孟陽(yáng)陽(yáng),陳秀梅,彭寶營(yíng),張美格

(北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,北京 100192)

0 引言

并聯(lián)機(jī)床具有剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、誤差累積小、運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)控制性強(qiáng)等特點(diǎn),因此并聯(lián)機(jī)床自上世紀(jì)問(wèn)世以來(lái),便引起眾多學(xué)者的關(guān)注,并聯(lián)機(jī)床的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛[1]。并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差是目前制約并聯(lián)機(jī)床在高精度場(chǎng)合應(yīng)用無(wú)法回避的主要因素,是設(shè)計(jì)、制造和控制研究方面應(yīng)考慮的重要技術(shù)指標(biāo)之一[2]。位姿誤差直接影響著并聯(lián)機(jī)床的加工性能,因此對(duì)于并聯(lián)機(jī)床位姿誤差的研究具有非常重要的意義。

為了研究并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差,陳明方等[3]針對(duì)2TPR &2TPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,在正解的基礎(chǔ)上建立了動(dòng)、靜平臺(tái)位置參數(shù)和桿長(zhǎng)誤差參數(shù)與末端位姿誤差的關(guān)系,并建立了基于逆解的補(bǔ)償。鄧嘉鳴等[4]對(duì)2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)利用D-H矩陣法建立了單支鏈的位姿誤差模型,由此得到了包含運(yùn)動(dòng)副制造、安裝、磨損的動(dòng)平臺(tái)位姿誤差模型。單鵬等[5]對(duì)Stewart型并聯(lián)機(jī)床利用D-H矩陣建立了包含鉸座位姿參數(shù)和桿件D-H參數(shù)等幾何誤差的機(jī)床位姿誤差方程,并利用該位姿誤差方程進(jìn)行精度綜合與標(biāo)定。毛冰滟[6]分析了6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要誤差,建立了矢量鏈誤差模型和線性化的基于D-H矩陣法的運(yùn)動(dòng)鏈誤差模型,并將兩種誤差模型進(jìn)行仿真對(duì)比。YANG等[7]利用最小位移合成法,建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差模型,進(jìn)行了機(jī)構(gòu)參數(shù)誤差的辨識(shí)。TIAN等[8]將末端位姿誤差表示為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)和等效移動(dòng)誤差的線性組合,將操作空間中的位姿誤差解耦到關(guān)節(jié)空間中,進(jìn)行了在線補(bǔ)償,降低了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿誤差。馬立等[9]分析了精密6自由度并聯(lián)機(jī)器人的誤差來(lái)源,以及誤差補(bǔ)償?shù)木窒扌?采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)局部空間進(jìn)行補(bǔ)償,使得末端位姿誤差有明顯的降低。

綜上所述,對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償方法的研究中,主要有:修正逆解模型補(bǔ)償法、修正系統(tǒng)輸入補(bǔ)償法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償法。修正逆解模型補(bǔ)償法需對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和參數(shù)重新編程或修改,過(guò)程較為繁瑣,修正系統(tǒng)輸入法僅修正擬達(dá)到的位姿,補(bǔ)償精度有限、實(shí)時(shí)性差,采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接對(duì)于末端位姿誤差進(jìn)行補(bǔ)償,須有大量的數(shù)據(jù)作為支撐。本文針對(duì)六自由度并聯(lián)機(jī)床,分析了影響位姿誤差的主要因素,建立了位姿誤差模型,使用了一種改進(jìn)的修正系統(tǒng)輸入補(bǔ)償法,通過(guò)不斷調(diào)整桿長(zhǎng),來(lái)減小位姿誤差,精度高、實(shí)時(shí)性強(qiáng),仿真結(jié)果表明,經(jīng)過(guò)誤差補(bǔ)償后能夠有效減少并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差。

1 并聯(lián)機(jī)床簡(jiǎn)介

圖1為六自由度空間并聯(lián)機(jī)床,該機(jī)床由機(jī)架、靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、電主軸、以及與動(dòng)靜平臺(tái)相連接的6條完全相同的支鏈組成,靜平臺(tái)通過(guò)螺栓與機(jī)架的上端相連接,6條支鏈呈現(xiàn)兩兩對(duì)稱(chēng)布置,分為3組,其中支鏈?zhǔn)怯蒘、P、S等3個(gè)運(yùn)動(dòng)副組成,支鏈一端通過(guò)S副(上球鉸)與靜平臺(tái)相連接,另一端也通過(guò)S副(下球鉸)與動(dòng)平臺(tái)連接,P副(移動(dòng)副)即伺服電動(dòng)缸,由伺服電機(jī)通過(guò)同步齒形帶帶動(dòng)絲杠螺母提供動(dòng)力輸出,從而驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)做空間六自由度的運(yùn)動(dòng)。

