林心怡, 劉深泉, 宋健

(華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

0 引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)和功能單位,其不同放電模式對(duì)應(yīng)著神經(jīng)元不同的信息編碼方式。利用分岔理論研究神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[1],被認(rèn)為是一種廣泛有效的方法。近年來,運(yùn)用分岔理論,劉深泉等[2]、Wang等[3]研究了呼吸神經(jīng)元模型和胰腺β細(xì)胞模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和放電活動(dòng)。江小芳[4]研究了多巴胺能神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),討論了單簇內(nèi)峰數(shù)目的變化規(guī)律。Zhan等[5]研究了垂體細(xì)胞的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在神經(jīng)系統(tǒng)中,耦合的同步性影響著神經(jīng)元傳輸信息的效率,許多學(xué)者針對(duì)耦合系統(tǒng)同步性展開研究。楊永霞等[6]研究了化學(xué)耦合Pre-B?tC神經(jīng)元模型的同步轉(zhuǎn)遷規(guī)律。楊騰云等[7]研究了電磁影響下環(huán)狀連接耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步轉(zhuǎn)遷。對(duì)于不同的神經(jīng)元模型,耦合連接方式、耦合強(qiáng)度及參數(shù)對(duì)神經(jīng)元集體放電活動(dòng)起到不同的調(diào)節(jié)作用,因此耦合神經(jīng)元的放電模式與同步轉(zhuǎn)遷規(guī)律是一個(gè)值得研究的問題。

多巴胺是大腦中含量最豐富的神經(jīng)遞質(zhì),調(diào)控著多種生理機(jī)能和機(jī)體活動(dòng),參與了哺乳動(dòng)物大腦的激勵(lì)、快樂、運(yùn)動(dòng)、學(xué)習(xí)強(qiáng)化等過程,并且與帕金森綜合征[8]、精神分裂癥[9]、藥物成癮[10]等疾病有關(guān)。釋放多巴胺的神經(jīng)細(xì)胞,被稱為多巴胺能神經(jīng)元,主要集中在中腦區(qū)域。多巴胺能神經(jīng)元的活動(dòng)影響細(xì)胞外多巴胺濃度的水平和其靶區(qū)血氧水平依賴功能磁共振成像的信號(hào),例如,用頻率40 Hz電刺激多巴胺能神經(jīng)元比頻率10 Hz更有效地提高大鼠紋狀體的多巴胺胞外濃度[11]。

在不同的條件下,多巴胺能神經(jīng)元呈現(xiàn)出不同的振蕩模式。在活體[12]和離體[13]實(shí)驗(yàn)中,阻斷小電導(dǎo)鈣激活鉀(small conductance calcium activated potassium, SK)通道會(huì)增加簇節(jié)律發(fā)放的趨勢(shì),這些簇通常以去極化型阻斷結(jié)尾,與長期服用抗精神病藥物的大鼠呈現(xiàn)的簇放電行為類似。在許多簇發(fā)放數(shù)學(xué)模型中,慢振蕩去極化期間簇的峰出現(xiàn),而不發(fā)放的簇間間隔比簇內(nèi)峰峰間距更超級(jí)化,這類簇通常被稱作方波簇[14]。而這里所說的以去極化型阻斷結(jié)尾的簇是一類反常簇,其特點(diǎn)是靜息狀態(tài)的簇間間隔比峰峰間距觀察到的膜電位更去極化。由Yu等[15]提出的多巴胺能神經(jīng)元模型,能夠抓住多巴胺能神經(jīng)元由SK通道阻斷介導(dǎo)該反常簇行為這一特性,本文的工作就是在此模型的基礎(chǔ)上展開。

文獻(xiàn)[15]提出的多巴胺能神經(jīng)元模型雖然能夠很好地模擬多巴胺能神經(jīng)元的生物特性,但它是一個(gè)13維的非線性動(dòng)力系統(tǒng),直接研究有很大的困難,因此,本文考慮對(duì)該模型降維,通過3個(gè)降維步驟得到一個(gè)能夠保持原模型放電特性的四維簡(jiǎn)化模型,通過研究簡(jiǎn)化模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),增加對(duì)多巴胺能神經(jīng)元模型由特定參數(shù)介導(dǎo)的反常簇行為的了解。本文首先通過單參數(shù)分岔和雙參數(shù)分岔,研究簡(jiǎn)化模型在不同參數(shù)變化下的放電行為和分岔結(jié)構(gòu),并計(jì)算第一Lyapunov系數(shù)判斷生成極限環(huán)的穩(wěn)定性。其次分別構(gòu)建電突觸和化學(xué)突觸下耦合多巴胺能神經(jīng)元模型,研究模型參數(shù)對(duì)耦合神經(jīng)元放電特性的影響和同步狀態(tài)轉(zhuǎn)遷過程,得到模型實(shí)現(xiàn)耦合同步的條件。

