李昌成

(烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊830002)

一、單選題:本大題共8小題,共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng).

1.復(fù)數(shù)i3(1+i)2=( ).

A.2 B.-2 C.2i D.-2i

2.已知集合A={x|-2

A.A∩B=AB.B?RA

C.A∩RB=? D.A∪RB=R

3.某校三位同學(xué)報(bào)名數(shù)理化生四科學(xué)科競賽,每人限報(bào)且必須報(bào)兩門,由于數(shù)學(xué)是該校優(yōu)勢科目,必須至少有兩人參賽,若要求每門學(xué)科都有人報(bào)名,則不同的參賽方案有( ).

A.51種 B.45種 C.48種 D.42種

6.函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)在[0,1]上單調(diào)遞增,則( ).

8.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1=1,對于任意的n∈N*,均有an+1=2an+1,bn=2log2(1+an)-1.若在數(shù)列{bn}中去掉{an}的項(xiàng),余下的項(xiàng)組成數(shù)列{cn},則c1+c2+…+c100=( ).

A.12 010 B.12 100 C.11 200 D.11 202

二、多選題:本大題共4小題,共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求.

9.如圖1所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,則( ).

圖1 第9題圖

A.該圓錐的母線長為5

B.該圓錐的體積為12π

C.該圓錐的表面積為15π

D.三棱錐S-ABC體積的最大值為12

10.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),A在第一象限,若|AF|=3|FB|,則下列結(jié)論正確的是( ).

C.OA⊥OB

D.以AF為直徑的圓與y軸相切

B.f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

12.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件.第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,則下列選項(xiàng)正確的有( ).

A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來的次品概率為0.06

B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.052 5

三、填空題:本大題共4小題,共20.0分.

13.已知向量a=(1,-2),b=(-3,1),那么|a-b|=____.

圖2 第14題圖

15.已知圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,點(diǎn)P是直線y=4上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|的最小值為____.

四、解答題:本大題共6小題,共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.

(1)求sinA;

18.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2-bn.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

(1)求該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率;

(2)求該嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.

20.如圖3,等腰Rt△ABC的底邊AB=2,點(diǎn)D在線段AC上,DE⊥AB于點(diǎn)E,現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖4).

圖3 第20題圖(a)

(1)求證:PB⊥DE;

(2)若PE⊥BE,直線PD與平面PBC所成的角為30°,求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

22.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-sinx.

參考答案

1.i3(1+i)2=(-i)(1+2i+i2)=(-i)×2i=-2i2=2,故選A.

2.由題意知BA,則A∩B=B,故A錯(cuò)誤;

3.設(shè)三位同學(xué)為A,B,C,由題意,參賽方案分為兩種情況:

綜合(1)(2)得不同的參賽方案有45+6=51種.

故選A.

故-x(2x-1)(x+a)=-x(-2x-1)(-x+a).

化簡,得2(2a-1)·x2=0.

故選A.

5.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

①

②

因?yàn)镸N的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),

因?yàn)橹本€MN的方程是y=2(x-1)-1,

所以y1-y2=2(x1-x2).

故選B.

所以m≥e-x-x在[0,1]上恒成立.

而y=e-x-x在[0,1]上單調(diào)遞減,

則(e-x-x)max=1,則m≥1.

又x+m>0在[0,1]上恒成立,所以m>0.

所以m的取值范圍為m≥1.

故選A.

故選A.

8.因?yàn)閍n+1=2an+1(n∈N*),即

an+1+1=2(an+1).

故數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.

又a1+1=2,所以an=2n-1(n∈N*).

由bn=2log2(1+an)-1=2log2(1+2n-1)-1=2n-1(n∈N*),

則b1=1,bn+1-bn=2(常數(shù)).

所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

又b1=a1=1,b64=127,b106=211,b107=213,

可得a7=127,a8=255.

因?yàn)閎64=a7=127,a7

故選D.

圓錐的表面積S=π×32+π×3×5=24π,故C錯(cuò)誤;

故選ABD.

