李燕科，邱明 , ，李軍星，牛凱岑，許艷雷

（1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.河南科技大學(xué) 機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽 471003）

滾動軸承廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，是決定機(jī)械設(shè)備安全可靠運(yùn)行的關(guān)鍵部件之一，一旦發(fā)生失效，設(shè)備無法正常工作，甚至?xí)斐删薮蟮慕?jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。對滾動軸承進(jìn)行可靠性設(shè)計，對于保證機(jī)械設(shè)備安全可靠運(yùn)行、提高設(shè)備的生產(chǎn)效率具有重要的意義[1-2]。

應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型是根據(jù)應(yīng)力分布和強(qiáng)度分布的干涉程度來確定可靠性的方法，基于應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型的設(shè)計方法是可靠性設(shè)計中的常用方法[3]。唐繼秋等[4]將應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型應(yīng)用在電子產(chǎn)品高溫工作的的裕度分析當(dāng)中。根據(jù)產(chǎn)品的可靠度要求，結(jié)合安全系數(shù)分布曲線來調(diào)整高溫工作裕度值，有效地指導(dǎo)高溫試驗(yàn)中所發(fā)現(xiàn)的故障整改范圍，實(shí)現(xiàn)高溫裕度值的定量計算。伊梟劍等[5]提出了基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的火工品可靠性設(shè)計方法。將可靠性指標(biāo)通過應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型轉(zhuǎn)換為火工品感度分布參數(shù)，通過感度分布參數(shù)的合理取值實(shí)現(xiàn)火工品發(fā)火可靠性與安全可靠性的兼容設(shè)計。Zhang 等[6]針對隧道掘進(jìn)機(jī)主傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵部件TBM 主軸承?；趹?yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，研究了滾子-滾道接觸殘余強(qiáng)度，考慮了材料的非線性強(qiáng)度退化和彌散，計算了主軸承結(jié)構(gòu)的可靠性。

可靠性指產(chǎn)品在運(yùn)動或振動狀況下的可靠性，強(qiáng)調(diào)機(jī)械產(chǎn)品中所包含的特性由于機(jī)械產(chǎn)品的特性及參數(shù)具有固有的隨機(jī)性，同時機(jī)械產(chǎn)品運(yùn)行是典型的過程，載荷、工況、應(yīng)力等工作環(huán)境及參數(shù)都是隨時間變化的隨機(jī)變量，必須將其處理為隨機(jī)過程[7]。曹汝男等[8]等結(jié)合Kriging 模型和Monte Carlo方法提出一種可靠性分析方法AK-MCS-T。擁有擬靜態(tài)法計算量小的優(yōu)點(diǎn)又可以給出失效概率隨時間變化情況。高寧等[9]利用有限差分法和有限元法相結(jié)合對航空齒輪泵彈流潤滑數(shù)學(xué)模型進(jìn)行耦合求解。采用重要抽樣法與自適應(yīng) Kriging 相結(jié)合的AK-IS 方法進(jìn)行了航空齒輪泵滑動軸承的可靠性和可靠性靈敏度分析，研究高轉(zhuǎn)速、低介質(zhì)粘度運(yùn)行的航空齒輪泵滑動軸承動壓潤滑可靠性。Wang 等[10]提出了一種基于PID 控制器的振動主動控制系統(tǒng)風(fēng)險評估的區(qū)間可靠性計算方法。Zhang 等[11]求解了經(jīng)典的滾動軸承系統(tǒng)的隨機(jī)動力學(xué)方程，并對滾子定位精度的可靠性進(jìn)行了檢驗(yàn)。劉國[12]以實(shí)際工作過程中的可靠度為約束條件，針對試驗(yàn)得出的無失效數(shù)據(jù)，改變貝葉斯估計的先驗(yàn)分布區(qū)間大小，進(jìn)行傳統(tǒng)貝葉斯可靠性估計，為火車軸承的可靠性預(yù)測提供理論參考。王瑞祥等[13]針對小樣本無失效壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于Bayes 理論建立可靠性評估模型，有效提高了小樣本無失效數(shù)據(jù)可靠性評估精度。高攀東等[14]在對軸承壽命分布進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,根據(jù)多層Bayes 法,研究了無失效可靠性試驗(yàn)中的試驗(yàn)分組問題，通過對比分析給出了較適合于航空軸承無失效數(shù)據(jù)分析時超先驗(yàn)分布中參數(shù)c的參數(shù)值。

