張子龍，潘秋景,2，仉文崗，黃 阜

(1.中南大學土木工程學院，湖南，長沙 410075；2.中南大學隧地工程研究中心，湖南，長沙 410075；3.重慶大學土木工程學院，重慶 400045；4.長沙理工大學土木工程學院，湖南，長沙 410004)

地鐵的通行釋放了城市的地面空間，在很大程度上緩解了日益增加的人口和車輛給城市交通系統(tǒng)帶來的壓力。盾構(gòu)法以其自動化程度高、安全快速、環(huán)境友好等特點被廣泛應用于地鐵隧道的施工中。在城市建筑物密集、人口稠密的復雜環(huán)境下修建地鐵隧道時需嚴格控制對周邊環(huán)境的影響。因此，科學合理地預測地層變形對保障施工安全具有重要意義。此外，城市軌道交通作為“十四五”規(guī)劃中“新基建”的重要一環(huán)，如何使地鐵建設朝著智能綠色、安全可靠的現(xiàn)代化、智慧化方向發(fā)展是需要進一步研究的課題。

當前有關(guān)盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的研究方法主要有：經(jīng)驗公式法[1-3]、解析法[4-8]、數(shù)值模擬[9-11]、模型試驗[12-13]、機器學習[14-16]等。以Peck 公式[1]及其修正形式[3]為代表的經(jīng)驗公式法可以反映地表沉降的一般形態(tài)，但需要基于實測資料和地域特性并結(jié)合具體的施工方法才能得到比較合理的預測結(jié)果[2]。解析法的理論推導過程復雜，且大多忽視了地層變形是一個動態(tài)的過程，導致其工程應用性較差。數(shù)值模擬可以最大程度地描述實際施工過程，被廣泛應用于盾構(gòu)施工誘發(fā)地層變形的分析中[10-11]，但也存在輸入?yún)?shù)過多、參數(shù)不明確、計算成本較高等缺點。模型試驗[12-13]對于揭示沉降變形的規(guī)律及演變機理有重要價值，但由于試驗成本較高，試驗結(jié)果與工程實際差距較大，對工程的指導相對有限。

伴隨著計算機和人工智能技術(shù)的發(fā)展，以機器學習方法為代表的代理模型在巖土工程和隧道工程領(lǐng)域展現(xiàn)了廣闊的應用前景[17-22]。CHEN等[14]對反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡及廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡在預測盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)地表沉降方面的性能進行了對比，以長沙地鐵4 號線的工程實測數(shù)據(jù)為樣本進行了訓練和驗證，表明了廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結(jié)果與實測結(jié)果有較強的相關(guān)性。林榮安等[23]提出了一種粗糙集和支持向量機耦合的算法 (RS-SVR)，實現(xiàn)了對上軟下硬地質(zhì)條件下盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的準確預測。陳仁朋等[24]對反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡 (BPNN) 和隨機森林算法 (RF) 在預測地表沉降上的準確性進行了對比，以粒子群算法優(yōu)化BPNN 和RF 中的超參數(shù)以提高其魯棒性，結(jié)果表明RF 算法具有更優(yōu)的預測性能。FREITAG 等[15]借助循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡和正交分解法預測了盾構(gòu)隧道掘進產(chǎn)生的地表沉降場。不可否認，上述機器學習方法提升了地表沉降預測的效率，但需要借助大量的訓練樣本，而實際工程的復雜性難以保證充足的訓練數(shù)據(jù)。究其原因是上述模型僅依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動建立輸入與輸出之間的非線性映射關(guān)系，忽視了隧道施工與地層響應之間的物理機理，導致其泛化能力差，過分依賴大數(shù)量訓練樣本的弊端[25]。

