李麗娟　梁靖昌

摘要：針對(duì)工程結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的約束條件處理能力差、編程復(fù)雜，計(jì)算效率低且收斂精度差等問(wèn)題，對(duì)啟發(fā)式粒子群算法（HPSO）進(jìn)行改進(jìn)，提出了多目標(biāo)啟發(fā)式粒子群算法（MOHPSO），并與多目標(biāo)粒子群算法（MOPSO）和改進(jìn)的多目標(biāo)群搜索算法（IMGSO）進(jìn)行比較。通過(guò)對(duì)15桿平面桁架、40桿平面桁架和72桿空間桁架3個(gè)經(jīng)典算例的計(jì)算，證明了所提出的MOHPSO算法的有效性。結(jié)果表明：MOHPSO算法具有收斂精度高、約束處理能力強(qiáng)、全局最優(yōu)解選取更合理、非劣解集維護(hù)效率高等特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：桁架結(jié)構(gòu)；啟發(fā)式粒子群；多目標(biāo)優(yōu)化；約束改進(jìn)；收斂精度

中圖分類號(hào)：TU318文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： According to the common problems in the multiobjective optimization of engineering structures， such as difficulties in dealing with the constraints， the complexity of programming， low calculating efficiency and bad convergence precision， a multiobjective heuristic particle swarm optimizer （MOHPSO） was proposed by improving the heuristic particle swarm optimizer （HPSO）. Then the MOHPSO was compared with multiobjective particle swarm optimizer （MOPSO） and improved multiobjective group search optimizer （IMGSO）. Through three classic examples of 15bar plane truss， 40bar plane truss and 72bar spatial truss structure， the validity of MOHPSO was proved. The results show that the MOHPSO has better convergence accuracy， constraint handling is powerful， the global optimal solution selection is more reasonable and the maintenance efficiency of the noninferiorsolution set is much higher.

Key words： truss structure； heuristic particle swarm optimizer； multiobjective optimization； improved constraint handling； convergence accuracy

0引言

優(yōu)化問(wèn)題按目標(biāo)函數(shù)數(shù)量可劃分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化[1]，盡管近60%的研究是有關(guān)單目標(biāo)優(yōu)問(wèn)題[12]，但實(shí)際工程絕大多數(shù)是多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化[3]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)一般包括尺寸優(yōu)化[46]、形狀優(yōu)化[78]和拓?fù)鋬?yōu)化[910]等。對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，經(jīng)典的處理方式是將其以加權(quán)的方式轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解[11]，由于加權(quán)因子難以精確確定，研究者一直在尋求更合理的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解方法，其中基于Pareto最優(yōu)解思想的方法得到廣泛關(guān)注[12]，包括基于群智能的多目標(biāo)遺傳算法[12]、多目標(biāo)粒子群算法[13]、改進(jìn)的多目標(biāo)群搜索算法[14]等。

本文在啟發(fā)式粒子群算法（HPSO）[7]的基礎(chǔ)上，結(jié)合Pareto最優(yōu)解理論、自適應(yīng)網(wǎng)格機(jī)制[13]和過(guò)度可行域[14]，提出了一種適用于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)用算法，即多目標(biāo)啟發(fā)式粒子群算法（MOHPSO），并將其應(yīng)用到桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法的收斂精度優(yōu)于目前性能優(yōu)異的多目標(biāo)粒子群算法（MOPSO）和改進(jìn)的群搜索算法（IMGSO），具有較好的應(yīng)用前景。

1啟發(fā)式粒子群算法

啟發(fā)式粒子群算法是在粒子群算法（PSO）[15]的基礎(chǔ)上改進(jìn)并提出的單目標(biāo)優(yōu)化算法。

2多目標(biāo)啟發(fā)式粒子群算法

鑒于啟發(fā)式粒子群算法在單目標(biāo)優(yōu)化中具有良好的收斂速度和精度，同時(shí)也考慮到基于粒子群算法的多目標(biāo)優(yōu)化算法[13]在多目標(biāo)優(yōu)化中的廣泛應(yīng)用，本文在HPSO的主程序上引入在MOPSO中應(yīng)用的Pareto最優(yōu)解集合處理方法——自適應(yīng)網(wǎng)格機(jī)制，以實(shí)現(xiàn)基于HPSO的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