利用威布爾比例風(fēng)險模型（WPHM），通過提取軸承全壽命周期數(shù)據(jù)的時域、頻域和時頻域特征，Wang 等[15]提出了一種基于核主成分分析（KPCA）和威布爾比例風(fēng)險模型（WPHM）的滾動軸承可靠性評估方法。劉曉飛[16]提出基于威布爾比例故障率模型和長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（Long short-term memory,LSTM）的滾動軸承可靠性評估及預(yù)測方法。劉璐等[17]提出了一種基于局部切空間排列（LTSA）和威布爾比例故障率模型（WPHM）的滾動軸承可靠性評估方法。葉亮等[18]提出用振動瞬時值的波動范圍、振動平均值的波動范圍、振動序列對應(yīng)時間段內(nèi)的平均波動范圍3 個指標(biāo)來綜合表征在軸承服役過程中其振動性能的不確定性，并定量分析3 個不確定性指標(biāo)與振動性能保持可靠性的內(nèi)在具體關(guān)系。運(yùn)用最大熵法和泊松過程理論，計算軸承的振動性能保持可靠度。許凌天等[19]針對部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失的小樣本無失效軸承試驗(yàn)問題，通過數(shù)據(jù)模擬法和Bootstrap自助法處理樣本退化量，根據(jù)基于性能退化軌跡的補(bǔ)充信息方法進(jìn)行可靠性評估。陳瀟賢[20]針對軸承從正常到失效的退化過程是一個緩變趨勢特性，提出利用長相關(guān)模型——廣義柯西（GC）過程模型進(jìn)行軸承的剩余使用壽命（RUL）預(yù)測。推導(dǎo)出GC 過程的隨機(jī)微分方程，建立了基于GC 過程的退化模型，并采用極大似然法來估計模型中的參數(shù)。確定的模型在規(guī)定閾值下求出模型在當(dāng)前時刻的概率密度函數(shù)（PDF）用于預(yù)測剩余使用壽命（RUL）。

基于上述情況，只有極少研究考慮實(shí)際工況及軸承的動力學(xué)行為對軸承壽命與可靠性的影響。本文提出一種應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型下的滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法，考慮軸承的動力學(xué)行為，將載荷處理為隨機(jī)過程，基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，將可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)化為滾動軸承當(dāng)量動載荷許用范圍，再根據(jù)當(dāng)量動載荷許用范圍的合理取值，結(jié)合軸承設(shè)計公式，對軸承參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而使軸承滿足該工況下目標(biāo)壽命和目標(biāo)可靠度。最后，通過壽命仿真，對本文方法進(jìn)行驗(yàn)證和對比分析。

1 滾動軸承可靠性評估與設(shè)計模型

1.1 應(yīng)力強(qiáng)度干涉理論

應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型是根據(jù)應(yīng)力分布和強(qiáng)度分布的干涉程度來確定可靠性的方法，是一種常見的機(jī)械可靠性設(shè)計方法。本文將它引入到滾動軸承可靠性設(shè)計當(dāng)中。滾動軸承對應(yīng)可靠壽命下的當(dāng)量動載荷是隨機(jī)的，外部施加載荷也是隨機(jī)的。滾動軸承能否滿足對應(yīng)可靠度下的壽命取決于軸承當(dāng)量動載荷的計算值和外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷的相互作用。

假設(shè)：1） 外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷X的概率密度函數(shù)為f(x)；2）滾動軸承對應(yīng)可靠壽命下的當(dāng)量動載荷Y的概率密度函數(shù)為g(y)；3）X和Y相互獨(dú)立。根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的性質(zhì)，X＜Y的概率為滾動軸承可以滿足對應(yīng)可靠性壽命，用R表示，則

對應(yīng)的計算式為

式（3）為采用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型計算滾動軸承滿足對應(yīng)可靠性壽命的一般公式，其中X和Y服從不同分布時可推導(dǎo)出不同的計算公式。

同理，可以得到采用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型計算滾動軸承無法滿足對應(yīng)可靠性壽命的一般公式為

1.2 軸承可靠性評估與設(shè)計模型

外部施加載荷和當(dāng)量動載荷都是隨機(jī)變量，二者都服從一定的分布。外界施加載荷服從的分布，可通過影響因素分析和試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)的擬合得到，一般服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布。而當(dāng)量動載荷一般服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和對數(shù)邏輯分布等。本文對“外部施加載荷-當(dāng)量動載荷”對應(yīng)分布分別為對數(shù)正態(tài)分布-對數(shù)正態(tài)分布情形下的可靠性評估與設(shè)計方法進(jìn)行了推導(dǎo)。

