李云峰

(三江學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院,南京 210012)

0 引言

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌具有定位精度高、摩擦系數(shù)小、精度保持性好、可維護(hù)性好等優(yōu)點(diǎn),因此在主軸系統(tǒng)和進(jìn)給系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用,已經(jīng)成為了數(shù)控機(jī)床重要的功能部件[1-2]。直線導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)特性直接影響到產(chǎn)品的加工精度和質(zhì)量,因此研究滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)性能具有重要的意義[3-4]。

影響滾動(dòng)直線導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)性能的因素很多,一般從摩擦、磨損、預(yù)緊力和裝配誤差等方面開(kāi)展研究工作。YI等[5]通過(guò)研究摩擦對(duì)導(dǎo)軌微觀和宏觀的動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律,對(duì)直線導(dǎo)軌位置精度進(jìn)行了研究工作。ZOU等[6]研究了直線導(dǎo)軌在使用過(guò)程中由于摩擦和磨損的影響而引起的接觸剛度變化,建立導(dǎo)軌接觸剛度預(yù)測(cè)模型。TAO等[7]建立了滑塊滾道磨損引起的位移計(jì)算模型,對(duì)直線導(dǎo)軌的磨損和性能進(jìn)行預(yù)測(cè)。梁醫(yī)等[8]分析了滾道中心距不同誤差情況下對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌承載能力的影響規(guī)律。KONG等[9]綜合考慮預(yù)緊力、初始接觸角和球徑等因素的影響,研究了線性導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性。

但是,在實(shí)際工程中,由于不能完全消除參數(shù)的隨機(jī)性,不可避免地存在如材料性能、幾何尺寸、載荷等著不確定因素,導(dǎo)致了直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)特性的不確定性[10]。針對(duì)此問(wèn)題,WANG等[11]利用正太分布表征幾何參數(shù)的不確定性,采用隨機(jī)攝動(dòng)法計(jì)算動(dòng)態(tài)誤差的統(tǒng)計(jì)矩,實(shí)現(xiàn)對(duì)直線導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)性能的分析。然而,由于工程問(wèn)題的復(fù)雜性和樣本數(shù)量的限制,很難得到參數(shù)精確的概率分布[12]。假設(shè)幾何參數(shù)服從特定的概率分布,即使是偏離真實(shí)值的微小變化,也可能造成較大的計(jì)算誤差[13]。雖然無(wú)法準(zhǔn)確定義不確定參數(shù)的概率分布,但是可以比較容易確定參數(shù)的上下界,因此可以用區(qū)間模型來(lái)處理參數(shù)的不確定性[14]。區(qū)間分析方法僅需知道不確定參數(shù)的上下界,可以更大程度保留參數(shù)的原始信息,使得分析計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際情況,因此得到了廣泛的應(yīng)用[15-16]。

目前,尚未有關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)性能的研究。本文利用區(qū)間模型表征直線導(dǎo)軌設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性,通過(guò)分析直線導(dǎo)軌實(shí)際受載情況并基于Hertz接觸理論,建立了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌二自由度動(dòng)力學(xué)分析模型;然后,利用龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行求解,得到各個(gè)時(shí)刻直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值。以SHS-45R系列滾動(dòng)直線導(dǎo)軌為例,利用本文所述方法對(duì)不同精度等級(jí)的導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行了分析。

1 直線導(dǎo)軌動(dòng)力學(xué)分析模型

1.1 直線導(dǎo)軌受力模型

直線導(dǎo)軌在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中,受到復(fù)雜的工作載荷的作用,考慮到實(shí)際工作情況,假設(shè)直線導(dǎo)軌受到垂直載荷Fy和水平載荷Fx的作用,如圖1所示,并假設(shè)Fx和Fy均為簡(jiǎn)諧激振力[17]。

圖1 直線導(dǎo)軌受力分析圖

1.2 直線導(dǎo)軌定位誤差分析

直線導(dǎo)軌精度公差包括行走平行度公差與尺寸公差[11]。如圖2所示,導(dǎo)軌的幾何公差包括M向的公差ΔA以及W向的公差ΔB,通過(guò)提高安裝精度可以降低幾何誤差[18]。直線導(dǎo)軌實(shí)際工作過(guò)程中,由于載荷的作用,產(chǎn)生垂直位移V和水平位移H。由于幾何參數(shù)的不確定性,導(dǎo)致滑塊各個(gè)時(shí)刻V和H的值出現(xiàn)波動(dòng),由此造成導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的平行度誤差。

圖2 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的精度公差

1.3 接觸變形與載荷分析

圖3為直線導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)組成,主要包括滑塊、滾珠和導(dǎo)軌3部分。導(dǎo)軌受到載荷Fy、Fx的作用,因此滑塊產(chǎn)生垂直位移V、水平位移H。4列滾珠編號(hào)為i(i=1,2,3,4),第i列滾珠受到的接觸面法向載荷為Qi(i=1,2,3,4)。根據(jù)Hertz理論,對(duì)滾珠與滾道的接觸進(jìn)行分析,滾珠與軌道與滑塊接觸模型如圖4所示。Oci和Ori為滑塊和導(dǎo)軌溝槽初始曲率中心,曲率半徑分別為Rc和Rr,通常情況下Rc和Rr相等。

