閆如忠 , ，石俊偉 , ，馬曉建 , ，安星宇 ,

（1.東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620；2.紡織裝備教育部工程研究中心，上海 201620）

多孔質(zhì)靜壓軸承采用微米級(jí)細(xì)孔介質(zhì)作為節(jié)流器，成千上萬(wàn)個(gè)細(xì)孔均勻分布在軸承多孔介質(zhì)中，軸承內(nèi)部氣體通過(guò)多孔介質(zhì)時(shí)，在多孔介質(zhì)表面和支撐面之間形成連續(xù)且均勻的氣膜。與小孔節(jié)流式軸承相比，多孔質(zhì)靜壓軸承的氣膜壓力分布均勻，具有很高的承載能力、靜剛度和良好的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，廣泛應(yīng)用于高精密加工機(jī)床主軸、導(dǎo)軌以及高精密測(cè)量?jī)x器的多維氣浮平臺(tái)中[1-2]。在工程應(yīng)用中，為降低多孔質(zhì)軸承設(shè)計(jì)與制造成本，預(yù)先采用計(jì)算仿真分析方法分析其性能，確定合適的軸承結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)參數(shù)。目前，主流商用計(jì)算流體力學(xué)軟件ANSYS Fluent 具有計(jì)算準(zhǔn)確度高、穩(wěn)定性強(qiáng)、適應(yīng)范圍廣等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于多孔質(zhì)軸承仿真中。多孔質(zhì)靜壓軸承的設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其性能的影響較為復(fù)雜，想要得到最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)，需要多次重復(fù)建模和仿真，建模難度大，仿真時(shí)間長(zhǎng)，嚴(yán)重影響了軸承的設(shè)計(jì)效率。因此，采用更加高效便捷的方法實(shí)現(xiàn)多孔質(zhì)軸承性能的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，對(duì)多孔質(zhì)靜壓軸承的快速設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要意義。

目前，不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)軸承的性能進(jìn)行預(yù)測(cè)。Qin 等[3]建立了不同轉(zhuǎn)速下滑動(dòng)軸承的非線性油膜力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用于研究汽輪發(fā)電機(jī)組橢圓軸承支撐的剛性不平衡莊子的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。Zhu 等[4]建立了軸承振動(dòng)特征信息識(shí)別神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提高了軸承不同振動(dòng)狀態(tài)類別對(duì)應(yīng)特征的識(shí)別精度。Tang 等[5]運(yùn)用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了恒流液體靜壓軸承的靜剛度特性。李寅平等[6]運(yùn)用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了圓柱軸承動(dòng)特性系數(shù)預(yù)測(cè)模型，可以快速預(yù)測(cè)圓柱軸承在不同結(jié)構(gòu)和工況條件下的8 個(gè)動(dòng)特性系數(shù)，預(yù)測(cè)結(jié)果滿足工程需求。石瑩等[7]建立了基于Fluent 的液體動(dòng)靜壓軸承熱特性分析的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)任意輸入?yún)?shù)下軸承工作溫度的預(yù)測(cè)。林桂強(qiáng)等[8]運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了軸承組均載率和幾何設(shè)計(jì)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系模型，以實(shí)現(xiàn)軸承組的優(yōu)化設(shè)計(jì)。顧延?xùn)|[9]運(yùn)用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立徑向多孔質(zhì)氣體軸承性能預(yù)測(cè)模型，結(jié)合MATLAB 仿真，實(shí)現(xiàn)對(duì)徑向多孔質(zhì)氣體軸承的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。以上學(xué)者通過(guò)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)不同類別軸承的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和性能進(jìn)行研究，完成了對(duì)軸承設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化和性能預(yù)測(cè)。

為了進(jìn)一步研究多孔質(zhì)軸承設(shè)計(jì)參數(shù)與性能之間的關(guān)系，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率，本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，以多孔質(zhì)空氣靜壓止推軸承為研究對(duì)象，ANSYS Fluent 仿真數(shù)據(jù)作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，采用遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，建立了以多孔質(zhì)空氣靜壓止推軸承的設(shè)計(jì)參數(shù)為輸入、靜態(tài)性能為輸出的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多孔質(zhì)空氣靜壓軸承靜態(tài)性能的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

1 多孔質(zhì)靜壓止推軸承結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)參數(shù)