從式（2）和式（3）可知，如果知道外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷X和滾動軸承對應(yīng)可靠性壽命下的當(dāng)量動載荷Y的分布，就可以計算相應(yīng)的可靠度。而對滾動軸承的可靠性設(shè)計則是一個逆推的過程，先給出希望達(dá)到的目標(biāo)可靠度和目標(biāo)壽命，再根據(jù)式（2）和式（3）來確定軸承的額定動載荷，進(jìn)而對軸承參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷X和滾動軸承對應(yīng)可靠壽命下的當(dāng)量動載荷Y都是隨機(jī)變量，一般都服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布等。本文對對數(shù)正態(tài)分布下的滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法進(jìn)行了推導(dǎo)。

假設(shè)實(shí)際工況的外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷X服從對數(shù)正態(tài)分布ln(μx1,) ， μx1和σx1分別是X的對數(shù)均值和對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差；滾動軸承對應(yīng)可靠壽命下的當(dāng)量動載荷Y服從對數(shù)正態(tài)分布ln(μy1,) ， μy1和σy1分別是Y的對數(shù)均值和對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差；可靠度Rf， μx1和σx1已知, μy1和 σy1未知。

則由式（1）可得

由式（4）可得

式中uRf為Rf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)。

令變差系數(shù)為k，則根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布變差系數(shù)的定義可得

把滾動軸承對應(yīng)可靠性壽命下的當(dāng)量動載荷Y分布的對數(shù)值 μy1和 σy1轉(zhuǎn)化為非對數(shù)值，則可得滾動軸承可靠性評估與設(shè)計的當(dāng)量動載荷許用上限為

對于滾動軸承可靠性設(shè)計來說，滾動軸承無法滿足對應(yīng)可靠性壽命的公式為

假設(shè)滾動軸承無法滿足對應(yīng)可靠性壽命時，實(shí)際工況的外部施加載荷所合成的當(dāng)量動載荷X服從對數(shù)正態(tài)分布ln(μx2,)，滾動軸承對應(yīng)可靠性壽命下的當(dāng)量動載荷Y服從對數(shù)正態(tài)分布ln(μy2,)，無法滿足對應(yīng)可靠性壽命的可靠度Rs， μx2和σx2已知,μy2和σy2未知，變差系數(shù)同樣設(shè)為k。同理可得，滾動軸承可靠性評估與設(shè)計的當(dāng)量動載荷許用下限為

式中uRs為Rs標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)。

基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型進(jìn)行滾動軸承可靠性評估與設(shè)計，根據(jù)計算出的當(dāng)量動載荷的波動區(qū)間(μys,μyf)，結(jié)合軸承壽命公式可以對滾動軸承進(jìn)行可靠性評估，選取區(qū)間中值為當(dāng)量動載荷的計算值，可以得到軸承在該工況下的可靠性壽命；同理，考慮可靠性壽命的滿足與否，令滾動軸承可靠性設(shè)計的當(dāng)量動載荷 μy滿足：μys＜μy＜μyf，取(μys,μyf)區(qū)間中值作為當(dāng)量動載荷設(shè)計均值，使?jié)L動軸承在滿足該工況下的目標(biāo)可靠度壽命的同時不會溢出過多的軸承性能。

2 軸承可靠性評估與設(shè)計

軸承可靠性設(shè)計基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，利用對數(shù)正態(tài)分布處理軸承施加載荷范圍，結(jié)合軸承設(shè)計公式可以實(shí)現(xiàn)對軸承的可靠性評估與可靠性設(shè)計?？煽啃栽u估可以評估軸承在當(dāng)前工況下的可靠性壽命。可靠性設(shè)計可以對軸承進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，使軸承滿足該工況下目標(biāo)可靠度壽命。

滾動軸承可靠性評估流程如圖1 所示。

圖1 滾動軸承可靠性評估流程圖Fig.1 Flow chart of rolling bearing reliability evaluation

2.1 可靠性評估

根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布下的軸承可靠性評估與設(shè)計模型，輸入軸承實(shí)際工況下所承受的載荷范圍，根據(jù)式（7）和式（9）可以計算出當(dāng)量動載荷的波動區(qū)間(μys,μyf)。在保持較高裕度的同時，利用(μys,μyf)區(qū)間中值作為當(dāng)量動載荷的計算值，利用軸承壽命公式可以對滾動軸承進(jìn)行可靠性評估，得到軸承在該工況下的可靠性壽命。軸承壽命公式為

