鄭林青,唐文斌,陳永當(dāng),呂英豪,盧媛媛

(西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,西安 710048)

0 引言

零件表面形貌是反映零件加工質(zhì)量的重要特征,也是零件質(zhì)量控制的重要內(nèi)容[1]。零件表面都包含由粗糙度、波紋度、形狀誤差構(gòu)成的宏觀和微觀形貌,對(duì)零件接觸、摩擦、密封等表界面性能具有重要影響[2-3]。因此,獲得高精度零件表面形貌成為了該研究方向的重要問(wèn)題。最常用的方法是通過(guò)測(cè)量零件表面離散的坐標(biāo)點(diǎn),直接對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)擬合得到零件表面形貌。但是該方法存在測(cè)量時(shí)間過(guò)長(zhǎng),僅能局部抽樣零件表面,測(cè)量結(jié)果存在偏差等問(wèn)題,需要考慮測(cè)量方案的合理性和經(jīng)濟(jì)性[4]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)零件表面形貌構(gòu)建問(wèn)題開(kāi)展大量的研究,有學(xué)者利用分形曲面進(jìn)行粗糙表面建模,但需要根據(jù)尺度選擇適合的表面建模方法[5-6]。有學(xué)者結(jié)合小波分析以及分形理論,通過(guò)小波分析實(shí)現(xiàn)粗糙表面評(píng)定及識(shí)別,并建立精密表面三維曲面小波頻譜模型,但分形表征參數(shù)的判定還需要通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得[7-9]。應(yīng)用代理模型的方法可以優(yōu)化這種工程問(wèn)題。代理模型是指通過(guò)構(gòu)造一種近似的替代模型從而簡(jiǎn)化過(guò)大的計(jì)算量以及復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程并能夠體現(xiàn)真實(shí)模型的工程方法。常見(jiàn)代理模型包括:克里金模型(Kriging model)[10]、多項(xiàng)式曲面模型(polynomial response surface model,PRS)[11]、支持向量機(jī)模型(support vector machine,SVM)[12]、徑向基函數(shù)模型(radial basis function model,RBF)[13]等。有學(xué)者應(yīng)用克里金插值模型的方法針對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行插值補(bǔ)充,改善了三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)偏差問(wèn)題[14]。不同的代理模型適應(yīng)性不同,針對(duì)構(gòu)建高精度零件表面形貌問(wèn)題,提高模型的精度是需要考慮的重要因素。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在提高代理模型精度方面也開(kāi)展了大量的研究。有學(xué)者通過(guò)改進(jìn)交叉驗(yàn)證方法優(yōu)化RBF形態(tài)參數(shù)進(jìn)而選擇最佳形態(tài)參數(shù)進(jìn)行插值計(jì)算實(shí)驗(yàn),得到相對(duì)精確的插值結(jié)果[15]。然而單一代理模型針對(duì)部分工程問(wèn)題也無(wú)法精確預(yù)測(cè)結(jié)果。為了解決這類(lèi)問(wèn)題,有學(xué)者提出使用組合代理模型作為更通用方法獲得更高精度的代理模型以及更好的預(yù)測(cè)性能[16]。組合模型的建立有多種策略,有學(xué)者提出基于遞歸預(yù)測(cè)方差倒數(shù)的元模型組合構(gòu)建方法,以組合模型達(dá)到理想精度為迭代停止準(zhǔn)則,相對(duì)單一模型提高了預(yù)測(cè)精度[17]。有學(xué)者基于誤差期望加點(diǎn)的方法,將加點(diǎn)策略與組合代理模型相結(jié)合,提高了預(yù)測(cè)精度[18]。還有學(xué)者通過(guò)計(jì)算模型初始權(quán)因子并且迭代更新得到最優(yōu)權(quán)因子的方法建立組合代理模型,并提高模型精度及計(jì)算效率[19]。但是將組合代理模型這種方法應(yīng)用在零件表面形貌建模上少有研究。