10.如圖5,過點(diǎn)A,B分別作拋物線的準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足為A′,B′,過點(diǎn)B作AA′的垂線,垂足為點(diǎn)E.設(shè)|BF|=m,則|AF|=3m.

圖5 第10題解析圖

由拋物線定義得|AE|=|AA′|-|BB′|=|AF|-|BF|=3m-m=2m,|AB|=4m.

故選ABD.

f(1)=0,當(dāng)01時(shí),f(x)>0,因此f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;

故選ACD.

12.取到的零件可能來自第1臺(tái),第2臺(tái)或第3臺(tái)車床,有3種可能.

設(shè)Ai為“零件為第i臺(tái)車床加工”(i=1,2,3),則樣本空間Ω=A1∪A2∪A3且A1,A2,A3兩兩互斥.

B為“任取一零件為次品”,根據(jù)題意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.

由全概率公式,得

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525,

故B正確.

如果取到的零件是次品,計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺(tái)車床加工的概率,就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.

P(A1B)=0.25×0.06=0.015,故A錯(cuò)誤.

故C正確;

故D錯(cuò)誤.

故選BC.

13.因?yàn)橄蛄縜=(1,-2),b=(-3,1),

所以a-b=(4,-3).

15.圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,

即(x-2)2+(y-1)2=4.

如圖6,由于PA,PB分別切圓C于點(diǎn)A,B,則|PA|=|PB|,CA⊥PA,CB⊥PB.

圖6 第15題解析圖

所以S四邊形APBC=2S△ACP=|CA|·|PA|.

因?yàn)閨CA|=|CB|=r=2,

所以S四邊形APBC=2|PA|.

所以|AB|最短時(shí),|CP|最短,點(diǎn)C到直線y=4的距離即為|CP|的最小值.

所以|CP|min=3.

若使得n-m取最小值,

17.(1)在△ABC中,由acosB=(3c-b)cosA及正弦定理,得

(3sinC-sinB)cosA=sinAcosB.

得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).

因?yàn)锳+B+C=π,

所以sin(A+B)=sinC≠0.

(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為

解得bc=3.

可得b2+c2=10.

18.(1)由題知,a1=1,an+1-an=2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

所以an=1+(n-1)×2=2n-1.

又當(dāng)n=1時(shí),b1=S1=2-b1,

所以b1=1.

當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2-bn,

①

Sn-1=2-bn-1.

②

由①-②,得bn=-bn+bn-1.

利用分組求和可得,

19.(1)設(shè)“該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零”為事件A,“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1,“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2,則A1,A2互斥.

(2)由題意知,X的所有可能取值為0,1 000,3 000,6 000,

所以X的分布為

表3 X的分布列

20.因?yàn)镈E⊥PE,DE⊥BE,PE∩BE=E,PE,BE?面PBE,所以DE⊥面PBE.

又因?yàn)镻B?面PBE,所以PB⊥DE.

(2)由(1)知DE⊥PE,DE⊥EB,且PE⊥BE,

所以DE,BE,PE兩兩垂直.

圖7 第20題解析圖

設(shè)|PE|=a(0

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則

取n=(a,a,2-a),

又取平面PDE的法向量為m=(0,1,0),

c2=4a2=a2+b2.

在Rt△F1PF2中,

又點(diǎn)P為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn),由雙曲線的定義得

|PF1|-|PF2|=2a.

又|PF1||PF2|=6,所以4c2-12=4a2.

又c2=a2+b2,解得a2=1,b2=3.

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為x=ty+2,

化簡,得(3t2-1)y2+12ty+9=0.

=(ty1+2-m)(ty2+2-m)+y1y2

=(t2+1)y1y2+t(2-m)(y1+y2)+(2-m)2

解得m=-1,則Q(-1,0).

令g(x)=(x+1)cosx,則

g′(x)=cosx-(x+1)sinx.

所以a≤g(x)min=0.

即a的取值范圍為(-∞,0].

(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(x+1)-sinx,則

當(dāng)x>e-1時(shí),ln(x+1)>lne=1≥sinx,

所以f(x)>0在(e-1,+∞)上恒成立.

因?yàn)閑-1<π,

f(e-1)=1-sin(e-1)>0,