張健林,李海艷,周健松,陳慶杰

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,廣州 510006)

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化是在給定約束條件下,確定設(shè)計(jì)域內(nèi)材料的最優(yōu)分配[1]。水平集方法是拓?fù)鋬?yōu)化的一種主流方法,它通過將設(shè)計(jì)域嵌入高一維的水平集函數(shù)的零級界面,通過水平集函數(shù)的整體變化,引起設(shè)計(jì)域的拓?fù)渥兓?從而達(dá)到拓?fù)鋬?yōu)化的目的[2]。水平集方法具有最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰,邊界光滑的特點(diǎn),因此廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中[3-5]。

傳統(tǒng)水平集的演化是在界面的水平方向進(jìn)行,需要求解偏微分方程[6],且用到了基于矩形網(wǎng)格的有限差分法,上風(fēng)方案[7],在處理多邊形網(wǎng)格上存在著困難。LIU等[8]提出了一種豎直方向演化的水平集方法,以基于節(jié)點(diǎn)的速度驅(qū)動(dòng)水平集函數(shù)演化,可以很方便地應(yīng)用于不同網(wǎng)格。

KUMAR[9]提出了一種基于六邊形網(wǎng)格的拓?fù)鋬?yōu)化方法,通過將有限元中的矩形網(wǎng)格換為六邊形網(wǎng)格,可以避免單元之間的非奇異連接,將點(diǎn)連接轉(zhuǎn)變?yōu)榫€連接,緩解棋盤格現(xiàn)象。該種方法是基于變密度法[10]實(shí)現(xiàn)的,自然而然地繼承了變密度法的一些數(shù)值缺陷,在最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了大面積的中間密度[11],也即是灰度。

對于基于六邊形網(wǎng)格的拓?fù)鋬?yōu)化方法,目前只有用變密度法實(shí)現(xiàn),還沒有發(fā)現(xiàn)有使用水平集方法實(shí)現(xiàn),針對文獻(xiàn)[9]方法最終拓?fù)涑霈F(xiàn)大面積灰度的問題,引入LIU等[8]改進(jìn)的水平集方法,結(jié)合六邊形網(wǎng)格,提出一種新的方法,解決受體積約束的柔度最小化問題,并用該方法與文獻(xiàn)[9]方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比,驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 水平集函數(shù)表達(dá)

水平集函數(shù)φ的定義如下:

(1)

式中:X為設(shè)計(jì)域內(nèi)的點(diǎn),D為設(shè)計(jì)域,Ω為材料域,?Ω為材料域的邊界。

執(zhí)行有限元分析之前,首先需要將水平集函數(shù)轉(zhuǎn)換為物理模型,使用精確的Heaviside函數(shù)將水平集函數(shù)映射到結(jié)構(gòu)模型上。

(2)

基于H(φ)進(jìn)行等效的密度變換。

(3)

式中:ρe為材料域內(nèi)的單元密度。

從式(3)得到了單元密度之后,那么楊氏模量Ee就可以通過以下式子計(jì)算:

Ee(ρe)=Emin+(ρe)p(E0-Emin)

(4)

式中:Emin是用于防止剛度奇異的微小正數(shù),p為懲罰系數(shù),E0為實(shí)體元素的剛度。

根據(jù)文獻(xiàn)[8],水平集的演化最簡單的形式為:

(5)

式中:t為引入的虛擬時(shí)間步長,水平集的演化依賴于節(jié)點(diǎn)的靈敏度,節(jié)點(diǎn)靈敏度VNS的定義如下,它為包含該節(jié)點(diǎn)的元素靈敏度之和的平均值。

(6)

式中:ne為有著公共節(jié)點(diǎn)的元素總數(shù),R為要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

2 拓?fù)鋬?yōu)化問題求解

受體積約束的柔度最小化問題表示為:

(7)

式中:C為結(jié)構(gòu)的柔度,ρe為單元密度,Ne為單元總數(shù),ue為單元位移,ke為單元?jiǎng)偠染仃?K為全局剛度,U為全局位移,F為外載荷,ve為單元體積,Vf為目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)。

拉格朗日函數(shù)L可表達(dá)為:

(8)

式中:Λ為朗格朗日乘子。

拉格朗日函數(shù)對于密度進(jìn)行微分,可得:

(9)

式中:ve可以看作為1,由KKT條件,可得:

(10)

從式(6)得到,節(jié)點(diǎn)靈敏度是由元素靈敏度擴(kuò)展而來,故式(10)可改寫為:

VNS+Λ=0

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[8],可得修正后的水平集演化方程:

(12)

式中:拉格朗日乘子Λ是通過二分法尋找到的。

柔度C對于單元密度ρe微分,便得到了元素靈敏度:

(13)

3 實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)

3.1 六邊形網(wǎng)格

如圖1所示,黑色字體為單元編號,灰色字體為節(jié)點(diǎn)編號,以3×3網(wǎng)格規(guī)模為示例,從左下角開始,采用從左到右,從下到上的規(guī)律進(jìn)行編號。