文獻(xiàn)[15]提出的多巴胺能神經(jīng)元模型的描述如下:

(1)

電流IK,ERG為內(nèi)向整流鉀電流,用下列2個(gè)微分方程描述:

式中:i表示ERG關(guān)閉的比例;αo、βo、αi、βi表示反應(yīng)速率,αo=0.003 6exp(0.075 9V),βo=1.252 3×10-5exp(-0.067 1V),αi=91.11exp(0.118 9V),βi=12.6exp(0.073 3V)。

鈣離子的平衡滿足方程為

式中:ρCa為鈣離子濃度,mmol/L;fCa=0.018,是無緩沖自由鈣的比例;F是法拉第常數(shù);d為細(xì)胞直徑;ICa,p表示被排出的鈣離子,其被模型化為一個(gè)非生電泵:ICa,p=ICap,max/(1+0.000 5/ρCa),其中ICap,max=11 μA,該模型其余參數(shù)取值見文獻(xiàn)[15]。

1 模型降維

文獻(xiàn)[15]構(gòu)建的多巴胺能神經(jīng)元模型(1)是一個(gè)具有13維的高維復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng),對(duì)這樣高維的系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是非常困難的,下面考慮對(duì)原模型降維,研究降維得到簡(jiǎn)化模型。

步驟1基于Kepler等[17]提出的降維方法,考慮將m、p、q1、q2、l、mH這6個(gè)門控變量的表達(dá)式用其穩(wěn)態(tài)函數(shù)替代,并調(diào)整參數(shù)值使該步降維后的電位發(fā)放特性與原模型一致,各變量的穩(wěn)態(tài)函數(shù)見文獻(xiàn)[15]。

步驟2通過變量與膜電位的相圖,發(fā)現(xiàn)變量o、i與膜電位V密切相關(guān),如圖1(a)、圖1(b)所示,藍(lán)色曲線為變量間相圖(圖1紅色曲線為擬合曲線)。通過曲線擬合得到變量o、i關(guān)于膜電位V的表達(dá)式為

(a) 變量o與V的擬合曲線

(b) 變量i與V的擬合曲線

(c) 變量h與n的擬合曲線圖1 模型(1)中相關(guān)變量相圖Fig.1 Relevant variable phase diagram in model (1)

o=7.505×10-6V2-0.001 03V+0.019 11,
i=-7.371×10-6V2+0.001 022V+0.140 6。

(2)

步驟3通過觀察剩余變量與門控變量n之間的相圖,發(fā)現(xiàn)門控變量h與n之間有較強(qiáng)相關(guān)性,如圖1(c)所示,通過曲線擬合得到變量h關(guān)于n的表達(dá)式為

h=1.35n2-1.76n+0.624 2。

(3)

通過上述3步降維過程,得到一個(gè)四維簡(jiǎn)化多巴胺能神經(jīng)元模型,模型方程如下所示:

(4)

除降維過程中替換的門控變量表達(dá)式和調(diào)整的參數(shù)值外,該模型中各電流和時(shí)間常數(shù)的表達(dá)式與原模型相同,且其余參數(shù)取值與原模型保持一致,詳見文獻(xiàn)[15]。

為了使降維后模型(4)的放電特性與原模型(1)一致,調(diào)整參數(shù)值Vk=-80 mV,gNa=5 700 μS/cm2,gK,A=1 700 μS/cm2,ICap,max=12 μA,gK,DR=500 μS/cm2,其他參數(shù)值保持不變。原模型(1)和簡(jiǎn)化模型(4)的放電比較如圖2所示。從圖2可見,降維得到的四維簡(jiǎn)化模型的放電特性與原模型幾乎相同,通過阻斷SK電流也能使模型出現(xiàn)去極化型反常簇行為,如圖2(d)所示。綜上,本文通過降維得到的模型是可行的。

(a) 原模型的峰發(fā)放

(b) 原模型的簇發(fā)放

(c) 簡(jiǎn)化模型的峰發(fā)放

(d) 簡(jiǎn)化模型的簇發(fā)放圖2 原模型(1)和簡(jiǎn)化模型(4)的放電比較Fig.2 Potential comparison of original model (1) and simplified model (4)