式中Ln為目標(biāo)壽命。

當(dāng)可靠度為0.9 時，即壽命公式L10為

2.2 可靠性設(shè)計

可靠性評估可以對實(shí)際工作中的滾動軸承計算可靠性壽命，選擇更加安全可靠的軸承進(jìn)行工作。同理，根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布下的軸承可靠性評估與設(shè)計模型，可以依據(jù)目標(biāo)可靠度和目標(biāo)壽命對滾動軸承進(jìn)行可靠性設(shè)計，具體步驟如下：

1）對進(jìn)行可靠性設(shè)計的軸承，根據(jù)目標(biāo)壽命Ln,目標(biāo)可靠度S，額定動載荷Cr,利用式（10）可計算出當(dāng)量動載荷P0。

2）對實(shí)際工況下軸承施加的載荷范圍，根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布下的軸承可靠性評估與設(shè)計模型的式（7）和式（9），計算得到當(dāng)量動載荷許用范圍(μys,μyf)。

3）取當(dāng)量動載荷許用范圍(μys,μyf)的中值P1對滾動軸承進(jìn)行可靠性設(shè)計。將目標(biāo)壽命Ln,目標(biāo)可靠度S，當(dāng)量動載荷許用范圍中值P1，代入式（10），計算出可以滿足當(dāng)前工況下目標(biāo)可靠度壽命的軸承額定動載荷Cr1。

4）比較滾動軸承原有的額定動載荷Cr與新設(shè)計的額定動載荷Cr1，根據(jù)滾動軸承額定動載荷的與軸承參數(shù)的公式，對接觸角，滾動體個數(shù)，滾動體球徑，內(nèi)外圈溝曲率系數(shù)等軸承相關(guān)參數(shù)進(jìn)行多決策變量優(yōu)化，使優(yōu)化后的軸承可以在該工況下滿足目標(biāo)可靠性壽命，以此來達(dá)到對滾動軸承進(jìn)行可靠性設(shè)計的目的。

滾動軸承可靠性設(shè)計流程如圖2 所示。

圖2 滾動軸承可靠性設(shè)計流程圖Fig.2 Flow chart of rolling bearing reliability design

3 仿真驗(yàn)證分析

3.1 滾動軸承型號和工況的選取

利用Romax 建立滾動軸承仿真模型，選取6 類深溝球軸承和7 類角接觸球軸承進(jìn)行仿真，具體型號如表1 所示。

表1 滾動軸承仿真型號Tab.1 Rolling bearing simulation model numbers

對表1 的6 種不同型號的的滾動軸承，每種滾動軸承在3 種工況條件下進(jìn)行仿真，工況如表2 所示。

表2 滾動軸承仿真工況Tab.2 Rolling bearing simulation working conditions

3.2 仿真結(jié)果

6 類深溝球軸承，所施加的徑向載荷就是軸承的當(dāng)量動載荷。對3 種深溝球軸承進(jìn)行3 種工況條件下的仿真，所得仿真壽命如表3 所示。

表3 深溝球軸承仿真壽命Tab.3 Deep groove ball bearing simulation life

7 類角接觸球軸承，可以承受軸向力和徑向力，軸承的當(dāng)量動載荷由軸向載荷、徑向載荷和接觸角計算可得，公式為

式中：fp為載荷系數(shù)；k1為徑向載荷系數(shù)；k2為軸向載荷系數(shù)。

對3 種角接觸球軸承施加不同的軸向載荷，使軸承所承受的當(dāng)量動載荷與工況1 ～ 工況3 中當(dāng)量動載荷保持一致，軸向載荷大小如表4 所示。

表4 角接觸球軸承仿真載荷Tab.4 Angular contact ball bearing simulation loads

對3 種角接觸球軸承在3 種工況條件下進(jìn)行仿真，所得仿真壽命如表5 所示。

表5 角接觸球軸承仿真壽命Tab.5 Angular contact ball bearing simulation life

3.3 軸承可靠性評估

以L10為例進(jìn)行軸承壽命數(shù)據(jù)分析，實(shí)際工況：軸承轉(zhuǎn)速為12 000 r/min，承受的當(dāng)量動載荷為1 000～2 000 N 之間的滾動軸承進(jìn)行可靠性評估，計算軸承的L10壽命。同時利用不同軸承在3 種工況條件下的仿真壽命數(shù)據(jù)，以平均值的形式表示軸承在該實(shí)際工況下的壽命數(shù)據(jù)。深溝球軸承壽命分析如表6所示，角接觸球軸承進(jìn)行壽命分析如表7 所示。