圖3 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)及受力圖

當(dāng)僅受預(yù)緊力P0時(shí),滾珠的初始接觸變形為δ0,通過(guò)分析得到Oci和Ori之間的距離s0為:

s0=Rc+Rr-d+δ0

(1)

式中:d表示沒(méi)有安裝滾珠時(shí)導(dǎo)軌溝槽與滑塊溝槽之間的空間距離,d0為滾珠沒(méi)有發(fā)生形變時(shí)的直徑。在預(yù)緊力作用下,滾珠的變形δ0為:

δ0=d0-d

(2)

將滾珠與滾道接觸視為彈性接觸,根據(jù)Hertz接觸理論[19],滾珠與滑塊溝槽和導(dǎo)軌溝槽的接觸力為:

(3)

式中:δi為滾珠的彈性變形,v1和v2分別為滾珠和溝槽材料的泊松比,E1和E2分別為滾珠和溝槽材料的彈性模量,μ為與剛度相關(guān)的赫茲系數(shù),∑ρ為滾珠與溝槽接觸的綜合曲率。μ、∑ρ可以通過(guò)Hertz接觸理論進(jìn)行計(jì)算獲得。將式(3)進(jìn)行簡(jiǎn)化,得到:

(4)

式中:ξ描述了滾珠接觸載荷Qi與彈性變形之間的關(guān)系,稱為接觸系數(shù):

(5)

圖5 滾動(dòng)直線導(dǎo)軌位移與變形的幾何關(guān)系

通過(guò)分析計(jì)算,得到各排滾珠的彈性變形和接觸角表示為:

(6)

(7)

將式(6)帶入式(4),得到滾珠的接觸載荷:

(8)

通過(guò)式(8)可知,接觸載荷Qi是關(guān)于垂直位移V、橫向位移H的函數(shù)。但是,隨著位移的增大,滾珠可能會(huì)失去與滾道的接觸,此時(shí)接觸載荷Qi會(huì)逐漸減少到0,因此接觸載荷V和H的分段非線性函數(shù)[11]。直線導(dǎo)軌內(nèi)部對(duì)滑塊總的作用力可簡(jiǎn)化為:

(9)

式中:n表示每一排滾珠的數(shù)目,FH和FV分別表示導(dǎo)軌內(nèi)部對(duì)滑塊的橫向載荷和垂直載荷。

1.4 直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

圖6 直線導(dǎo)軌滑塊二自由度動(dòng)力學(xué)模型

由上述分析得到滑塊的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為:

(10)

由1.3節(jié)對(duì)直線導(dǎo)軌的載荷與接觸變形分析可知,滾珠與滑塊的接觸剛度ki是滾珠彈性變形δi的非線性函數(shù)[11]。由式(6)可知滾珠彈性變形δi是關(guān)于水平位移H和垂直位移V的函數(shù),因此ki同樣為H和V的函數(shù)。式(10)中的kHH和kVV分別表示滑塊系統(tǒng)因水平位移H和垂直位移V所產(chǎn)生的接觸載荷,而等效剛度kH和kV為H和V的非線性函數(shù)[21]。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,將kHH、kVV兩項(xiàng)分別用滾珠對(duì)滑塊的作用載荷進(jìn)行表示[19]。由式(8)得表達(dá)式為:

(11)

將式(11)帶入式(10)得到滑塊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程:

(12)

由式(12)可知,直線導(dǎo)軌的動(dòng)力學(xué)方程比較復(fù)雜,且參數(shù)相互耦合,解析求解比較困難,因此利用龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行求解,得到各個(gè)時(shí)刻直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值。

2 直線導(dǎo)軌幾何參數(shù)不確定分析

本文用區(qū)間數(shù)對(duì)直線導(dǎo)軌的幾何參數(shù)的不確定性進(jìn)行表征,區(qū)間數(shù)DI是指任意一對(duì)封閉有界的實(shí)數(shù)[14]:

DI=[DL,DU]={D|DL≤D≤DU}

(13)

式中:上標(biāo)L和U分別表示區(qū)間數(shù)的下限和上限。

區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)Dc和半徑Dw表示為:

(14)

因此,區(qū)間數(shù)還可以表示為:

DI=Dc+[-1,1]Dw

(15)

直線導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)性能受多個(gè)幾何參數(shù)的影響,包括初始接觸角β0、滾球直徑d0、凹槽曲率rc和初始變形量δ0[11]。由于直線導(dǎo)軌零部件尺寸公差的存在以及在制造裝配過(guò)程的隨機(jī)因素影響,幾何參數(shù)具有不確定性。因此,利用區(qū)間模型表示結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性。假設(shè)幾何參數(shù)的不確定度為η,因此上述幾何參數(shù)的取值區(qū)間為:

(16)