多孔質(zhì)靜壓止推軸承性能主要取決于多孔質(zhì)結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)參數(shù)，因此主要對(duì)軸承的多孔質(zhì)結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行建模，不再詳細(xì)介紹軸承其它內(nèi)部供氣結(jié)構(gòu)等，靜壓止推軸承多孔質(zhì)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 靜壓止推軸承多孔質(zhì)結(jié)構(gòu)Fig.1 Porous structure of hydrostatic thrust bearing

多孔質(zhì)靜壓止推軸承承載原理是當(dāng)外部起源供氣時(shí)，通過(guò)多孔介質(zhì)對(duì)流體的阻力實(shí)現(xiàn)節(jié)流效應(yīng)，在軸承表面與被承載物支撐面之間形成厚度為h的氣膜，從而使被承載物懸浮起來(lái)，并實(shí)現(xiàn)零摩擦狀態(tài)的相對(duì)移動(dòng)，作為精密加工機(jī)床和精密儀器中的核心部件，可以提高機(jī)床的承載剛度，消除導(dǎo)軌的爬行蠕變現(xiàn)象，提高機(jī)床和儀器的移動(dòng)直線精度和位置精度，如圖2 所示。

圖2 多孔質(zhì)軸承承載原理Fig.2 Load-bearing principle of porous bearing

多孔質(zhì)靜壓止推軸承設(shè)計(jì)參數(shù)包括：多孔質(zhì)長(zhǎng)度L、多孔質(zhì)寬度W、多孔質(zhì)厚度H、氣膜厚度h、多孔質(zhì)滲透率α和外部供氣壓力Ps。多孔質(zhì)滲透率主要受其材料屬性影響，一般在常用范圍中選取指定值[10]，參數(shù)取值范圍如表1 所示。

表1 多孔質(zhì)靜壓止推軸承設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of porous hydrostatic thrust bearing

2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及遺傳算法優(yōu)化原理

2.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按照誤差反向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有很強(qiáng)的非線性映射能力，以及自學(xué)習(xí)、自組織和自適應(yīng)能力，是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一[11-12]。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般由輸入層、隱含層和輸出層組成，每層都由n個(gè)神經(jīng)元組成，BP 神經(jīng)元模型如圖3 所示。

圖3 BP 神經(jīng)元模型Fig.3 Model of BP neuron

每個(gè)神經(jīng)元的表達(dá)式為

式中：x為輸入向量；wT為權(quán)值矩陣；w0為神經(jīng)元偏置量； ?為激活函數(shù)。

因此，該層結(jié)構(gòu)可表達(dá)為

其中：

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練包括信號(hào)的前向傳播和誤差的反向傳播兩個(gè)過(guò)程。信號(hào)前向傳播即訓(xùn)練數(shù)據(jù)經(jīng)輸入層進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，再經(jīng)過(guò)若干隱含層傳遞到輸出層，輸出層將結(jié)果輸出。誤差反向傳播即當(dāng)前向傳播輸出的結(jié)果不能滿足精度要求時(shí)，由輸出層反向傳播誤差。假設(shè)樣本（x，y），網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為m，前向傳播過(guò)程如下：

首先，輸入層將初始輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，即

然后，傳入隱含層，則第i層的輸入h(i)和使用激活函數(shù) ?(i)獲得的輸出o(i)分別為：

最后，傳入輸出層，通過(guò)激活函數(shù)?(m)獲得最終輸出o(m)，即

誤差反向傳播過(guò)程為先計(jì)算輸出層的訓(xùn)練誤差，即

則第i層隱含層訓(xùn)練誤差可表示為

根據(jù)誤差更新BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和偏置量，第i層的權(quán)值W(i)和偏置量分別修正為：

式中η為學(xué)習(xí)速率。

2.2 遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

遺產(chǎn)算法GA 是基于自然選擇和遺傳理論的隨機(jī)優(yōu)化算法，主要對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼和種群初始化，利用選擇、交叉和變異等操作對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行篩選，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)對(duì)每個(gè)候選個(gè)體進(jìn)行評(píng)估，淘汰適應(yīng)度差的個(gè)體，保留優(yōu)秀個(gè)體[13]。在BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，隨機(jī)初始化權(quán)值和閾值對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸出結(jié)果有很大影響，容易出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練不穩(wěn)定、計(jì)算誤差較大和精度不滿足要求等問(wèn)題。因此采用遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即以種群搜索方式對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，來(lái)尋找一個(gè)全局最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程如圖4 所示。