2.1全局最優(yōu)解的選取

自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)[13]是應(yīng)用在MOPSO中處理非劣解集的方法，相對(duì)于擁擠度計(jì)算機(jī)制，自適應(yīng)網(wǎng)格的管理更為合理，主要體現(xiàn)在其收集的非劣解分布均勻，同時(shí)可有效地選取全局最優(yōu)解。本文在采用自適應(yīng)網(wǎng)格選取全局最優(yōu)解時(shí)加入禁忌表[14]進(jìn)行改進(jìn)，其計(jì)算規(guī)則如下：

（1）非劣解集的維護(hù)與更新：①當(dāng)非劣解集中為空時(shí)，新解直接放進(jìn)非劣解集中；②若新解被非劣解集中的解支配，丟棄新解；③若新解支配非劣解集中的解，加入新解，并去掉被支配的解；④當(dāng)新解與非劣解集中解互為非支配關(guān)系時(shí)，加入新解；⑤對(duì)于加入新解的情況，若加入的時(shí)候非劣解集已經(jīng)達(dá)到容量最大值，且其值在當(dāng)前網(wǎng)格范圍內(nèi)，則加入前含有個(gè)體數(shù)目最大的網(wǎng)格將等概率地被選中一個(gè)，然后對(duì)該網(wǎng)格中的個(gè)體隨機(jī)刪除一個(gè)；⑥若加入新解的時(shí)候，新解不在目前網(wǎng)格的范圍內(nèi)，則重新劃分網(wǎng)格。

（2）整體最優(yōu)解Pkg的選?。簩?duì)于包含個(gè)體的網(wǎng)格，以賭羅盤[13]的方式選中一個(gè)，其中包含個(gè)體數(shù)越大的網(wǎng)格在羅盤中占的比例越小，當(dāng)網(wǎng)格被選中以后，再隨機(jī)選取網(wǎng)格中的一個(gè)個(gè)體作為全局最優(yōu)Pkg。此時(shí)，該個(gè)體被記錄到禁忌表中，如果新個(gè)體與禁忌表中的個(gè)體重復(fù)，那么Pkg將再一次通過(guò)賭羅盤的方式重新選擇，直至其與禁忌表中個(gè)體不重復(fù)為止。禁忌表的引入可以有效地避開(kāi)出現(xiàn)相同的Pkg，因此能加強(qiáng)種群的多樣性。

2.2變異算子

多目標(biāo)粒子群算法是一個(gè)收斂速度相當(dāng)快的算法，當(dāng)處于迭代前期時(shí)，該算法有較大可能陷入局部最優(yōu)解，帶來(lái)的是收斂精度不高。因此Coello等[13]在MOPSO中加入被廣泛用于遺傳算法中的變異算子，其計(jì)算公式如下

當(dāng)隨機(jī)數(shù)的值滿足式（3），對(duì)應(yīng)的個(gè)體將再次產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，并運(yùn)行公式（4）的變異操作；文獻(xiàn)[13]建議變異率R取值為0.5。由于在迭代后期，過(guò)渡可行域的范圍和變異率的值都不大，當(dāng)達(dá)到一定的迭代次數(shù)后，兩者的取值都?xì)w零，本文建議的迭代次數(shù)為int（Imax/3），int為取整函數(shù)。

2.3過(guò)渡可行域

過(guò)渡可行域允許一些違反約束條件的個(gè)體當(dāng)作可行解，由于這些偽可行解可能具有較好的適應(yīng)度值，因此能幫助種群找到最優(yōu)解，同時(shí)利用了原本被丟棄的不可行解，提高了優(yōu)化的效率。在改進(jìn)的多目標(biāo)群搜索算法[14]中，為了避免不可行解對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果的可行性造成影響，在迭代過(guò)程中每經(jīng)過(guò)k次迭代后過(guò)濾掉不可行解，k的取值為0.3Imax。

MOHPSO算法流程如下：

（1）隨機(jī)地初始化粒子群的位置、速度。

（2）對(duì)種群中所有粒子計(jì)算適應(yīng)度值，并檢查每個(gè)粒子是否處于過(guò)渡可行域，若不處于過(guò)渡可行域，則重新初始化，至所有粒子都在過(guò)渡可行域內(nèi)為止。

（3）由步驟（2）得到在過(guò)渡可行域內(nèi)的初代粒子群初始化Pbest，同時(shí)根據(jù)自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)生成外部精英集，并從中選取個(gè)體作為Pg。