3 算例分析

3.1 直線導(dǎo)軌模型

3.2 直線導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

當(dāng)各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)在理想值時(shí),采用文獻(xiàn)[11]中的載荷條件,利用第2節(jié)中建立的動(dòng)態(tài)模型計(jì)算滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的單自由度動(dòng)態(tài)響應(yīng)。圖7為本文模型計(jì)算的直線導(dǎo)軌單自由度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值與文獻(xiàn)[11]的對(duì)比結(jié)果。

圖7 動(dòng)力學(xué)模型分析結(jié)果對(duì)比

從圖7可以得到,在相同的載荷條件下,直線導(dǎo)軌垂直方向的動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果基本一致。因此本文所建立的直線導(dǎo)軌動(dòng)態(tài)分析模型的計(jì)算精度滿足分析要求。

接下來(lái),分別利用本文所建立的二自由度動(dòng)力學(xué)分析模型對(duì)直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析,得到了直線導(dǎo)軌的垂直位移和水平位移的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。假設(shè)直線導(dǎo)軌幾何參數(shù)[β0,d0,rc,δ0]的不確定度η=0.02,因此由式(16)可以得到幾何參數(shù)的區(qū)間值。在幾何參數(shù)區(qū)間分布情況下,通過(guò)二自由度動(dòng)力學(xué)分析模型,得到直線導(dǎo)軌水平方向和垂直方向的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)。如圖8所示,直線導(dǎo)軌水平位移和垂直位移的最大值、最小值以及理想值的分布情況,其中,圖8a和圖8b分別表示水平位移和垂直位移。對(duì)每個(gè)時(shí)刻,位移的最大值和最小值位于理想值的兩側(cè)。當(dāng)直線導(dǎo)軌的精度等級(jí)為高精度時(shí),其行走平行度公差為3 μm,從圖中可以得到在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中,直線導(dǎo)軌水平位移在公差范圍之內(nèi)約占運(yùn)動(dòng)周期的20%(其中上邊界為32.5%,下邊界為20%,取綜合有效值20%),而垂直位移在公差范圍之內(nèi)約占運(yùn)動(dòng)周期的50%。

(a) 水平位移特性 (b) 垂直位移特性

由直線導(dǎo)軌受力情況可知,垂直方向載荷大于水平方向載荷,但是從圖8可知,直線導(dǎo)軌水平方向的位移大于垂直方向,而且水平方向位移波動(dòng)較大,一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)行在公差范圍之內(nèi)的時(shí)間占比較小。主要原因是,由于垂直載荷的作用,第3列和第4列滾珠與滾道接觸狀態(tài)發(fā)生變化(圖3所示),導(dǎo)致水平方向的等效剛度變小,而垂直方向等效剛度變大。

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌根據(jù)運(yùn)動(dòng)精度等級(jí)的不同,分為普通精度級(jí)、高精度級(jí)、精密級(jí)等,對(duì)應(yīng)的行走平行度公差分別為5 μm、3 μm、2 μm。利用文中所述方法分別評(píng)估直線導(dǎo)軌的動(dòng)態(tài)特性,導(dǎo)軌綜合運(yùn)動(dòng)特性如表2所示。在相同載荷下,隨著直線導(dǎo)軌精度等級(jí)的提高,允許的行走平行度公差逐漸減小,直線導(dǎo)軌水平方向和垂直方向運(yùn)行在公差范圍之內(nèi)的時(shí)間占比逐漸減小。

表2 不同精度直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)性能

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種考慮幾何參數(shù)不確定性的直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)性能分析方法。根據(jù)直線導(dǎo)軌的精度等級(jí)確定了運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的合理范圍。分析直線導(dǎo)軌實(shí)際受載情況,基于赫茲接觸理論,建立了考慮直線導(dǎo)軌接觸特性和結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的二自由度動(dòng)力學(xué)模型。

為了提高運(yùn)動(dòng)性能分析的準(zhǔn)確性,用區(qū)間模型表示幾何參數(shù)的不確定性。通過(guò)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的兩個(gè)方向的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)范圍與運(yùn)動(dòng)誤差范圍的對(duì)比,得到了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌水平方向和垂直方向上動(dòng)態(tài)位移位于運(yùn)動(dòng)公差合理區(qū)間內(nèi)的時(shí)間占比。隨著導(dǎo)軌精度等級(jí)的提高,兩個(gè)方向上動(dòng)態(tài)位移位于運(yùn)動(dòng)公差合理區(qū)間內(nèi)的比例越來(lái)越小。

本文分析結(jié)果對(duì)于滾動(dòng)直線導(dǎo)軌的設(shè)計(jì)、制造以及實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中的選型都具有重要的指導(dǎo)意義。但是,也存在不足的地方,比如滾動(dòng)直線導(dǎo)軌受到負(fù)載載荷作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)、俯仰等運(yùn)動(dòng)特性。因此,未來(lái)將根據(jù)導(dǎo)軌受力情況,建立三自由度、四自由度或五自由度的動(dòng)力學(xué)分析模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)性能更加準(zhǔn)確的分析。