2 分岔分析

2.1 單參數(shù)分岔分析

IK,SK是依賴于鈣的小電導(dǎo)鉀電流。在生理實(shí)驗(yàn)中,阻斷該電流會(huì)增加反常簇節(jié)律放電的趨勢(shì),與長期服用抗精神病藥物的大鼠體內(nèi)出現(xiàn)的節(jié)律放電類似。本模型通過改變電導(dǎo)gK,SK的值,也可以使得神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)簇發(fā)放與峰發(fā)放之間的轉(zhuǎn)遷。為了更深入地了解gK,SK對(duì)神經(jīng)元節(jié)律放電的影響,將gK,SK作為分岔參數(shù),刺激電流Istim與電導(dǎo)gK,SK的單參數(shù)分岔與峰峰間距(ISI)分岔比較如圖3所示。

(a) gK,SK的分岔

(b) gK,SK的ISI分岔

(c) Istim的分岔圖3 刺激電流Istim與電導(dǎo)gK,SK的單參數(shù)分岔與峰峰間距(ISI)分岔比較Fig.3 Comparison of one-parameter bifurcation of stimulus current Istim and conductance gK,SK and ISI bifurcation

圖3(a)的分岔曲線呈不明顯的Z形,藍(lán)色曲線表示穩(wěn)定平衡點(diǎn),黑色曲線表示不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。圖中有一個(gè)Hopf分岔點(diǎn)H,以及2個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)LP1和LP2。隨著參數(shù)gK,SK逐漸增大,神經(jīng)元的靜息狀態(tài)經(jīng)由LP1點(diǎn)進(jìn)入放電狀態(tài),由H點(diǎn)回到靜息狀態(tài)。從圖3(b)可見,gK,SK=1.09×10-5S/cm2附近進(jìn)入放電狀態(tài)。當(dāng)1.09×10-5S/cm2

從圖3(c)可見,Hopf分岔點(diǎn)H1、H2隨著Istim逐漸增大,系統(tǒng)的靜息狀態(tài)經(jīng)由H1點(diǎn)進(jìn)入放電狀態(tài),由H2點(diǎn)回到靜息狀態(tài)。H1點(diǎn)是模型(4)靜息和放電相互轉(zhuǎn)遷的關(guān)鍵點(diǎn),為了分析H1點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),利用文獻(xiàn)[18]中的方法計(jì)算H1點(diǎn)的第一Lyapunov系數(shù)l1(0)來確定所產(chǎn)生極限環(huán)的穩(wěn)定性。H1點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的刺激電流為Istim=-0.773 78 mA,在H1點(diǎn)處,此時(shí)的Jacobian矩陣的特征值為λ1=-0.058 6,λ2=-0.002 0,λ3.4=±0.025 3i,存在一對(duì)實(shí)部為0的共軛特征根,從而驗(yàn)證了模型(4)在H1點(diǎn)發(fā)生了Hopf分岔。

首先,通過計(jì)算得到在H1點(diǎn)處的Jacobian矩陣為

式中:矩陣A|H1有一對(duì)共軛特征根λ3,4=±iω,其中ω=0.025 3,取特征值λ3對(duì)應(yīng)的特征向量q,使得Aq=iωq,取AT的特征值λ4對(duì)應(yīng)的特征向量p,使得ATp=-iωp,同時(shí)向量p、q滿足〈p,q〉=1。經(jīng)計(jì)算得到

q=(0.999 963,3.278 6×10-7-2.29×10-6i,0.004 454-0.001 743 5i,

-0.000 468 6+0.007 123 4i)T,

p=(0.545 838+0.065 7i,-3 940.79-177 179.824i,-10.174 8-5.465 6i,

-0.637 74+11.767 85i)T。

經(jīng)計(jì)算得到

通過文獻(xiàn)[17]中的計(jì)算公式可以得到第一Lyapunov系數(shù)為

因此,四維多巴胺能神經(jīng)元模型(4)在H1處發(fā)生了亞臨界Hopf分岔,并產(chǎn)生不穩(wěn)定極限環(huán)。利用相同的方法,通過計(jì)算可得在H2點(diǎn)與H點(diǎn)也產(chǎn)生了亞臨界Hopf分岔,產(chǎn)生不穩(wěn)定極限環(huán)。