近年來，RAISSI 等[26]提出了物理信息深度神經(jīng)網(wǎng)絡 (PINN)，顛覆了傳統(tǒng)機器學習方法的“黑箱”工具屬性，PINN 的巧妙之處在于可以集成研究對象內(nèi)在的物理規(guī)律，在處理流體力學、量子力學和計算力學等問題上展現(xiàn)了強大的計算能力。不僅如此，PINN 在對未知物理量的反演問題上也逐漸嶄露頭角[27]。作為一種新興的深度學習方法，雖然在處理力學問題上已引起了較多的關(guān)注[28-29]，但其工程應用的潛力有待進一步開發(fā)。盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)地層變形的過程顯然滿足一定的物理力學機理，這也是解析法和以有限元為代表的數(shù)值模擬法的理論基礎。因此，將盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的物理機理耦合至深度學習框架，結(jié)合已有的工程實測數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的PINN 預測模型，以期為盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的預測提供一種新的、有效的解決途徑。

本文基于Verruijt 和Booker 提出的隧道開挖誘發(fā)地層變形的解析模型，以深度神經(jīng)網(wǎng)絡對Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子進行修正，從而建立地表沉降與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)。將修正后的物理控制方程耦合至另一并行的深度神經(jīng)網(wǎng)絡框架中，構(gòu)建用以預測盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的PINN 模型。以施工前期一定數(shù)量的實測數(shù)據(jù)為訓練樣本，預測后續(xù)施工過程開挖面處于不同位置時的圍巖位移因子，控制方程的物理信息通過PINN 損失函數(shù)中的物理殘差項進行約束，通過迭代優(yōu)化，可以實現(xiàn)對工程后期施工過程中開挖面處在不同位置時監(jiān)測斷面地表變形的預測。研究表明：預測得到的地表沉降曲線與工程實測數(shù)據(jù)吻合較好，PINN 相較于傳統(tǒng)DNN 方法顯著降低了對訓練樣本的需求量，泛化性能顯著提升；提出的方法有助于提高盾構(gòu)隧道施工中地表沉降安全控制的智慧化程度，可為工程的潛在風險和施工決策提供預警和指導。

1 物理力學基礎

1.1 半無限空間隧道誘發(fā)地層變形的解析解

半無限空間隧道誘發(fā)地層位移的解析解目前限于線彈性范圍[5,8,30]，經(jīng)典的Verruijt-Booker 解提供了一個簡潔合理的解答[5]，在合理地確定圍巖位移因子ur和ue后，即可得到符合工程實際情況的地表沉降預測值[31-32]。

圖1 給出了Verruijt-Booker 解中兩種圍巖位移因子的示意圖。其中：ur為隧道開挖過程中地層損失所引起的均勻徑向位移；ue為由各向異性初始應力引起的隧道輪廓橢圓化變形。基于上述假設，可在 (x,z) 空間內(nèi)定義在 (0,h) 和 (0,－h(huán)) 區(qū)間點的彈性理論奇異解[30]，如圖2 所示，得到隧道及其映像在x和z方向的位移表達式為：

圖1 隧道卸載引起的地層損失和橢圓化變形Fig.1 Ground loss and ovalization of a tunnel

圖2 奇異點及其映像Fig.2 A singularity and its image

式中：k=ν/(1+ν)；z1=z-h；z2=z+h。

此時，在自由面z= 0 處會出現(xiàn)一個非零的法向應力。由于奇異解嚴格的對稱性，需在自由面處施加一個大小相等方向相反的法向力，從而得到的位移解為：

式中，m=1/(1-2ν)。地層位移ux、uz的最終解即為式(1)和式(3)，式(2)和式(4)的和。

在自由表面z=0處，可得地表沉降值為：

其中：

在求解得到位移以后，相應的應力和應變分量即可根據(jù)彈性力學的基本原理求解得到。半無限空間隧道誘發(fā)沉降變形的控制方程總結(jié)為：

式中： σij和 εij(i,j=x,z)分別為應力和應變張量；下標逗號表示偏導；fi為體力； δij為克羅內(nèi)克函數(shù)； λ和μ為拉梅常數(shù)，可通過下式計算得到：