圖1 六自由度并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)模型

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真

2.1 建立坐標(biāo)系

為了描述該并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差,建立了2個(gè)坐標(biāo)系,如圖2a所示:分別為固定坐標(biāo)系ob-xbybzb和動(dòng)坐標(biāo)系oa-xayaza,用ob-xbybzb和oa-xayaza分別表示固定平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的中心和參考系。如圖2b所示:鉸鏈點(diǎn)Ai(i=1,2,3,4,5,6)和鉸鏈點(diǎn)Bi(i=1,2,3,4,5,6)分別為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)球鉸分布點(diǎn),a1為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)兩相距較遠(yuǎn)球鉸的夾角,b1為固定平臺(tái)兩相距較近球鉸的夾角,r為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)組成圓的半徑,R為固定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)組成圓的半徑。在初始位置時(shí),各支鏈上電動(dòng)缸伸縮桿桿長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量相等,此時(shí)固定坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系Z軸方向一致,垂直于動(dòng)平臺(tái)方向向上。

(a) 并聯(lián)機(jī)床動(dòng)靜平臺(tái)坐標(biāo)系 (b) 并聯(lián)機(jī)床上下平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是位姿誤差分析的基礎(chǔ),包括運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,已知并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)當(dāng)前的位置和姿態(tài)求解電動(dòng)缸伸縮桿的6個(gè)桿長(zhǎng)即為并聯(lián)機(jī)床的逆解,反之即為正解[10]。并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿用向量P=(Px,Py,Pz,α,β,γ)來(lái)表示,Px、Py、Pz表示動(dòng)平臺(tái)的位置即動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的絕對(duì)坐標(biāo),α、β、γ為RPY角,表示動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)靜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角度,用以描述動(dòng)平臺(tái)當(dāng)前的姿態(tài)。

(1)

式中:c表示cos,s表示sin。

如圖2a所示的封閉環(huán)Oa-Ob-Ai-Bi,根據(jù)矢量表達(dá)式,可推導(dǎo)出并聯(lián)機(jī)床的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式:

P+RAi-Bi=liui

(2)

式中:P為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的位置向量,li為包含鉸鏈位置誤差和驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差以及安裝誤差在內(nèi)的驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng),ui為從鉸鏈點(diǎn)Bi指向鉸鏈點(diǎn)Ai的單位向量。

3 位姿誤差建模與分析

3.1 位姿誤差建模

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是位姿誤差建模與分析的基礎(chǔ)[11]。將并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程式(2)進(jìn)行全微分,可得:

dliui+lidui=dP+dRAi+RdAi-dBi

(3)

移項(xiàng)可得并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差模型:

(4)

式中:

式中:δD為6×1的列向量,表示并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿誤差;Ke為6×42的矩陣,表示包含并聯(lián)機(jī)床桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)位置誤差的誤差傳遞矩陣;δe為42×1的列向量,δI為6×1的列向量,表示并聯(lián)機(jī)床電動(dòng)缸推桿桿長(zhǎng)的誤差;δm為36×1的列向量,表示固定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差。由上述位姿誤差模型可知,當(dāng)給出電動(dòng)缸推桿桿長(zhǎng)的誤差和上下鉸鏈點(diǎn)的位置誤差,即可通過(guò)上述公式求出該并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差。

3.2 位姿誤差分析

由上述誤差模型可知,影響并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的因素為:電動(dòng)缸推桿桿長(zhǎng)誤差和動(dòng)、靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差。但是,該誤差模型無(wú)法量化推桿桿長(zhǎng)誤差和動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于位姿誤差的影響程度。

接下來(lái)重點(diǎn)分析推桿桿長(zhǎng)誤差和動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)于位姿誤差的影響程度。在對(duì)推桿桿長(zhǎng)誤差分析時(shí),假定動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差為0,反之,對(duì)于動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差分析時(shí),假定桿長(zhǎng)誤差為0。由于該模型為幾何誤差模型,動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)于位姿誤差的影響程度相同,所以只分析上鉸鏈點(diǎn)對(duì)位姿誤差的影響。

為了使得對(duì)于位姿誤差的分析更具有普遍性選取并聯(lián)機(jī)床的任意初始位姿為P(5,0,90,5,5,3)。

并聯(lián)機(jī)床的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)

單個(gè)桿長(zhǎng)誤差對(duì)于位姿誤差的影響如圖3所示。

(a) 桿長(zhǎng)L1對(duì)位置誤差的影響 (b) 桿長(zhǎng)L1對(duì)姿態(tài)誤差的影響

鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)于位姿誤差的影響如圖4所示。

(a) 鉸鏈點(diǎn)C1對(duì)位置誤差的影響 (b) 鉸鏈點(diǎn)C1對(duì)姿態(tài)誤差的影響

由圖3和圖4可以看出:

(1)桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)誤差在-1～1 mm之間變化時(shí),并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位置誤差的變化在10-1mm量級(jí),而姿態(tài)誤差的變化在10-3°量級(jí)。