2.2 雙參數(shù)分岔分析

雙參數(shù)分岔圖可以體現(xiàn)2個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)性質(zhì)的改變過程。模型(4)中刺激電流Istim與不同參數(shù)組合時(shí)的雙參數(shù)周期分岔比較如圖4所示,圖中不同顏色代表不同的周期個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)關(guān)系展示在右側(cè)顏色欄中,周期個(gè)數(shù)大于等于45視為混沌狀態(tài),用白色表示。

(a) Istim與gK,SK

(b) Istim與gNa

(c) Istim與gK,DR

(d) Istim與gH

(e) Istim與gL,Ca

(f) Istim與gK,ERG圖4 模型(4)中刺激電流Istim與不同參數(shù)組合的雙參數(shù)周期分岔比較Fig.4 Comparison of two-parameter periodic bifurcation when stimulus current Istim is combined with different parameters in model (4)

在不同參數(shù)組合下系統(tǒng)具有相似的分岔結(jié)構(gòu),當(dāng)沿不同方向變化參數(shù)時(shí)均表現(xiàn)出由加周期分岔轉(zhuǎn)遷至混沌態(tài)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,且隨著周期數(shù)的增大,其顏色帶逐漸變窄,直至混沌狀態(tài)。例如圖4(b),以Istim和gNa為參數(shù)變量,當(dāng)沿著平面右下至左上的方向變化參數(shù)時(shí),系統(tǒng)經(jīng)歷了如下過程:靜息態(tài)→周期1簇放電態(tài)→周期2簇放電態(tài)→周期3簇放電態(tài)→周期4簇放電態(tài)→周期5簇放電態(tài)→…→混沌放電。這種分岔結(jié)構(gòu)存在于圖4(a)至圖4(f)中,系統(tǒng)通過加周期分岔與混沌區(qū)域相連接。通過不同參數(shù)組合的雙參數(shù)周期分岔圖,進(jìn)一步了解模型反常簇發(fā)放的放電規(guī)律,為理論研究提供參考。

3 耦合模型的放電特性及同步研究

生物神經(jīng)系統(tǒng)是許多神經(jīng)元的集群,2個(gè)神經(jīng)元耦合在一起構(gòu)成了最小的神經(jīng)元集群,與單個(gè)神經(jīng)元模型相比,耦合模型表現(xiàn)出的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。神經(jīng)元在處理信息的過程中發(fā)生的同步行為在神經(jīng)系統(tǒng)中廣泛存在。同步行為在學(xué)習(xí)和形成記憶等方面起到至關(guān)重要的作用,并且在許多疾病背后都能看到同步現(xiàn)象,如癲癇、帕金森綜合征等,因此,利用非線性動(dòng)力學(xué)理論探究神經(jīng)元的同步放電活動(dòng),能夠給醫(yī)學(xué)研究提供一定的理論啟發(fā)。下面構(gòu)建2個(gè)簡(jiǎn)化多巴胺能神經(jīng)元的電突觸耦合模型和化學(xué)突觸耦合模型,分別探究模型參數(shù)對(duì)2個(gè)神經(jīng)元耦合模型放電特性的影響和同步狀態(tài)轉(zhuǎn)遷過程,得到耦合模型實(shí)現(xiàn)同步的條件。

3.1 同步特征指標(biāo)

引入神經(jīng)元膜電位的相位差[19]和平均同步差度量2個(gè)耦合神經(jīng)元的同步性。記錄2個(gè)神經(jīng)元到達(dá)動(dòng)作電位峰值的時(shí)刻,那么2個(gè)耦合神經(jīng)元的相位差可以定義為

式中tn、ts分別為2個(gè)耦合神經(jīng)元到達(dá)峰值的時(shí)間。當(dāng)Δφ=0或2π時(shí),耦合模型為相位同步狀態(tài);當(dāng)Δφ取值為固定數(shù),且不完全為0或2π時(shí),耦合模型為反相同步狀態(tài);當(dāng)Δφ為[0,2π]中的任意值時(shí),耦合模型為異步狀態(tài)。由于相位差指標(biāo)不足以區(qū)分本文后續(xù)會(huì)出現(xiàn)的靜息異步狀態(tài)和相位同步狀態(tài),因此下面引入平均同步差指標(biāo)作為補(bǔ)充。

假設(shè)耦合模型中2個(gè)神經(jīng)元的微分方程組得到的解分別為(x1,y1,z1,w1)與(x2,y2,z2,w2),那么耦合模型的平均同步差e的計(jì)算公式為

3.2 電突觸耦合模型的放電特性及同步研究

3.2.1 電突觸耦合模型

電突觸耦合模型如下:

(5)

式中:i,j∈{1,2},且i≠j;Vi表示第i個(gè)神經(jīng)元的膜電位;Ii表示第i個(gè)神經(jīng)元受到的外界刺激電流;D表示2個(gè)神經(jīng)元之間的耦合連接強(qiáng)度,該耦合模型中所有參數(shù)值與模型(4)相同。

3.2.2 刺激電流對(duì)電突觸耦合模型的影響

刺激電流的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較如圖5所示。對(duì)電突觸耦合模型(5)添加刺激電流I1=I2=I,通過峰峰間距分岔圖、相位差及平均同步差觀察I變化對(duì)電突觸耦合模型(5)同步的影響,這里耦合強(qiáng)度D=0.001 mS/cm2。

(a) 刺激電流的ISI分岔

(b) 相位差

(c) 平均同步差圖5 刺激電流的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較Fig.5 Comparison of ISI bifurcation diagram and synchronization index of stimulus current

當(dāng)I∈[0,1.35]時(shí),神經(jīng)元表現(xiàn)簇放電態(tài),模型相位差值混亂,耦合模型處于異步狀態(tài)。當(dāng)I>1.35 mA時(shí),神經(jīng)元由簇放電轉(zhuǎn)遷至靜息,模型相位差值為2π,同步差值為0,耦合模型達(dá)到完全靜息同步狀態(tài),因此在電突觸耦合模型(5)中,改變刺激電流可以誘導(dǎo)耦合系統(tǒng)達(dá)到完全靜息同步。

3.2.3 耦合強(qiáng)度對(duì)電耦合系統(tǒng)的影響

耦合強(qiáng)度影響了系統(tǒng)的同步性,但對(duì)神經(jīng)元放電模式并無影響。耦合強(qiáng)度D的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較如圖6所示,其中刺激電流I1=I2=0。

(a) 耦合強(qiáng)度的ISI分岔

(b) 相位差

(c) 平均同步差圖6 耦合強(qiáng)度D的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較Fig.6 Comparison of ISI bifurcation diagram of coupling strength D and synchronization index

從圖6可見,耦合強(qiáng)度D變化時(shí)神經(jīng)元始終表現(xiàn)為規(guī)律的簇放電態(tài)。當(dāng)0

3.2.4 電突觸耦合模型在雙參數(shù)平面的同步

利用二維平面的同步狀態(tài)、平均同步差、動(dòng)作電位周期個(gè)數(shù)分布探究(D,I)參數(shù)平面上的同步行為。(D,I)參數(shù)平面上同步指標(biāo)與周期個(gè)數(shù)比較如圖7所示。其中圖7(a)中紅色代表異步,綠色代表反相同步,藍(lán)色代表相位同步。

(a) 同步狀態(tài)

(b) 平均同步差

(c) 周期個(gè)數(shù)圖7 (D,I)參數(shù)平面上同步指標(biāo)與周期個(gè)數(shù)比較Fig.7 Comparison of synchronization index and the number of period in (D,I) parameter plane

觀察圖7可知,較小的D和I不利于耦合模型達(dá)到同步,由異步轉(zhuǎn)遷到相位同步的過程中會(huì)經(jīng)歷短暫的反相同步狀態(tài)。隨著D和I同時(shí)增大,平均同步差的值逐漸減小,耦合模型趨于同步狀態(tài)。從圖7(c)可見,隨著I的增大,簇放電周期個(gè)數(shù)不斷減少,而D對(duì)周期個(gè)數(shù)幾乎沒有影響,進(jìn)一步驗(yàn)證了前面的結(jié)論。當(dāng)I>1.35 mA時(shí),神經(jīng)元為靜息態(tài),該電突觸耦合模型在達(dá)到完全同步時(shí)神經(jīng)元有2種發(fā)放模式,分別是周期簇發(fā)放和靜息態(tài)。

對(duì)于電突觸耦合模型(5),其放電模式受刺激電流影響較大,系統(tǒng)的同步狀態(tài)則受到刺激電流和耦合強(qiáng)度的共同影響,當(dāng)I<1.35 mA時(shí),改變耦合強(qiáng)度可以誘導(dǎo)耦合系統(tǒng)達(dá)到簇同步狀態(tài);當(dāng)I>1.35 mA時(shí),改變耦合強(qiáng)度可以誘導(dǎo)耦合系統(tǒng)達(dá)到靜息同步狀態(tài)。