1.2 圍巖的縱向變形

如前所述，Verruijt-Booker 解可以預測橫斷面的地層變形，準確程度依賴于假定的圍巖位移因子ur和ue的取值。在Verruijt-Booker 解中未建立位移因子與開挖面掘進位置的關(guān)系。實際上，盾構(gòu)掘進過程中，監(jiān)測斷面的地層變形和圍巖位移因子隨開挖面掘進位置的不同而變化。因此，確定開挖面在不同位置時Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子，即可構(gòu)建監(jiān)測斷面地層變形與開挖面掘進位置的關(guān)系。

隧道開挖過程中圍巖變形的空間效應如圖3所示，其中橫坐標表示開挖面掘進位置，縱坐標表示拱頂位移；Verruijt-Booker 解中圍巖的拱頂位移為ur和ue的和，在此用us進行表示；u∞表示開挖面距監(jiān)測斷面無窮遠處時的拱頂位移；開挖面處于yi時的拱頂位移為us(yi)，此時有us(yi) =ur(yi) +ue(yi)。在確定ur(yi)和ue(yi)后，再根據(jù)Verruijt-Booker 解便可確定開挖面于yi處時監(jiān)測斷面的地層變形。

圖3 圍巖位移與開挖面空間位置的關(guān)系Fig.3 Relation between the displacement of surrounding rock and the position of excavation surface

基于上述思路，本文以DNN 修正Verruijt-Booker 解中的圍巖位移因子ur和ue，建立地表沉降與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)，即圖3 所示關(guān)系。修正后的圍巖位移因子表示為η = {ur(yi),ue(yi)}，η 將通過DNN 和并行的PINN 共同訓練得到，具體的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)在下文的工程應用小節(jié)進行了詳述。修正后可表征空間效應的地表沉降解析表達式為：

2 PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡架構(gòu)

物理問題往往需要滿足其內(nèi)在規(guī)律，如能量守恒、動量守恒。對于隧道開挖引起的地表沉降而言，也需要滿足一定的應力-應變關(guān)系?；跀?shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的深度學習方法，是將研究問題所需滿足的物理機制耦合至深度神經(jīng)網(wǎng)絡框架中，物理信息通過損失函數(shù)中的物理殘差項進行表達，以此來懲罰不滿足相應物理條件的解，約束神經(jīng)網(wǎng)絡在滿足物理關(guān)系的空間中訓練，從而降低對訓練樣本數(shù)據(jù)量的過度需求，提高模型的泛化性能。圖4 為PINN 的基本框架圖。

圖4 PINN 框架圖Fig.4 Framework of a physics-informed neural network

深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡包含輸入層、隱含層和輸出層。隱含層中每一層神經(jīng)元的輸出作為下一層神經(jīng)元的輸入，信號由輸入層向輸出層單向傳播，此單向傳播過程可以表示為：

式中：上標l為神經(jīng)網(wǎng)絡的層數(shù)；下標i為神經(jīng)元的索引；ali為第l層中全部i個神經(jīng)元的輸出集合；zli為第l層中全部i個神經(jīng)元的輸入集合；wl為第l層中所有權(quán)重的集合；bl為第l層中所有偏置的集合； σ(zli)為激活函數(shù)，本文采用雙曲正切激活函數(shù)：

假定神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入變量為X，輸出變量為Y，神經(jīng)網(wǎng)絡的待識別參數(shù) θ=[w,b]，輸入層和輸出層之間的關(guān)系可表示為：

式中， N(·;θ) 為 參數(shù)為 θ的神經(jīng)網(wǎng)絡算子。

2.1 PINN 數(shù)值求解

在第2 節(jié)中已推導得到隧道開挖引起地表沉降的物理關(guān)系。隧道的位置參數(shù)、半徑，以及地層的泊松比一般在地勘資料中會明確給出。在利用PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡求解這一問題時，假設地表監(jiān)測點的位置為x，開挖面位置為y，與圍巖位移因子相關(guān)的模型參數(shù)為 η，內(nèi)在的應力-應變關(guān)系可以表示為：

