的乘積作為目標(biāo)函數(shù)，以軌跡運行時間為變量，通過改進(jìn)粒子群算法尋優(yōu)。

本文以機器人工作效率和穩(wěn)定性最優(yōu)為前提，通過設(shè)定不同的權(quán)重系數(shù)值進(jìn)行仿真實驗，優(yōu)化結(jié)果保留４位小數(shù)，具體優(yōu)化結(jié)果見表4。

由表4可知，隨著ξ 1、ξ 2、ξ 3三個參數(shù)的調(diào)整，總時間、總沖擊、靈巧度三個指標(biāo)有著不同程度的改變。比較表4中的結(jié)果后發(fā)現(xiàn)，［8 10 15］這一組慣性權(quán)重的取值更加合理，沖擊指標(biāo)f 2的降幅較時間指標(biāo)f 1的增幅大，且靈巧度指標(biāo)f 3也小幅度下降。綜合考慮后選?。? 10 15］這一組數(shù)據(jù)作為目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。

5 仿真與實驗

為驗證所提軌跡優(yōu)化方法的有效性，以FANUC M710iC50六自由度機械臂為仿真對象，對指定關(guān)節(jié)位置序列的時間、沖擊、靈巧性綜合最優(yōu)連續(xù)軌跡進(jìn)行仿真驗證。仿真環(huán)境說明如下：①計算機軟硬件配置。操作系統(tǒng)Windows 10；處理器Intel Core i5-4200H;顯卡NVIDIA GeForce GTX 950M。②仿真軟件。MATLAB 2022b。機械臂經(jīng)過的關(guān)節(jié)位置序列見表5。

按照本文所提改進(jìn)粒子群算法，在考慮關(guān)節(jié)位置、速度、加速度等約束條件下，求解機械臂時間、沖擊、靈巧性綜合最優(yōu)軌跡。通過記錄種群最優(yōu)位置在每次迭代過程中的位置變化，得到種群最優(yōu)位置進(jìn)化圖，如圖5所示。

設(shè)置的粒子種群數(shù)目為40；最大迭代次數(shù)為100的前提條件下，仿真時長約 3 h 40 min 。由圖5可見，改進(jìn)粒子群算法的全局搜索能力和局部搜索能力都較為突出，在經(jīng)歷不超過10次迭代后就快速收斂。機械臂綜合最優(yōu)軌跡仿真位姿變化如圖6所示。

為進(jìn)一步驗證提出軌跡規(guī)劃方法的有效性，搭建了實驗樣機，如圖7所示。控制系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)簡圖見圖8。

上位機通過RS-232串口/以太網(wǎng)與M710iC50六自由度機械臂進(jìn)行通信。上位機與機械臂建立連接后，在上位機程序中通過串口向機械臂發(fā)送控制指令和任務(wù)，控制柜將接受的指令進(jìn)行解析，通過內(nèi)部的處理器進(jìn)行運算，確定每個關(guān)節(jié)電機的控制信號并輸出給相應(yīng)的關(guān)節(jié)電機。這些信號控制電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向，使機械臂關(guān)節(jié)按照預(yù)定的軌跡和運動規(guī)劃進(jìn)行運動。

通過離線優(yōu)化得到時間、沖擊、靈巧性綜合最優(yōu)解，在機器人控制平臺上編程實現(xiàn) 3-5-3 多項式綜合最優(yōu)軌跡。機械臂工作位姿變化圖見 圖9。

各關(guān)節(jié)優(yōu)化后各角度、速度、加速度與時間關(guān)系變化如圖10所示。由圖10可見，規(guī)劃出的綜合最優(yōu)軌跡經(jīng)過指定的關(guān)節(jié)位置序列，關(guān)節(jié)位置、速度均連續(xù)，且滿足運動學(xué)約束，其中僅第5關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角速度和角加速度波動略大?；诳箾_擊的目的，優(yōu)化時盡可能減小前三個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動幅度，以減小機械臂整體晃動幅度，因此增大了關(guān)節(jié)5的轉(zhuǎn)動幅度，導(dǎo)致關(guān)節(jié)5的關(guān)節(jié)角速度和角加速度出現(xiàn)較大幅度的波動。

6 結(jié)論

（1）本文以FANUC M710iC50六自由度串聯(lián)機械臂為研究對象，將關(guān)節(jié)空間中的路徑點兩兩之間通過多項式曲線連接產(chǎn)生機器人的運動軌跡，該軌跡規(guī)劃方法保證了運動的連續(xù)性，且關(guān)節(jié)啟停速度、加速度可以根據(jù)實際需要自由設(shè)定。

（2）對運動軌跡進(jìn)行優(yōu)化時，綜合考慮整個運動過程中的動作時間、沖擊和靈巧度，并在沖擊指標(biāo)量化時引入動態(tài)權(quán)重系數(shù)以及在靈巧度指標(biāo)中引入偽逆矩陣概念。

（3）通過加權(quán)系數(shù)法定義目標(biāo)函數(shù)，以運動學(xué)邊界為約束條件，提出基于隨機慣性權(quán)重的粒子群算法，有利于改善算法的局部搜索和全局搜索能力，提高搜索效率，尋找全局綜合最 優(yōu)解。

（4）對FANUC M710iC50六自由度機械臂的實驗和仿真結(jié)果表明，所提的軌跡構(gòu)造方法和優(yōu)化策略是真實可行的。

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（ 編輯 陳 勇 ）

作者簡介 ：

陳 剛 ，男，1998年生，碩士研究生。研究方向為機器人。

榮 譽 （通信作者），男，1981年生，副教授、博士。研究方向為變胞、變尺寸工業(yè)機器人等。E-mail：lixiangcg@126.com。