? 江蘇省江陰市華士實驗中學(xué) 張 云

縱觀世界數(shù)學(xué)的發(fā)展史,發(fā)現(xiàn)反例對數(shù)學(xué)的發(fā)展有著顯著的推動作用,如非歐幾何的產(chǎn)生與無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)等都與反例有著直接的聯(lián)系.事實告訴我們,反駁與證明是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的原動力[1].因此,我們在教學(xué)中,應(yīng)將目光鎖定反例教學(xué),充分利用反例激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑精神,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

近年來,筆者在教學(xué)實踐中,運用反例教學(xué)法獲得了一定的教學(xué)效益,特將該教學(xué)技巧與作用進行整理與分析,提出幾點拙淺的看法.

1 深化學(xué)生對概念的理解

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).吃不透概念,就如同一座高樓大廈沒有打好地基一樣,缺乏穩(wěn)固性.只從正面去教授概念,學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)概念的特殊之處與存在的陷阱.遇到考查概念內(nèi)涵的練習(xí),便會被變化多端的描述與情境變化干擾,導(dǎo)致各種錯誤的產(chǎn)生.若采用反例教學(xué)的方式,則能深化學(xué)生對概念的理解程度,不論情境發(fā)生怎樣的變化,都能一眼找出概念的內(nèi)涵.

案例1“負(fù)數(shù)”的概念教學(xué)

負(fù)數(shù)是剛步入初中階段學(xué)習(xí)的一個概念,教材運用了半列舉的模式闡釋負(fù)數(shù)的意義,如11.8%,9,9.5這些大于0的數(shù)為正數(shù),-7.8%,-3,-10.5這些在正數(shù)前添加了“-”號的數(shù)為負(fù)數(shù).從字面上來看,這個解釋沒有問題,但學(xué)生理解的時候容易產(chǎn)生偏差,有些學(xué)生會簡單地理解為數(shù)字前只要有“-”號,就是負(fù)數(shù).

為了深化學(xué)生對負(fù)數(shù)概念的理解,筆者嘗試用反例教學(xué)法,提出“-(-2)屬于正數(shù)的范疇還是負(fù)數(shù)的范疇“的問題.學(xué)生看到此問,立馬認(rèn)識到負(fù)數(shù)概念中的內(nèi)涵(正數(shù)前面有“-”號).因此,要從負(fù)數(shù)的內(nèi)涵上理解其概念,才不會出現(xiàn)偏差.

反例的運用,讓學(xué)生認(rèn)識到看似理所當(dāng)然的概念,并非那么簡單.對于概念的理解,需做到“咬文嚼字”的程度,要仔細(xì)琢磨概念中每一個字詞的意義.有時,看似隨意的描述,可能含有很多豐富的內(nèi)涵.反例在概念教學(xué)中的應(yīng)用,能讓學(xué)生逐漸形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度與思維方式,在對概念的理解與應(yīng)用中樹立反例意識,從而完善對概念的理解.

2 突破學(xué)生的思維定式

隨著教學(xué)手段的進步,試題也越發(fā)變得靈活,對學(xué)生的解題能力也提出了更高的要求.但學(xué)生在學(xué)習(xí)中常會受之前認(rèn)知水平與解題經(jīng)驗的影響,形成思維定式,解決一些繁雜的問題時會產(chǎn)生困擾.實踐證明,反例教學(xué)的模式能有效地打破學(xué)生的思維定式,啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的解題思路與方法,提高解題能力.

案例2“二次函數(shù)增減性”的教學(xué)

問題說說函數(shù)y=8x2的增減性.

不少學(xué)生受之前所學(xué)一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的影響,心理上產(chǎn)生了思維定勢,覺得a=8>0,所以函數(shù)y=8x2呈遞增性.為了突破思維定式對學(xué)生認(rèn)知的影響,筆者利用反例教學(xué)的方式,讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的奧秘,提出“當(dāng)x1=3,x2=-6時,對應(yīng)的函數(shù)值y1,y2分別是多少”的問題.

學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn),二次函數(shù)與一次函數(shù)有著顯著的差異,它的增減性不能以未知數(shù)的系數(shù)作為參考,而應(yīng)以它的圖象在坐標(biāo)系中的對稱軸作為討論界限.

用反例法突破學(xué)生的思維定式,并非絕對的摒棄常規(guī)的正序思維,而是針對一些特殊的問題采用反例法教學(xué),這樣教學(xué)效果更為明顯.其實,日常教學(xué)中仍然是常規(guī)思維訓(xùn)練運用得更多,在此基礎(chǔ)上靈活運用反例法教學(xué),能讓學(xué)生學(xué)會從不同的視角或?qū)用婵创龁栴},從而開拓視野,拓寬思維,為解題思路的拓展提供幫助.

3 減少計算錯誤的發(fā)生

運算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能,它決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)道路上能走多遠(yuǎn).不論多巧妙的解題思路,若沒有精準(zhǔn)的計算作為保障,只能無奈地以失敗告終.因此,沒有較強的運算能力,就無法談及解題能力的發(fā)展.而初中數(shù)學(xué)中的計算與小學(xué)相比,變得繁雜了許多,學(xué)生在計算上丟分的現(xiàn)象屢見不鮮.