除此之外，控制方程的邊界條件也需要滿足。以PINN 作為代理模型進行數(shù)值求解時，損失函數(shù)包括數(shù)據(jù)驅(qū)動項(邊界條件項)和物理信息項。其中，數(shù)據(jù)驅(qū)動項與傳統(tǒng)DNN 的損失函數(shù)相同，訓練過程需要提供位置坐標及對應的位移值；而物理信息項僅需要提供位置坐標進行訓練，無需對應的位移值，物理關(guān)系通過自動微分后得到的控制方程進行約束。相對于傳統(tǒng)的深度學習算法需要提供大量的輸入和輸出樣本，PINN改善了對大數(shù)量訓練樣本的依賴。損失函數(shù)的具體表示形式如下：

圖5 PINN 數(shù)值計算與反演的網(wǎng)絡架構(gòu)示意圖Fig.5 Diagram of a PINN for numerical calculation and identification

2.2 PINN 參數(shù)反演

PINN 除了在數(shù)值求解代理模型上表現(xiàn)出優(yōu)越的性能外，還具備了強大的參數(shù)反演能力[27]。對于隧道開挖誘發(fā)地表沉降而言，這個問題就變?yōu)椋核淼篱_挖后，通過現(xiàn)場監(jiān)測獲得了掌子面位于不同位置處時監(jiān)測斷面的地表沉降值，以此對未知的地層參數(shù)進行反演。換言之，已知{x}，{y}和{u0(x,y)}，對未知的地層參數(shù) (如彈性模量和泊松比) 進行反演求解。

PINN 反演過程的網(wǎng)絡架構(gòu)保持不變，與正向過程不同的是，反演過程是根據(jù)已知數(shù)據(jù) (如位置坐標，位移) 對未知的物理參數(shù) (如地層參數(shù)) 進行反演識別。此時的損失函數(shù)仍包含數(shù)據(jù)驅(qū)動項和物理信息項，表示為：

式中，u0(xi,yi)為沉降值u0的訓練樣本集合。由于反演過程的位移值均已明確，數(shù)據(jù)驅(qū)動項和物理信息項的訓練樣本不再分別進行采樣，統(tǒng)一采用隨機取樣的方式獲得，樣本總數(shù)為N。

3 算例分析

本節(jié)將以兩個算例分別探討PINN 的正向預測和反向識別能力。假設隧道所處的位置和場地如圖6 所示，相應的隧道半徑、地層泊松比以及位移參數(shù)也在圖中給出。

圖6 隧道位置及其他相關(guān)參數(shù) /mFig.6 Geometry and related parameters of a tunnel

3.1 算例1：PINN 求解隧道開挖引起地層變形

在2.1 節(jié)中已就半無限空間隧道誘發(fā)沉降變形的問題進行了推導，本節(jié)將采用PINN 的方法對這一過程進行求解。依據(jù)式(8)和邊界條件，PINN需滿足的物理關(guān)系總結(jié)為：

損失函數(shù)表示為：

圖5 給出了PINN 數(shù)值計算與反演的網(wǎng)絡架構(gòu)示意圖。以PINN 求解地層位移時，采用深度神經(jīng) 網(wǎng) 絡 參 數(shù)u?(x,z,w,b) 代 替u(x,z) (位 移 項)，δ?(x,z,w,b) 代 替 δ(x,z) (應力項)，然后利用自動微分求解應力-應變分量后得到深度神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)f?(x,z,w,b) ， 進而代替f(x,z) 。 無論權(quán)重w和偏差b取值如何，參數(shù)u?(x,z,w,b) ， δ?(x,z,w,b) 和f?(x,z,w,b)總是需要滿足式(18)所規(guī)定的物理關(guān)系。在訓練過程中，給定訓練樣本和位置坐標，通過最小化損失函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡試圖找到“正確的”權(quán)重w?和偏差b?，從而盡可能地使預測數(shù)據(jù)和殘差微分方程與真實值相吻合。經(jīng)過不斷地訓練和迭代，PINN 得到的預測值將逐漸逼近真實解。