圖1 六邊形網(wǎng)格編號

對于六邊形網(wǎng)格,節(jié)點(diǎn)有3種情況,用于式(6)節(jié)點(diǎn)靈敏度的計(jì)算。

(1)3個(gè)單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

(2)2個(gè)單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

(3)不與其他單元共用的節(jié)點(diǎn)。

3.2 過濾器

在本文方法中,靈敏度濾波是唯一的濾波方案,為了實(shí)驗(yàn)對比,故對于文獻(xiàn)[9]也采用相同的靈敏度濾波方案進(jìn)行處理。

元素j的過濾靈敏度是通過在元素j的鄰域上使用濾波半徑rmin定義的元素靈敏度的加權(quán)平均得到的,過濾后的靈敏度場為:

(14)

式中:Nm是元素m的集合,其中元素m的中心到元素j中心距離dist(ρj,ρm)小于濾波半徑rmin,Hjm是一個(gè)權(quán)重因子,由下式給出:

Hjm=max(0,rmin-dist(ρj,ρm))

(15)

權(quán)重的定義使得靠近元素j的元素與遠(yuǎn)離元素j的元素相比,對元素j的過濾靈敏度的貢獻(xiàn)更大。

3.3 灰度單元

由于式(3)的緣故,水平集函數(shù)切割邊界的單元,所提方法在且只在結(jié)構(gòu)邊界處存在灰度單元,大大減少了灰度單元的數(shù)量,隨著網(wǎng)格的細(xì)分,灰度單元在最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)幾乎可以忽略不計(jì)。

3.4 收斂準(zhǔn)則

當(dāng)優(yōu)化迭代過程中柔度變化量不超過一個(gè)微小的閾值ε,或是到達(dá)定義的最大迭代次數(shù)itermax,則認(rèn)為迭代已經(jīng)收斂。

(16)

式中:ci為第i次迭代的柔度,ci-1為第i-1次迭代的柔度。本文柔度變化量的閾值ε取為1×10-4,最大迭代次數(shù)取為200。

4 實(shí)驗(yàn)算例

采用半MBB梁與米歇爾結(jié)構(gòu)兩組算例來驗(yàn)證本文所提方法的有效性,在這兩個(gè)算例中,采用一樣的參數(shù)數(shù)值,E0=1,Emin=10-8,p=3。

4.1 半MBB梁

如圖2所示,半MBB梁設(shè)計(jì)域的長寬比為3∶1,目標(biāo)體積選為0.5,單位力F施加在設(shè)計(jì)域的左上角,對比了文獻(xiàn)[9]與本文方法在網(wǎng)格分別取為75×25,165×55,225×75時(shí)的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及柔度,最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如表1所示,柔度分析如表2所示。

表1 半MBB梁拓?fù)鋬?yōu)化

表2 半MBB梁柔度分析

圖2 半MBB梁

表1對比了文獻(xiàn)[9]方法與本文方法得到的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以看出本文方法得到了與文獻(xiàn)[9]相似的拓?fù)錁?gòu)型,且比文獻(xiàn)[9]方法更加清晰。

表2對比分析了文獻(xiàn)[9]方法與本文方法最終獲得的半MBB梁柔度,從結(jié)果上來看,本文方法獲得了比文獻(xiàn)[9]方法更低的柔度,且隨著網(wǎng)格的細(xì)分,柔度下降率的數(shù)值更大。

4.2 米歇爾結(jié)構(gòu)

如圖3所示,米歇爾結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域的長寬比為1∶1,目標(biāo)體積選為0.2,單位力F施加在設(shè)計(jì)域的左下角,對比了文獻(xiàn)[9]與本文方法在網(wǎng)格分別取為45×45,85×85,125×125時(shí)的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及柔度,最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如表3所示,柔度分析如表4所示。

表3 米歇爾結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

表4 米歇爾結(jié)構(gòu)柔度分析

圖3 米歇爾結(jié)構(gòu)

表3對比了文獻(xiàn)[9]方法與本文方法得到的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以看出本文方法得到了與文獻(xiàn)[9]相似的拓?fù)錁?gòu)型,且比文獻(xiàn)[9]方法更加清晰。

表4對比分析了文獻(xiàn)[9]方法與本文方法最終獲得的米歇爾結(jié)構(gòu)柔度,從結(jié)果上來看,本文方法獲得了比文獻(xiàn)[9]方法更低的柔度,且隨著網(wǎng)格的細(xì)分,柔度下降率的數(shù)值更大。

5 結(jié)論

針對基于變密度法的六邊形網(wǎng)格拓?fù)鋬?yōu)化中,獲得的結(jié)構(gòu)存在大量中間密度的問題,引入改進(jìn)的水平集方法,進(jìn)而提出一種新的方法,并通過實(shí)驗(yàn)算例進(jìn)行驗(yàn)證,通過分析實(shí)驗(yàn)算例結(jié)果,可得出以下結(jié)論:

(1)本文所提方法能獲得柔度更小,結(jié)構(gòu)清晰,邊界光滑的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu),為實(shí)際工程應(yīng)用中的生產(chǎn)加工提供了便捷,有效的方法。

(2)隨著網(wǎng)格規(guī)模的增大,本文所提方法能進(jìn)一步降低柔度,抑制灰度單元。

本文將該方法運(yùn)用到了二維拓?fù)鋬?yōu)化,并取得了較好的結(jié)果,未來的工作將致力于三維拓?fù)鋬?yōu)化。