3.3 化學(xué)突觸耦合模型的放電特性及同步研究

3.3.1 化學(xué)突觸耦合模型

化學(xué)突觸耦合模型如下:

(6)

式中:i,j∈{1,2},且i≠j;Vsyn為突觸的逆轉(zhuǎn)電位,其取值決定化學(xué)耦合是抑制還是興奮;θ為突觸閾值;σ為興奮或抑制開始的比率常數(shù);其他參數(shù)與模型(4)相同。

3.3.2 刺激電流對(duì)化學(xué)突觸耦合模型的影響

模型(6)中刺激電流的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較如圖8所示。對(duì)化學(xué)突觸耦合模型(6)施加外界刺激I1=I2=I,觀察神經(jīng)元發(fā)放模式的改變和耦合系統(tǒng)的同步情況,其中σ=10,θ=-45,D=0.010 mS/cm2,Vsyn=-60 mV。

(a) I=0 mA

(b) I=0.7 mA

(c) I=2.2 mA

(d) ISI分岔

(e) 相位差

(f) 平均同步差圖8 模型(6)中刺激電流的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較Fig.8 Comparison of ISI bifurcation diagram of stimulus current and synchronization index in model (6)

改變化學(xué)突觸耦合模型中刺激電流的取值使神經(jīng)元表現(xiàn)出一種特殊的混合模式振蕩現(xiàn)象,如圖8(b)至圖8(c)所示。該混合模式振蕩由大幅振蕩和小幅振蕩組成,大幅振蕩表現(xiàn)為周期簇放電,保持了單神經(jīng)元模型所具有的以去極化阻斷結(jié)尾的反常簇形態(tài),小幅振蕩表現(xiàn)為相鄰簇間的多個(gè)凸起結(jié)構(gòu)。如圖8(d)所示,隨著電流的增大,在混合模式振蕩過程中存在逆加周期分岔的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,大幅振蕩的簇內(nèi)峰數(shù)目和小幅振蕩的凸起數(shù)量都在逐漸減少。隨著刺激電流的增大,耦合神經(jīng)元的放電活動(dòng)經(jīng)歷峰放電→混沌狀態(tài)→混合模式振蕩的轉(zhuǎn)變過程。當(dāng)I>3.2 mA時(shí),神經(jīng)元為靜息態(tài),對(duì)應(yīng)相位差值為2π,平均同步差值為0,耦合模型達(dá)到靜息同步狀態(tài)。

綜上,在化學(xué)突觸耦合模型中,改變刺激電流不僅使得神經(jīng)元表現(xiàn)出混合模式振蕩的復(fù)雜現(xiàn)象,還可以誘導(dǎo)耦合系統(tǒng)達(dá)到靜息同步狀態(tài)。

3.3.3 突觸逆轉(zhuǎn)電位對(duì)化學(xué)突觸耦合模型的影響

模型(6)中突觸逆轉(zhuǎn)電位的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較如圖9所示。討論突觸逆轉(zhuǎn)電位Vsyn變化時(shí),耦合神經(jīng)元放電模式的變化以及化學(xué)耦合模型(6)的同步狀態(tài)轉(zhuǎn)遷過程,其中σ=10,θ=-45,D=0.100 mS/cm2,I1=I2=0.1 mA。

(a) ISI分岔

(b) 相位差

(c) 平均同步差

(d) Vsyn=-65 mV

(e) Vsyn=-55 mV

(f) Vsyn=-40 mV圖9 模型(6)中突觸逆轉(zhuǎn)電位的ISI分岔圖與同步指標(biāo)比較Fig.9 Comparison of ISI bifurcationdiagram of synaptic reversal potentialand synchronization index in model(6)

隨著突觸逆轉(zhuǎn)電位增大,耦合模型同步狀態(tài)的轉(zhuǎn)遷過程為反相同步→異步→反相同步→異步→簇同步→靜息同步。幾個(gè)同步狀態(tài)分別為:當(dāng)Vsyn<-58 mV時(shí),耦合神經(jīng)元處于反相同步的峰放電狀態(tài),圖9(d)為Vsyn=-65 mV時(shí)耦合神經(jīng)元的放電序列圖,藍(lán)線和紅線分別表示耦合模型第1、2個(gè)神經(jīng)元的放電序列;當(dāng)-57 mV-43 mV時(shí),耦合模型達(dá)到靜息同步狀態(tài),如圖9(f)所示。綜上,當(dāng)突觸逆轉(zhuǎn)電位Vsyn取合適值時(shí),能使得化學(xué)耦合模型(6)達(dá)到簇同步狀態(tài)或靜息同步狀態(tài)。