3 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型建立與訓(xùn)練

3.1 拉丁超立方抽樣

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)集設(shè)計(jì)的合理性，直接影響到模型的預(yù)測(cè)精度，而在給定的設(shè)計(jì)參數(shù)區(qū)間內(nèi)，又有無(wú)數(shù)種參數(shù)組合。采用合理的設(shè)計(jì)方法是獲取有效數(shù)據(jù)樣本的關(guān)鍵因素。拉丁超立方抽樣[14]是一種從多元參數(shù)分布中近似隨機(jī)抽樣的方法，抽樣樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)是近似均勻分布的，能夠減少試驗(yàn)次數(shù)與試驗(yàn)時(shí)間，降低設(shè)計(jì)成本。其基本原理為：對(duì)于N個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，第i個(gè)參數(shù)為xi，取值區(qū)間是xi∈，i∈[1,N]，假設(shè)對(duì)這個(gè)設(shè)計(jì)空間取P個(gè)樣本，第k個(gè)樣本為xk=[x1,x2,···,xN]，k∈[1,P]，將參數(shù)xi的取值區(qū)間等分為P個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，與其他參數(shù)組合形成樣本點(diǎn)，并確保每個(gè)小區(qū)間在整個(gè)樣本集中僅使用一次，重復(fù)P次，抽樣樣本點(diǎn)分布示例如圖5 所示。

圖5 拉丁超立方抽樣樣本點(diǎn)分布Fig.5 Sample point distribution of Latin hypercube sampling

采用拉丁超立方抽樣方法進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集采樣，從軸承設(shè)計(jì)參數(shù)范圍空間內(nèi)抽取200 個(gè)樣本，使用ANSYS Fluent 軟件提供的k-ε模型仿真計(jì)算軸承的靜態(tài)承載力、耗氣量和靜剛度，部分樣本數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 部分樣本數(shù)據(jù)Tab.2 Partial sample data

由于各設(shè)計(jì)參數(shù)不都在同一個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果會(huì)有很大影響，需要將訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，歸一化公式為

式中：yi為歸一化后的輸入值；xi為原始數(shù)據(jù)；xmin和xmax分別為該組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值。

3.2 預(yù)測(cè)模型建立

在實(shí)際應(yīng)用中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層數(shù)一般不超過(guò)兩層，隱含層的層數(shù)和隱含節(jié)點(diǎn)的數(shù)量過(guò)多或過(guò)少時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合或欠擬合的情況，影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。根據(jù)軸承設(shè)計(jì)參數(shù)和靜態(tài)特性參數(shù)將輸入層神經(jīng)元數(shù)設(shè)為5，輸出層神經(jīng)元數(shù)設(shè)為3，采用三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（單隱含層），隱含層神經(jīng)元數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式確定為11。經(jīng)驗(yàn)公式[15]為

式中：l為隱含層神經(jīng)元數(shù)；p為輸入層神經(jīng)元數(shù)；n為輸出層神經(jīng)元數(shù)；a為可變常數(shù)。因此，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5-11-3，如圖6 所示。

圖6 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of BP neural network

此外激活函數(shù)的選擇對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練也十分重要，通過(guò)比較各類激活函數(shù)的特點(diǎn)，選擇采用正切Sigmoid 函數(shù)Tansig 和線性傳遞函數(shù)Purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用Trainlm 算法，此方法的優(yōu)點(diǎn)是收斂性好、收斂誤差小并且算法穩(wěn)定性好，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表3。

表3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置Tab.3 BP neural network parameters settings

遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要通過(guò)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值來(lái)實(shí)現(xiàn)，首先采用實(shí)數(shù)編碼方式為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行編碼，而后采用樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并將結(jié)果輸出，將預(yù)測(cè)值和仿真值之間的絕對(duì)誤差和作為個(gè)體適應(yīng)度值，計(jì)算公式為

式中：F為個(gè)體適應(yīng)度值；n為網(wǎng)絡(luò)輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)；oi為第i個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值；yi為第i個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的仿真值；k為系數(shù)。

通過(guò)比較個(gè)體適應(yīng)度值來(lái)不斷優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，最終獲得最優(yōu)權(quán)值和閾值，并賦值給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。遺傳算法中選擇操作采用輪盤(pán)賭選擇法，交叉操作的交叉概率為0.5，變異概率為0.1，種群規(guī)模為40，進(jìn)化代數(shù)為200。