圖7 給出了PINN 地層沉降計算結(jié)果與解析解的對比，其坐標與圖2 所示的(x,z)半無限空間相一致。PINN 在洞周邊界上取Nu= 150 個訓練樣本(xi,zi,ui)，采用隨機取樣的方式得到；同時在研究區(qū)域內(nèi)采用拉丁超立方采樣生成了Nv= 1500 個笛卡爾坐標 (xj,zj)。PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡設置6 個隱含層，每層包含40 個神經(jīng)元，所有神經(jīng)元之間采用全連接的方式進行連接，采用雙曲正切激活函數(shù)，損失函數(shù)為均方差函數(shù)。由計算結(jié)果可知，PINN 的預測結(jié)果基本完全還原了解析解，而訓練樣本僅用了150 個。作為對比，圖8 給出了傳統(tǒng)DNN的計算結(jié)果。在訓練樣本和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)完全相同的情況下，DNN 得到的預測結(jié)果與實際值偏差非常大，這表明PINN 的預測能力相較于傳統(tǒng)DNN 進步顯著，體現(xiàn)了PINN 強大的泛化性能。

圖7 PINN 地層沉降預測結(jié)果Fig.7 Predicted results of vertical ground movements by PINN

圖8 DNN 地層沉降預測結(jié)果Fig.8 Predicted results of vertical ground movements by DNN

3.2 算例2：基于地層變形反演地層參數(shù)

PINN 可以基于數(shù)據(jù)驅(qū)動對未知的物理參數(shù)進行識別，這是PINN 相對于其他深度學習方法所獨有的優(yōu)勢。在此，將4.1 節(jié)的問題反置，假定彈性模量E和泊松比ν是未知的參數(shù)，利用PINN 對其值進行反演。神經(jīng)網(wǎng)絡架構(gòu)和參數(shù)與前節(jié)圖5所示的框架保持一致，損失函數(shù)為：

研究區(qū)域內(nèi)采用隨機取樣選取N= 500 個訓練樣本(xi,zi,ui)。

反演得到的地層沉降場如圖9(a)所示，反演結(jié)果和準確值吻合較好；圖9(b)中地表沉降的反演值與準確值基本完全一致。表1 對彈性模量E和泊松比ν的反演值及誤差進行了總結(jié)?？梢钥闯觯琍INN 可以準確地反演出未知參數(shù)，E和ν的反演誤差分別為0.18%和0.24%，反演結(jié)果保持了較高的精度。需要說明的是，該算例初步探討了PINN 在應對未知物理參數(shù)的反演問題上所具備的潛力。實際工程中，盾構(gòu)穿越地層情況復雜，利用PINN 對復雜地層參數(shù)反演是需要深入研究的課題。

表1 反演參數(shù)Table 1 Identified parameters

圖9 PINN 地層沉降反演結(jié)果Fig.9 Identified results of vertical ground movements by PINN

4 工程應用

實際工程中，盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)的地表變形隨開挖面掘進位置的不同而變化。如第1 節(jié)中所述，Verruijt-Booker 解提供了半無限空間隧道開挖誘發(fā)地層變形的物理力學基礎，其應力-應變關(guān)系可以作為PINN 模型的控制方程。在PINN 模型的基礎上，增加一個并行的DNN 框架對Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子與開挖面掘進位置的關(guān)系進行預測[34]，并與PINN 模型相耦合，即可搭建起地表沉降與開挖面掘進位置的關(guān)聯(lián)。PINN 工程應用的網(wǎng)絡架構(gòu)如圖10 所示。

圖10 PINN 工程應用的網(wǎng)絡架構(gòu)示意圖Fig.10 Diagram of a PINN for the engineering application

4.1 工程案例分析

4.1.1 工程案例1

案例1 的工程背景基于WAN 等[35]所述的倫敦地鐵盾構(gòu)隧道項目，工程基本概況如圖11 所示。開挖面在不同位置處時某監(jiān)測斷面的地表沉降實測數(shù)據(jù)如圖12 所示，其中：x為監(jiān)測點與隧道中線的水平間距；y為開挖面與監(jiān)測斷面間距。