(2)對(duì)比桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的影響可以看出,桿長(zhǎng)誤差對(duì)于并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響最大約為0.3 mm,對(duì)于姿態(tài)誤差的影響最大約為3×10-3°而鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位置誤差的影響最大約為0.15 mm,對(duì)于姿態(tài)誤差的影響最大約為1×10-3°。

(3)并聯(lián)機(jī)床驅(qū)動(dòng)桿1與6、2與5、3與4在桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位姿誤差影響的規(guī)律大致相同。

由上述位姿誤差分析可知,桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差都有較大的影響,因此在實(shí)際的加工中,會(huì)產(chǎn)生較大的加工誤差,所以在進(jìn)行位姿誤差補(bǔ)償時(shí),要著重彌補(bǔ)桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)誤差對(duì)于位姿誤差的影響。

4 誤差補(bǔ)償

4.1 誤差補(bǔ)償模型

加工精度是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)床性能好壞的一個(gè)重要指標(biāo),而并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差直接影響了并聯(lián)機(jī)床的加工精度[12]。要提高并聯(lián)機(jī)床的加工精度,首先是在并聯(lián)機(jī)床零部件加工和裝配過(guò)程中減小加工和裝配誤差,但是機(jī)床零部件每提高一個(gè)加工和裝配等級(jí),隨之而來(lái)的便是成本的提高[13]。其次通過(guò)建立有效的補(bǔ)償算法,來(lái)減小位姿誤差,從而提高并聯(lián)機(jī)床的加工精度[14]。由位姿誤差模型可知,影響并聯(lián)機(jī)床位姿誤差的主要因素為:驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差和動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差,然而動(dòng)靜平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的位置誤差對(duì)于動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的影響,可以通過(guò)對(duì)桿長(zhǎng)的調(diào)整進(jìn)行補(bǔ)償。

由式(4)可得:

(5)

令:

Jpδm=δI′

(6)

令:

δI-δI′=δI′′

(7)

式中:δI′′既包含鉸鏈點(diǎn)位置誤差和桿長(zhǎng)誤差,所以可以通過(guò)調(diào)整桿長(zhǎng)的誤差參量,使得并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位姿誤差最小。

4.2 誤差補(bǔ)償算法

具體的算法流程如圖5所示。

圖5 一種改進(jìn)的修正系統(tǒng)輸入補(bǔ)償法流程圖

emin為迭代的閾值,當(dāng)位姿誤差值e

4.3 仿真分析

為了驗(yàn)證上述誤差補(bǔ)償算法的有效性,接下來(lái)基于MATLAB對(duì)并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了誤差仿真。設(shè)并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)軌跡為:

式中:x、y、z為并聯(lián)機(jī)床移動(dòng)的位移方程,設(shè)仿真時(shí)間t為5 s,單位步長(zhǎng)為0.1 s,采用上述介紹的基于迭代法的一種改進(jìn)的修正系統(tǒng)輸入補(bǔ)償法進(jìn)行位姿誤差補(bǔ)償。誤差補(bǔ)償前后的位置和姿態(tài)誤差分別如圖6所示。

(a) 誤差補(bǔ)償前后位置誤差的變化 (b) 誤差補(bǔ)償前后姿態(tài)誤差的變化

由圖6可以看出,在仿真運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,誤差補(bǔ)償前,并聯(lián)機(jī)床位姿誤差值有明顯的波動(dòng),經(jīng)過(guò)上述的補(bǔ)償算法后,位姿誤差值波動(dòng)顯著減小,且維持在較低水平。表2為并聯(lián)機(jī)床位姿誤差補(bǔ)償前后的結(jié)果對(duì)比,由表2可以看出,經(jīng)過(guò)位姿誤差補(bǔ)償后,位置誤差均值由10-1mm量級(jí)下降至10-2mm量級(jí),而姿態(tài)誤差均值由10-3°量級(jí)下降至10-4°,且經(jīng)過(guò)位姿誤差補(bǔ)償后,位姿誤差最大值也有較大的下降。仿真結(jié)果表明,運(yùn)用本文所提出的誤差分析與誤差補(bǔ)償方法可以有效減小并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差。

表2 并聯(lián)機(jī)床位姿誤差補(bǔ)償結(jié)果

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)影響6自由度并聯(lián)機(jī)床的位姿誤差進(jìn)行分析,在并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的基礎(chǔ)上建立了并聯(lián)機(jī)床位姿誤差模型,得到了驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)位置誤差與并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的關(guān)系,在分析了桿長(zhǎng)誤差和鉸鏈點(diǎn)位置誤差對(duì)于位姿誤差的影響程度之后,通過(guò)將鉸鏈點(diǎn)位置誤差轉(zhuǎn)化為桿長(zhǎng)的調(diào)整量進(jìn)行彌補(bǔ)。由于桿長(zhǎng)誤差測(cè)量較為繁瑣,所以基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的修正系統(tǒng)輸入法,對(duì)并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明:本文介紹的位姿誤差分析和補(bǔ)償方法能夠有效降低并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差。