3.3.4 化學(xué)突觸耦合模型在雙參數(shù)平面的同步

刺激電流I與突觸逆轉(zhuǎn)電位Vsyn都能夠影響化學(xué)耦合模型的同步狀態(tài),下面研究這2個(gè)參數(shù)與耦合強(qiáng)度D如何共同影響模型(6)的同步狀態(tài)。當(dāng)Vsyn=-60 mV時(shí),模型(6)的同步狀態(tài)、平均同步差、動(dòng)作電位周期個(gè)數(shù)在(D,I)參數(shù)平面的分布如圖10所示。在圖10(a)中,藍(lán)色代表相位同步,綠色代表反相同步,紅色代表異步。(D,I)參數(shù)平面左下方存在一個(gè)類三角反相同步區(qū)域。

(a) 同步狀態(tài)

(b) 平均同步差

(c)周期分布圖10 當(dāng)Vsyn=-60 mV時(shí),模型(6)的同步狀態(tài)、平均同步差、動(dòng)作電位周期個(gè)數(shù)在(D,I)參數(shù)平面的分布Fig.10 Distribution of the synchronization, mean synchronization difference and the number of action potential period in the parameter plane (D,I) When Vsyn=-60 mV in model (6)

當(dāng)I∈[0.3,1.4]時(shí),增大D使得耦合系統(tǒng)經(jīng)歷異步→反相同步→異步的轉(zhuǎn)遷過程。

當(dāng)I∈(1.4,1.9]、D>0.05 mS/cm2時(shí),耦合系統(tǒng)處于相位同步狀態(tài)。但圖10(b)中對(duì)應(yīng)的平均同步差卻不為0,結(jié)合圖10(c)可知,這是由于2個(gè)耦合神經(jīng)元都處于靜息狀態(tài),但所處靜息電位不相同,稱這種狀態(tài)為靜息異步;當(dāng)I>1.9 mA時(shí),在弱耦合區(qū)域存在異步狀態(tài),當(dāng)D大于某個(gè)閾值時(shí),耦合系統(tǒng)達(dá)到靜息同步。

圖10(c)中不同灰度代表不同周期個(gè)數(shù),周期個(gè)數(shù)大于50視為混沌態(tài),存在一條紅色混沌帶,混沌帶下方為單峰放電,上方為周期簇放電,且隨著I增大,周期個(gè)數(shù)逐漸減少,直至靜息。綜上所述,較小的刺激電流不利于化學(xué)耦合模型達(dá)到同步狀態(tài),只有刺激電流處于一定范圍內(nèi),才能使得耦合系統(tǒng)達(dá)到完全同步狀態(tài)。

當(dāng)I=0.1 mA時(shí),模型(6)的同步狀態(tài)、平均同步差、動(dòng)作電位周期個(gè)數(shù)在(D,Vsyn)參數(shù)平面的分布如圖11所示。

在圖11(a)中,藍(lán)色代表相位同步,綠色代表反相同步,紅色代表異步。(D,Vsyn)參數(shù)平面存在一個(gè)長條形反相同步區(qū)域。當(dāng)-58 mV-45 mV時(shí),在弱耦合區(qū)域同樣存在異步狀態(tài),D大于某閾值后耦合模型達(dá)到靜息同步。從圖11(b)可見,只有參數(shù)Vsyn處于一定范圍內(nèi)時(shí),耦合模型才能達(dá)到完全同步狀態(tài)。從圖11(c)可見,當(dāng)Vsyn≈-57 mV時(shí),存在一條紅色混沌帶。經(jīng)過分析得到,在這條混沌帶下方,神經(jīng)元為單峰放電,混沌帶上方為周期簇放電;當(dāng)Vsyn>-45 mV時(shí),耦合神經(jīng)元達(dá)到靜息狀態(tài)。由此可知,圖11(a)中反相同步區(qū)域大多對(duì)應(yīng)周期簇放電,其下方的異步區(qū)域?yàn)閱畏宸烹?上方的相位同步區(qū)域?qū)?yīng)靜息狀態(tài)。

(a) 同步狀態(tài)

(b) 平均同步差

(c) 周期分布圖11 當(dāng)I=0.1 mA時(shí),模型(6)的同步狀態(tài)、平均同步差、動(dòng)作電位周期個(gè)數(shù)在(D,Vsyn)參數(shù)平面的分布Fig.11 Distribution of the synchronization, mean synchronization difference and the number of action potential period in the parameter plane (D,Vsyn) When I=0.1 mA in model (6)