圖11 工程概況 /m Fig.11 Project profile

圖12 工程案例1 實測數(shù)據(jù)Fig.12 Measured data of case 1

基于圖10 所示的PINN 架構(gòu)和所述的工程應用流程，以y≤21.6 m的地表沉降實測數(shù)據(jù)為訓練數(shù)據(jù) (共計100 個樣本點)，置入PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡 (8×30) 中進行訓練，對開挖面位于31.8 m、35.6 m 和51.6 m 處的地表沉降值進行預測。作為對比，給出了相同訓練樣本和網(wǎng)絡架構(gòu)下DNN 的預測結(jié)果。最大地表沉降值的預測結(jié)果如圖13 所示，誤差如表2 所示。可以看出，PINN 的預測結(jié)果保持了較高的精度，最大誤差僅為1.81%，而DNN 的最大誤差為12.59%，且隨著與監(jiān)測斷面距離的增大，DNN 的預測誤差呈逐漸增大的趨勢。

表2 最大地表沉降值預測結(jié)果Table 2 Predicted results of the maximum surface settlement

圖13 地表沉降值預測結(jié)果對比Fig.13 Comparison of the predicted surface settlements

為了進一步比較PINN 和DNN 的預測結(jié)果，給出了開挖面距監(jiān)測斷面31.8 m、35.6 m 和51.6 m時地表沉降曲線的預測結(jié)果，如圖14 和圖15 所示。對比結(jié)果表明，PINN 基本可以完全還原地表沉降槽，在靠近和遠離隧道中線的位置，PINN 的預測值與實測值均吻合很好，且開挖面處于不同位置時均保持了較高的預測精度。而DNN 的預測結(jié)果與實測地表沉降曲線存在十分明顯的偏差，特別是在開挖面與監(jiān)測斷面間距較大的位置 (y=51.6 m)。

圖14 PINN 預測值與實測值對比Fig.14 Comparison of the predicted results by a PINN and measured results

圖15 DNN 預測值與實測值對比Fig.15 Comparison of the predicted results by a DNN and measured results

在原訓練樣本的基礎上增加y= 31.8 m、35.6 m時的實測數(shù)據(jù) (共計140 個樣本點) 作為新的訓練樣本置入DNN 中進行訓練，此時DNN 的預測結(jié)果如圖16 所示?？梢钥闯?，DNN 在訓練樣本充足的情況下也可以得到合理的預測結(jié)果，這也進一步說明了PINN 在引入物理機制的約束后，明顯降低了對訓練樣本數(shù)據(jù)量的需求。

圖16 DNN 預測值與實測值對比 (訓練樣本總數(shù)140)Fig.16 Comparison of predicted results by a DNN and measured results (Training data: 140)

由上述對比結(jié)果可以看出，開挖面位于不同位置時，PINN 預測得到的地表沉降曲線均顯著優(yōu)于DNN 的預測結(jié)果，表明物理驅(qū)動的配置使PINN的外推泛化能力得到了顯著的提高。PINN 克服了傳統(tǒng)DNN 算法內(nèi)插能力強，外推性能差的缺點，展現(xiàn)了較強的外推泛化能力，這為預測盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降的變化趨勢提供了有力的手段。

4.1.2 工程案例2

案例2 為北京地鐵14 號線“方～十”區(qū)間盾構(gòu)隧道工程，該區(qū)間隧道開挖地層總體均一性較好，屬于北京地區(qū)具有代表性的地層；某監(jiān)測斷面隧道上覆土層厚度為10.8 m，隧道內(nèi)徑6.0 m，上覆土體以黏性土為主，夾雜少許粉細砂性土，E和ν的取值分別為13 MPa 和0.25，監(jiān)測得到的地表沉降數(shù)據(jù)如圖17 所示[36]，x、y的物理意義與圖12 相同。