綜上所述,針對(duì)當(dāng)前零件表面形貌建模存在單一模型精度要求高,需要測(cè)量點(diǎn)數(shù)多的問(wèn)題,結(jié)合國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究,本文提出基于組合代理模型的零件表面形貌建模方法,通過(guò)合理確定克里金模型以及徑向基函數(shù)模型的權(quán)重因子,實(shí)現(xiàn)兩代理模型的組合并且在減少測(cè)量點(diǎn)的情況下提高模型整體精度。

1 零件表面形貌構(gòu)建方法

1.1 基于克里金模型的零件表面形貌構(gòu)建

克里金插值法是通過(guò)已知樣本值去估計(jì)未知點(diǎn)的屬性值,或由不規(guī)則觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)生成連續(xù)表面或等值線。從統(tǒng)計(jì)的意義上說(shuō),是從變量的相關(guān)性和變異性出發(fā),在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域變化量進(jìn)行無(wú)偏估計(jì)的一種方法;從插值的角度是對(duì)空間分布的數(shù)據(jù)求線性最優(yōu),無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)的一種方法。

克里金插值函數(shù)在未知位置上對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行加權(quán)平均,以預(yù)估未知位置上的數(shù)值。將隨機(jī)場(chǎng)中變量的估計(jì)表示為包含隨機(jī)誤差ε的線性系統(tǒng),則該點(diǎn)最佳線性無(wú)偏估計(jì)可表示為:

(1)

(2)

式中:x0為零件表面未知測(cè)量點(diǎn),{x1,x2,…xn}為區(qū)域變化量Z(x)的樣本。{Z(x);x∈D},其中D表示表面有限區(qū)域,滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè),其數(shù)學(xué)期望為μ,協(xié)方差函數(shù)c(h)和變異函數(shù)γ(h)存在。則:

E[Z(x)]=μ

(3)

c(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-μ2

(4)

(5)

假設(shè)在待估計(jì)點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有n個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn),即x1,x2,…,xn則克里金插值公式為:

(6)

(7)

因此,引入拉格朗日系數(shù)構(gòu)造如下函數(shù)并得到克里金插值的方程組:

(8)

1.2 基于RBF模型的零件表面形貌構(gòu)建

RBF插值模型是一種基于徑向基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,可以用于從已知數(shù)據(jù)點(diǎn)中生成未知位置的數(shù)據(jù)。RBF插值模型能夠以較高的精度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值,他可以有效捕捉非線性關(guān)系,適應(yīng)復(fù)雜數(shù)據(jù)分布,并且它具有較好的全局逼近性能。RBF插值公式為:

(9)

式中:M為插值點(diǎn),ω0為常數(shù)項(xiàng),ωk為待定系數(shù)矩陣,φ為徑向基函數(shù)。待定系數(shù)矩陣ωk可以通過(guò)下面方程解得:

Φi,jωk=f

(10)

式中:Φ是一個(gè)N×N的矩陣,各元素為:

(11)

f是N個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值。常用的徑向基函數(shù)有多重二次基函數(shù)(multi quadrics),Gaussian基函數(shù)等。選用Multi Quadrics基函數(shù)針對(duì)有效散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值具有較好的精度。其形式為:

(12)

式中:r=|x-xi|表示兩點(diǎn)之間距離,c表示形狀參數(shù),在本文中形狀參數(shù)取:

c2=d2

(13)

式中:d是支撐區(qū)域中所有點(diǎn)(xi,yi,zi)到鄰近點(diǎn)距離的平均值。利用徑向基函數(shù)插值可以獲得零件表面點(diǎn)的預(yù)測(cè)值,進(jìn)而構(gòu)建零件表面形貌。

與克里金模型相比,RBF模型不需要進(jìn)行變量轉(zhuǎn)化和模型假設(shè),在數(shù)據(jù)擬合能力上更加靈活。同時(shí),RBF模型具有對(duì)噪聲的抗干擾能力強(qiáng)、局部逼近能力優(yōu)異等優(yōu)點(diǎn)。因此,考慮組合這兩種代理模型并使用加權(quán)組合的方法構(gòu)建零件表面形貌。