怎樣利用反例教學(xué)法提高學(xué)生的運算能力,避免因計算錯誤而導(dǎo)致失分的現(xiàn)象,是筆者近些年一直在探索的問題之一.實踐中,筆者發(fā)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生的潛能,提升他們的計算能力,反例教學(xué)法具有無可替代的重要作用.

案例3“完全平方公式”的教學(xué)

不少學(xué)生對于字母化的公式容易產(chǎn)生認(rèn)識上的偏差,而完全平方公式又是初中階段非常重要的一個乘法公式.因此,教師可用實際數(shù)字代替字母讓學(xué)生進行反例訓(xùn)練,如區(qū)別(8+5)2和82+52的結(jié)果是否一致等.學(xué)生通過具體數(shù)字的計算,明確用字母所表達(dá)的完全平方差公式的意義,避免大腦形成錯誤的記憶而導(dǎo)致運算的失敗.

有些教師受傳統(tǒng)思想的干擾,習(xí)慣性地使用題海戰(zhàn)術(shù)來訓(xùn)練學(xué)生的計算能力,認(rèn)為熟能生巧是提高運算能力的基本手段.眾所周知,大量刷題只能形成一種慣性的解題思維,離深刻理解算理與靈活運用算法還有很大的差距.將反例教學(xué)靈活地運用到計算訓(xùn)練中,可以達(dá)到減負(fù)增效的效果,也能讓學(xué)生快速找出錯誤發(fā)生的原因.因此,重點突出、少而精的反例計算訓(xùn)練,是提高運算能力的催化劑.

4 提升學(xué)生的思維品質(zhì)

良好的思維品質(zhì)對學(xué)生的終身可持續(xù)性發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響.合理的思維練習(xí)對思維習(xí)慣的培養(yǎng)具有舉足輕重的作用,而優(yōu)質(zhì)思維品質(zhì)的形成,需有良好的思維習(xí)慣[2].解題中,不少學(xué)生出現(xiàn)一聽就會、一做就錯的現(xiàn)象.深究其原因并非是偶然失誤所致,而是這部分學(xué)生的思維品質(zhì)尚未達(dá)到該階段應(yīng)有的水平.

案例4“三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)

本章節(jié)對三角形的三邊關(guān)系提出了一個規(guī)律：三角形的任意兩邊之和必然大于第三條邊,而兩邊只差必然小于第三條邊.不少學(xué)生在運用該規(guī)律時,往往只關(guān)注到其中一個條件,認(rèn)為只要滿足這兩個條件中的一個,就能構(gòu)成三角形.筆者發(fā)現(xiàn),用正序教學(xué)法講解后,學(xué)生依然會出現(xiàn)這個錯誤.為此,筆者以通過例教學(xué)法,引發(fā)學(xué)生進行思考與分析：

問題在草稿紙上以2.5 cm,1.5 cm,1 cm為邊畫三角形.

學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式畫圖,最終每組呈現(xiàn)的結(jié)果都是：無法畫出滿足該條件的三角形.為此,筆者要求各組討論：為什么無法以這三個數(shù)據(jù)構(gòu)造一個三角形?

學(xué)生經(jīng)過討論與分析后提出：雖然1.5+2.5>1,1+2.5>1.5,但是1+1.5=2.5,這與教材中所提到的“任意兩條邊相加都大于第三條邊”的條件不相符.可見,1+1.5=2.5這個條件導(dǎo)致了無法畫出三角形.

學(xué)生在這個反例教學(xué)中,更進一步地認(rèn)識到此規(guī)律的重要性與實施過程中的意義.通過這個案例,學(xué)生也深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需講究周密性與嚴(yán)謹(jǐn)性,不能因為大部分條件能滿足,就認(rèn)為是可行的,而應(yīng)掌握數(shù)學(xué)概念、定理或規(guī)律的內(nèi)涵,深刻認(rèn)識每一個字詞句所代表的意義,才能做到靈活應(yīng)用.

思維品質(zhì)的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一個漫長的過程,而非一蹴而就的事.因此,教師應(yīng)在教學(xué)中有意識、有計劃地滲透數(shù)學(xué)思想,在潤物細(xì)無聲中長期訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì),讓每一個學(xué)生都能在學(xué)習(xí)中獲得良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),為其終身可持續(xù)性發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)[3].

總之,反例教學(xué)是響應(yīng)新課標(biāo)“輕負(fù)高效”教育理念的新視角與思路.這種教學(xué)方式能讓學(xué)生化被動為主動地參與學(xué)習(xí),突破思維定式帶來的弊端.于教師而言,反例法為教學(xué)開辟了新蹊徑,啟發(fā)了新的教學(xué)思路,讓他們能從一個全新的角度去認(rèn)識與看待數(shù)學(xué)事物.因此,反例教學(xué)不僅能促進師生的共同成長,還能有效地提升數(shù)學(xué)教學(xué)實效,為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).