3.3 預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練

將通過(guò)拉丁超立方抽樣抽取的200 組軸承仿真數(shù)據(jù)樣本按照7∶1.5∶1.5 的比例劃分為訓(xùn)練集、測(cè)試集和驗(yàn)證集，并按照上述BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，由此訓(xùn)練了GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模型訓(xùn)練結(jié)果如圖7 所示。

圖7 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練結(jié)果Fig.7 Training results of GA-BP neural network model

由圖7a）可知：遺傳算法中種群最佳適應(yīng)度大小隨著進(jìn)化代數(shù)的增加而降低，說(shuō)明GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)值和閾值被逐漸優(yōu)化，最終獲得較好的權(quán)值和閾值；由圖7b）中可知，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差逐漸降低，最終穩(wěn)定在7×10-4左右，訓(xùn)練誤差很小，說(shuō)明模型具有較高的精度；由圖7c）中可知訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集中模型預(yù)測(cè)值與目標(biāo)值的相關(guān)系數(shù)R分別為0.999 33、0.998 71、0.997 85，模型預(yù)測(cè)值與目標(biāo)值的總體相關(guān)系數(shù)R為0.999 06，均趨近于1，說(shuō)明模型輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)之間線性關(guān)系強(qiáng)，擬合度高。

4 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

為了評(píng)價(jià)GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的性能，引入預(yù)測(cè)誤差百分比EAP、平均相對(duì)誤差EMR和判定系數(shù)R2這3 項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)軸承性能預(yù)測(cè)值與仿真值之間的偏差分析，計(jì)算表達(dá)式如下：

在軸承參數(shù)設(shè)計(jì)空間內(nèi)任意抽取30 個(gè)樣本，采用訓(xùn)練好的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)抽取的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行多孔質(zhì)空氣靜壓軸承的靜態(tài)承載力、靜剛度和耗氣量大小預(yù)測(cè)，所得靜態(tài)承載力預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比如圖8 所示，靜剛度預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比如圖9 所示，耗氣量預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比如圖10 所示。

圖8 靜態(tài)承載力預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比Fig.8 Prediction results and prediction error percentage of static bearing capacity

圖9 靜剛度預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比Fig.9 Prediction results and prediction error percentage of static stiffness

圖10 耗氣量預(yù)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)誤差百分比Fig.10 Prediction results and prediction error percentage of gas consumption

從圖8a）、圖9a）、圖10a）中可知，采用訓(xùn)練好的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)軸承靜態(tài)承載力、靜剛度和耗氣量的預(yù)測(cè)值與仿真值基本吻合，個(gè)別樣本有較大偏差；從圖8b）、圖9b）、圖10b）中可觀察預(yù)測(cè)值與仿真值之間的誤差波動(dòng)情況，靜態(tài)承載力、靜剛度和耗氣量的預(yù)測(cè)誤差百分比基本都在-5% ～5%之間，只有極少數(shù)的點(diǎn)有較大誤差，GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度見(jiàn)表4。由表4 可知，訓(xùn)練出的GA-BP 模型預(yù)測(cè)精度均在95% 以上，并且判定系數(shù)均趨于1，說(shuō)明該模型可以用來(lái)預(yù)測(cè)多孔質(zhì)空氣靜壓軸承的靜態(tài)特性，并且預(yù)測(cè)精度高。

表4 GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)精度Tab.4 Prediction accuracy of GA-BP neural network model

5 結(jié)論

本文基于多孔質(zhì)空氣靜壓軸承ANSYS Fluent仿真數(shù)據(jù)建立并訓(xùn)練了GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)設(shè)計(jì)空間內(nèi)任意設(shè)計(jì)參數(shù)下的多孔質(zhì)空氣靜壓軸承靜態(tài)特性的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度達(dá)95% 以上，能夠提高軸承的設(shè)計(jì)效率，并且隨著軸承數(shù)據(jù)集的擴(kuò)展，重復(fù)訓(xùn)練此模型，可得到更廣的預(yù)測(cè)范圍。本文研究的GA-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型可擴(kuò)展應(yīng)用到其它類型的多孔質(zhì)空氣靜壓軸承靜態(tài)特性的研究中，為其提供方法借鑒和理論參考。