2 組合代理模型構(gòu)建

2.1 總體思路

(1)代理模型構(gòu)建方面,克里金模型和RBF模型都屬于插值模型,具有良好的無(wú)偏性。針對(duì)非線性問(wèn)題更加適用。因此選擇克里金模型和RBF模型這兩種代理模型加權(quán)組合,其代理模型組合公式如下:

(14)

(2)模型精度驗(yàn)證指標(biāo)中,組合代理模型的預(yù)測(cè)精度指標(biāo)中使用最廣的是預(yù)測(cè)平方和(predicted error sum of square,Press),并且應(yīng)用k折交叉驗(yàn)證可以得到預(yù)測(cè)平方和的值。具體計(jì)算過(guò)程為:

拉丁超立方采樣得到n個(gè)樣本點(diǎn)后,對(duì)這n個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)集劃分,將其劃分為n個(gè)子集,使每一個(gè)子集只含有一個(gè)樣本點(diǎn),然后進(jìn)行n次循環(huán)迭代,每次選擇一個(gè)樣本點(diǎn)作為驗(yàn)證集,計(jì)算樣本點(diǎn)的響應(yīng)值,再用其余n-1個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練集,訓(xùn)練新的模型。將選擇的樣本點(diǎn)再次帶入訓(xùn)練的新模型得到新的響應(yīng)值,則樣本i對(duì)應(yīng)的誤差為:

(15)

Press值為:

(16)

(3)初始權(quán)因子ω的計(jì)算中,對(duì)于兩種模型可以通過(guò)反比例平均化法分別計(jì)算兩種模型的初始權(quán)因子,其公式為:

(17)

式中:Pi表示第i個(gè)樣本的預(yù)測(cè)平方和值。

(4)代理模型的精度驗(yàn)證指標(biāo)中,均方根誤差RMSE和均方根標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測(cè)誤差RMSPE是代理模型的精度驗(yàn)證指標(biāo),其表達(dá)式為:

(18)

(19)

圖1為組合代理模型總流程圖,本文提出的組合克里金模型和RBF模型關(guān)鍵步驟就是確定組合模型的權(quán)重因子。若直接使用式(17)計(jì)算出的初始權(quán)重因子,得到的組合代理模型不能滿足精度要求。因此以兩模型均方根誤差作為判斷條件,并通過(guò)更新初始權(quán)因子ωi,進(jìn)而循環(huán)迭代得到滿足精度要求的組合代理模型最終權(quán)重因子。

圖1 組合代理模型構(gòu)建流程圖

2.2 更新模型權(quán)因子方法偽代碼

迭代權(quán)因子流程如表1所示。

表1 迭代權(quán)因子流程

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 理論實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

首先使用文獻(xiàn)[14]中的方法生成理論數(shù)據(jù),模擬三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量過(guò)程,并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。

如圖2所示,針對(duì)圖2使用組合代理模型的方法構(gòu)建表面形貌并計(jì)算相關(guān)指標(biāo)。首先,在圖2所示的表面形貌選取點(diǎn)數(shù)為30×30的離散點(diǎn),用于模擬三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果;其次,使用組合代理模型的方法對(duì)理論數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,并分別計(jì)算克里金模型,RBF模型以及組合代理模型的均方根誤差以及計(jì)算組合代理模型的RMSPE。