（4）按公式（1），（2）更新粒子群的速度與位置，其后執(zhí)行變異算子，對(duì)超出位置向量的任一維分量（如第j維）許可范圍的粒子取該邊界值，如大于上邊界時(shí)，取上邊界值，小于下邊界時(shí)，取下邊界值（拉回自變量邊界）。

（5）計(jì)算新一代粒子群的適應(yīng)度值。

（6）檢查每個(gè)粒子的位置是否違反了約束條件，若粒子飛出了約束條件邊界，則采用“回飛技術(shù)”[7]使其返回原來(lái)的位置。

（7）更新Pbest和Pg，收集非支配解，根據(jù)自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)更新和維護(hù)外部精英集，然后采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)從中選取個(gè)體作為Pg。

（8）若滿足終止條件，結(jié)束優(yōu)化，否則返回步驟（4）進(jìn)行迭代。4算例分析

3個(gè)算例算法參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為300，迭代次數(shù)為300，非劣解集的容量大小為50；MOHPSO與MOPSO變異率為0.5，各維網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)為30；MOHPSO和IMGSO過(guò)渡可行域的范圍分別取0.5倍和0.1倍的位移、應(yīng)力允許值。

4.115桿平面桁架

相對(duì)前2個(gè)算例，該算例各算法收斂的曲線比較接近。IMGSO獨(dú)立運(yùn)行5次的優(yōu)化結(jié)果如圖13所示，該算法依然出現(xiàn)收斂不穩(wěn)定、收斂精度較差的問(wèn)題，僅1次獨(dú)立運(yùn)行非劣解分布在范圍7.491～9.534 t上，說(shuō)明了IMGSO在該優(yōu)化問(wèn)題中的收斂離散性較大；MOPSO和MOHPSO在該算例中的收斂情況基本一致，如5次獨(dú)立運(yùn)行收斂穩(wěn)定，得到的非劣解支配了IMGSO，較優(yōu)的支配優(yōu)勢(shì)說(shuō)明收斂精度良好。從圖16可以看出，MOHPSO在Pareto曲線中部，即1.135 t附近的非劣解，出現(xiàn)了支配MOPSO的情況，但大部分區(qū)域MOPSO與MOHPSO互為非劣關(guān)系，且解的分布較為均勻，這也說(shuō)明了基于粒子群算法的多目標(biāo)算法是適合解決72桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的。

在文獻(xiàn)[8]中，多目標(biāo)群搜索算法（MGSO）在對(duì)10桿、25桿和40桿桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果中存在收斂精度不足、收斂速度慢以及非劣解分布不均勻等問(wèn)題，李麗娟等[14]采用過(guò)渡可行域、莊家法和禁忌表等方法分別對(duì)MGSO的約束處理能力、非劣解排序和發(fā)現(xiàn)者的選取進(jìn)行改進(jìn)并提出改進(jìn)的多目標(biāo)群搜索算法（IMGSO），計(jì)算結(jié)果表明IMGSO的改進(jìn)方法有一定的有效性和可行性。綜合上述3個(gè)桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化算例可以看出，同樣采用了過(guò)渡可行域的MOHPSO算法比IMGSO更加穩(wěn)定，作為MOPSO的改進(jìn)算法，MOHPSO的收斂穩(wěn)定性大為提高；上述的一些約束處理方法在啟發(fā)式粒子群算法中同樣適用，本文通過(guò)測(cè)試算例的計(jì)算結(jié)果說(shuō)明MOHPSO在約束處理能力上比IMGSO更有力，同時(shí)收斂精度有較大提高，說(shuō)明了過(guò)渡可行域算子更適合在粒子群算法中應(yīng)用。5結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新型MOPSO改進(jìn)算法——多目標(biāo)啟發(fā)式粒子群算法，其目的是為了有效地改善MOPSO在多約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上的尋優(yōu)能力。通過(guò)3個(gè)帶約束含離散變量的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本文改進(jìn)算法非常有效，主要體現(xiàn)在MOHSPO的收斂效果比較穩(wěn)定，解在Pareto最優(yōu)前端的分布比較均勻，收斂精度較MOPSO和IMGSO有所提高。結(jié)果表明，多目標(biāo)啟發(fā)式粒子群算法是一種能有效應(yīng)用于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化研究的新型改進(jìn)算法。參考文獻(xiàn)：

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