表6 深溝球軸承壽命分析Tab.6 Deep groove ball bearing life analysis

表7 角接觸球軸承壽命分析Tab.7 Angular contact ball bearing life analysis

軸承轉(zhuǎn)速為12 000 r/min，承受的當(dāng)量動載荷為1 000 ～ 2 000 N 下的滾動軸承壽命分析 ，如圖3 所示。由圖3 可知：仿真平均壽命和可靠性評估壽命具有相似的趨勢，說明根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布下的軸承可靠性評估與設(shè)計模型進(jìn)行的滾動軸承可靠性評估，所計算出的可靠性評估壽命可以準(zhǔn)確反映軸承壽命情況。

圖3 滾動軸承壽命分析Fig.3 Life analysis of rolling bearing

由圖3 知：可靠性評估壽命普遍低于仿真平均壽命。因?yàn)樵诳紤]施加載荷的波動性的情況下，軸承受交變載荷作用，更易疲勞失效，故而壽命會降低。由此證明可靠性評估壽命更具有安全性，利用計算出的當(dāng)量動載荷的波動區(qū)間(μys,μyf)區(qū)間中值進(jìn)行可靠性評估具有更高的裕度。在滾動軸承應(yīng)用選取方面可以更加安全有效。

3.4 軸承可靠性設(shè)計

以6005-SKF 為例對軸承進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，由壽命數(shù)據(jù)可知，當(dāng)實(shí)際工況為[1 000～2 000] N-12 000 r/min 時，6005-SKF 的仿真平均壽命為924 h，可靠性評估壽命為749 h。以目標(biāo)壽命為1 000 h，可靠度為0.9，對6005-SKF 軸承進(jìn)行可靠性設(shè)計。

1）6005-SKF 軸承的額定動載荷Cr=11 200 N，利用式（10）可計算出當(dāng)量動載荷P0=1 249 N。

2）實(shí)際工況下施加的載荷范圍[1 000～2 000] N，根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布下的軸承可靠性評估與設(shè)計模型的式（7）和式（9），計算得到當(dāng)量動載荷許用范圍（1 159，1 764） N。

3）取當(dāng)量動載荷許用范圍的中值P1=1 461.5 N結(jié)合目標(biāo)可靠度壽命L10=1 000 h，代入式（10），計算出可以滿足當(dāng)前工況下目標(biāo)可靠度壽命的軸承額定動載荷Cr1=13 099 N。

4）以球軸承為例，額定動載荷與軸承參數(shù)的設(shè)計公式為：

對軸承參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，要提高Cr可以：減小接觸角 α，增大滾動體數(shù)Z，增大滾動體球徑，改變內(nèi)外圈溝曲率系數(shù)fi，fe，增大系數(shù)fc。具體參數(shù)優(yōu)化數(shù)值，可對軸承參數(shù)進(jìn)行多決策變量優(yōu)化得到。

4 結(jié)論

本文提出一種應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型下的滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法，可以有效地對軸承進(jìn)行可靠性評估以及可靠性設(shè)計，具體結(jié)論如下：

1）考慮滾動軸承的動力學(xué)行為，將載荷處理為隨機(jī)過程，利用對數(shù)正態(tài)分布模擬載荷分布?；趹?yīng)力-強(qiáng)度干涉模型將可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)化為滾動軸承當(dāng)量動載荷許用范圍，考慮滾動軸承的特性可以使得滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法更加準(zhǔn)確有效。

2）通過對可靠性評估壽命與仿真平均壽命的分析，說明根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法進(jìn)行的可靠性評估可以準(zhǔn)確反映軸承壽命情況，并且具有更高的裕度，可以使?jié)L動軸承應(yīng)用選取更加安全有效。

3）應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型下的滾動軸承可靠性評估與設(shè)計方法，通過對當(dāng)量動載荷許用范圍的合理取值，結(jié)合軸承設(shè)計公式，對軸承參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使優(yōu)化后的軸承可以在該工況下滿足目標(biāo)壽命和可靠度的要求，實(shí)現(xiàn)滾動軸承的可靠性設(shè)計。