圖2 理論數(shù)據(jù)擬合表面形貌

圖3為克里金模型、RBF模型以及組合代理模型的在針對(duì)該仿真數(shù)據(jù)計(jì)算得到的不同點(diǎn)數(shù)下均方根誤差值,顯然增加測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量無(wú)疑可以提高模型的精度。然而,這也意味著需要更多的測(cè)量數(shù)據(jù),從而增加測(cè)量時(shí)間以及經(jīng)濟(jì)成本。但是,過(guò)度的測(cè)量冗余信息可能破壞原有的模型精度。因此,在追求測(cè)量精度的同時(shí),也必須考慮如何最大限度地降低測(cè)量成本。換而言之,需要在最小的測(cè)量成本下達(dá)到最高的測(cè)量精度,即需要在測(cè)量成本和精度之間找到一種平衡。這時(shí),選擇合適的測(cè)量點(diǎn)數(shù)十分關(guān)鍵。而RMSPE這一指標(biāo)針對(duì)現(xiàn)有測(cè)量信息是否足夠具有敏感的反映。

當(dāng)RMSPE=1表示模型是精確有效的;當(dāng)RMSPE>1表示模型的預(yù)測(cè)值被高估,需要減少測(cè)量信息;當(dāng)RMSPE<1表示需要增加測(cè)量點(diǎn)。

圖4為該仿真數(shù)據(jù)應(yīng)用組合代理模型得到的RMSPE箱形圖,該箱形圖表明隨著采樣點(diǎn)數(shù)增加到350,組合代理模型的RMSPE值逐漸趨向1,當(dāng)點(diǎn)數(shù)增加到450時(shí),RMSPE>1,證明針對(duì)這段仿真數(shù)據(jù)只需要350個(gè)采樣點(diǎn)足以構(gòu)建精確的表面形貌。圖5表示采樣點(diǎn)為350時(shí)組合代理模型構(gòu)建的表面形貌圖。

圖4 組合代理模型RMSPE

3.2 實(shí)例驗(yàn)證

采用實(shí)際加工精密零件并應(yīng)用本文提出的組合代理模型方法進(jìn)行零件表面形貌構(gòu)建。實(shí)驗(yàn)使用三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x如圖6所示,實(shí)驗(yàn)零件相關(guān)參數(shù)以及三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x具體參數(shù)如表2和表3所示。

表2 零件相關(guān)參數(shù)

表3 三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x具體參數(shù)

圖6 NCA8107三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x

測(cè)量零件表面20×30個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)信息,并用代理模型實(shí)現(xiàn)零件表面形貌構(gòu)建,使用組合代理模型的方法擬合并計(jì)算相關(guān)指標(biāo),并驗(yàn)證代理模型精度。圖7為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)下克里金模型,RBF模型以及組合代理模型增加采樣點(diǎn)數(shù)得到的均方根誤差結(jié)果。

圖7 代理模型均方根誤差圖

該結(jié)果表明隨著點(diǎn)數(shù)的增加,模型的均方根誤差都趨向0,而組合代理模型的均方根誤差始終小于克里金模型以及RBF模型,證明了模型的高精度性。圖8為組合代理模型的RMSPE指標(biāo)。

從圖8可以看出,當(dāng)取樣點(diǎn)數(shù)等于200時(shí),RMSPE值無(wú)限接近1。當(dāng)點(diǎn)數(shù)大于250時(shí),組合代理模型RMSPE>1。證明針對(duì)該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)只需要200個(gè)點(diǎn)足以構(gòu)建精確的表面形貌。

圖9為組合代理模型在200個(gè)點(diǎn)數(shù)下構(gòu)建的零件表面形貌圖,該形貌圖可以精確表達(dá)零件平面度誤差以及零件真實(shí)形貌特征。

圖9 組合代理模型構(gòu)建表面形貌

4 結(jié)論

考慮精密零件表面形貌建模,通過(guò)對(duì)比克里金模型,RBF模型以及組合代理模型的預(yù)測(cè)精度,并且在考慮如何提高代理模型計(jì)算效率以及代理模型精度的情況下,挖掘測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文提出的方法可以在較少的測(cè)量點(diǎn)數(shù)下達(dá)到高精度零件表面形貌的構(gòu)建,體現(xiàn)了本文提出的組合代理模型方法在零件表面形貌建模問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì),并且該方法可以為精密加工零件質(zhì)量控制提供參考。