圖17 工程案例2 實測數(shù)據(jù)Fig.17 Measured data of case 2

同樣基于圖10 所示的PINN 工程應用的網(wǎng)絡架構(gòu)，以y= 0 m、 8.4 m、 21 m 處的實測數(shù)據(jù)為訓練樣本，預測y= 30 m 處的地表沉降曲線，訓練樣本的總數(shù)共27 個點。PINN 和DNN 的預測結(jié)果與實測值的對比分別如圖18 和圖19 所示。可以看出，PINN 預測得到的地表沉降曲線基本與實測值完全吻合；同等配置的DNN 可以預測得到地表沉降曲線的變化趨勢，但得到的沉降值均明顯大于實測值。整體上看，DNN 可以在一定程度上捕捉地表沉降的變化規(guī)律，但預測結(jié)果的準確程度明顯低于PINN，體現(xiàn)了PINN 模型優(yōu)秀的外推泛化性能。

圖18 PINN 預測值與實測值對比Fig.18 Comparison of predicted results by a PINN and measured results

圖19 DNN 預測值與實測值對比Fig.19 Comparison of predicted results by a DNN and measured results

4.2 工程應用流程

基于上述預測過程，對PINN 的工程應用流程進行總結(jié)，如圖20 所示。PINN 基于工程施工前期一定數(shù)量的監(jiān)測數(shù)據(jù)對后續(xù)施工過程的地表沉降趨勢進行預估，為使模型預測結(jié)果保持較高的精度，可以依據(jù)工程所需的誤差控制要求，在一定的時間節(jié)點進行誤差校準和樣本更新，從而保證PINN 準確預測施工周期內(nèi)地表沉降的變化趨勢。

圖20 PINN 模型的工程應用流程Fig.20 Diagram of the engineering application of a PINN model

依據(jù)該流程，預測得到工程案例1 的地表沉降場如圖21 所示?？梢钥闯觯A測得到的地表沉降場與實測沉降值保持了高度一致，在臨近隧道中線附近沉降值較大，遠離隧道中線處沉降值逐漸變??；隨著開挖面與監(jiān)測斷面間距的增大，沉降值有先增大后趨向平穩(wěn)的趨勢。PINN 的預測結(jié)果基本可以準確地還原實測的地表沉降場，該方法有助于提升盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降控制的智慧化水平，為工程的潛在風險提供預警。

圖21 地表沉降場Fig.21 Surface settlement field

5 結(jié)論

深度學習與傳統(tǒng)學科的交叉為現(xiàn)有問題的解答提供了新的方法和途徑。本文提出了一種基于數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的物理信息深度神經(jīng)網(wǎng)絡 (PINN)模型以預測盾構(gòu)施工過程中誘發(fā)的地表沉降。首先，將Verruijt-Booker 解的控制方程耦合至DNN框架中，得到耦合物理機制的PINN 框架；在此基礎上，以并行的DNN 框架預測Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子，建立地表變形與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)。構(gòu)建的PINN 模型可以基于部分工程實測數(shù)據(jù)對后續(xù)施工過程中誘發(fā)的地表沉降進行準確預測。通過算例分析與工程實例分析驗證了提出方法的合理性，所得結(jié)論如下：

(1) 在數(shù)據(jù)稀疏的情況下，PINN 得益于物理驅(qū)動的優(yōu)勢，預測精度顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的DNN 算法；同時物理驅(qū)動機制使PINN 具備了良好的反演性能。

(2) 數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的PINN 模型可以有效預測盾構(gòu)隧道施工過程中誘發(fā)的地表沉降，物理機理的引入改善了傳統(tǒng)DNN 算法過于依賴大數(shù)量數(shù)據(jù)驅(qū)動的弊端，提高了模型的外推泛化能力，顯著降低了對訓練樣本的需求。

(3) 提出的PINN 模型可以實現(xiàn)基于施工前期一定數(shù)量的實測數(shù)據(jù)以及階段性的誤差控制，準確預測盾構(gòu)隧道后續(xù)施工過程中開挖面處于不同位置時監(jiān)測斷面的地表沉降曲線。該方法有助于提高盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降安全控制的智慧化水平，可為工程的潛在風險和施工決策提供預警和指導。