由上述分析可知,只有適當(dāng)范圍內(nèi)的刺激電流I和突觸逆轉(zhuǎn)電位Vsyn能夠使得化學(xué)耦合系統(tǒng)(6)達(dá)到完全同步狀態(tài)。

利用不同耦合強(qiáng)度D的(I,Vsyn)雙參數(shù)平面內(nèi)平均同步差變化反映耦合強(qiáng)度D在I和Vsyn為參數(shù)情況下模型的同步情況。

耦合強(qiáng)度D分別為0.001、0.005、0.010、0.100 mS/cm2時(shí),模型(6)在(I,Vsyn)平面的平均同步差變化情況如圖12所示。不同顏色代表平均同步差的不同值,藍(lán)色代表完全同步狀態(tài)?？梢园l(fā)現(xiàn),隨著耦合強(qiáng)度D的增大,非同步區(qū)域逐漸向(I,Vsyn)平面左下角靠攏,形成一個(gè)規(guī)則的方形非同步區(qū)域。

(a) D=0.001 mS/cm2

(b) D=0.005 mS/cm2

(c) D=0.010 mS/cm2

(d) D=0.100 mS/cm2圖12 不同耦合強(qiáng)度下,模型(6)在(I,Vsyn)平面的平均同步差變化情況Fig.12 Variation of mean synchronization difference in (I,Vsyn) plane of model (6), under different coupling strength

當(dāng)I和Vsyn的值沿著45°方向增大時(shí),平均同步差呈現(xiàn)逐漸減小到0的趨勢(shì),表明對(duì)于化學(xué)耦合多巴胺能神經(jīng)元模型(6)而言,完全同步狀態(tài)不僅依賴于耦合強(qiáng)度,還依賴于刺激電流和突觸逆轉(zhuǎn)電位的取值。在合適的耦合強(qiáng)度下,較強(qiáng)的刺激電流或較大的突觸逆轉(zhuǎn)電位可以誘導(dǎo)化學(xué)耦合模型出現(xiàn)完全同步狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文通過分岔理論研究簡(jiǎn)化多巴胺能神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)SK通道電導(dǎo)的增加使得模型出現(xiàn)加周期分岔的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,并發(fā)現(xiàn)在不同參數(shù)組合下,沿著二維參數(shù)平面的不同方向,模型均呈現(xiàn)出由加周期分岔轉(zhuǎn)遷至混沌狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。通過分岔分析增進(jìn)了對(duì)模型不同參數(shù)變化介導(dǎo)去極化型反常簇行為這一現(xiàn)象的了解,能夠?yàn)獒t(yī)學(xué)生理實(shí)驗(yàn)提供一定的理論基礎(chǔ)。許多疾病的發(fā)生與神經(jīng)模型異常同步有關(guān),本文構(gòu)建了2個(gè)神經(jīng)元電突觸與化學(xué)突觸耦合模型,研究模型參數(shù)對(duì)耦合神經(jīng)元放電模式的影響以及耦合模型同步轉(zhuǎn)遷規(guī)律,得到耦合模型達(dá)到完全同步的條件。對(duì)于電耦合模型,在刺激電流小于1.35 mA時(shí),可以通過改變耦合強(qiáng)度誘導(dǎo)模型達(dá)到簇同步狀態(tài);在刺激電流大于1.35 mA時(shí),可以通過改變耦合強(qiáng)度誘導(dǎo)模型達(dá)到靜息同步狀態(tài)。對(duì)于化學(xué)耦合模型,隨著耦合強(qiáng)度的增大,在刺激電流和突觸逆轉(zhuǎn)電位的參數(shù)平面左下角逐漸形成規(guī)則的方形非同步區(qū)域。在合適的耦合強(qiáng)度下,較強(qiáng)的刺激電流或較大的突觸逆轉(zhuǎn)電位可以誘導(dǎo)化學(xué)耦合模型達(dá)到完全同步狀態(tài)。本文耦合模型的同步狀態(tài)不僅受耦合強(qiáng)度的影響,還受到外界刺激電流以及模型參數(shù)的影響。本文的研究結(jié)論為研究神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和耦合模型的同步性提供參考,關(guān)于多個(gè)神經(jīng)元耦合的網(wǎng)絡(luò)模型的同步是值得進(jìn)一步研究的內(nèi)容。