蘇 歡, 潘小東, 付 凱

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611756)

自1965年Zadeh引入模糊集合[1]的概念以來(lái),由于其極其廣泛的應(yīng)用需求,模糊集理論及其應(yīng)用受到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-5].經(jīng)過(guò)近60年來(lái)的發(fā)展,模糊集合無(wú)論是在理論還是在應(yīng)用方面都取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步[6-8].Zadeh的模糊集合是對(duì)模糊概念外延的形式化描述,但其定義過(guò)于寬泛,并沒(méi)有反映出模糊現(xiàn)象的本質(zhì)及其主要特征,正是由于這個(gè)原因,難以確定其隸屬函數(shù)也成為模糊集理論和應(yīng)用研究過(guò)程中出現(xiàn)諸多爭(zhēng)議的關(guān)鍵所在.盡管許多學(xué)者對(duì)Zadeh的模糊集概念從不同角度進(jìn)行了擴(kuò)展[9-12],也取得了許多很有意義的研究成果[13-17],但并沒(méi)有從根本上解決這個(gè)問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

下面主要介紹序與格以及公理化模糊集合理論的一些基本概念、結(jié)論和記號(hào).

定義 1.1[21]非空集合E上的二元關(guān)系R若具有自反性、反對(duì)稱性和傳遞性,則稱R為E上的序關(guān)系或偏序關(guān)系.

定義 1.2[21]設(shè)(E,≤)為偏序集,D?E.如果D具有以下性質(zhì)

?x∈D,y∈E,y≤x?y∈D,則稱D為E的下集.對(duì)偶地,定義上集為滿足以下條件的子集

?x∈D,y∈E,y≥x?y∈D.

定義 1.3[22]在一個(gè)偏序集(L,≤)中,如果任意2個(gè)元素x、y都有上確界x∨y和下確界x∧y,則稱偏序集(L,≤)為一個(gè)格.

定義 1.4[22]設(shè)S是格L的一個(gè)子集,若?a,b∈S,總有a∧b∈S,a∨b∈S,則稱S為L(zhǎng)的一個(gè)子格.如果還滿足:?a,b∈S,?x∈L,如果a≤x≤b,則x∈S,這時(shí)稱S為L(zhǎng)的一個(gè)凸子格.

定義 1.5[22]設(shè)L是一個(gè)格,如果L的任意非空子集S都有上確界∨S和下確界∧S,則稱L是完備格.

定義 1.6[21]設(shè)L是一個(gè)格,如果對(duì)L中的任意元x、y、z都有:

1)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z),2)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z),則稱L是分配格.

定義 1.7[21]如果格L的子格I同時(shí)又是下集,則稱I為格L的理想.對(duì)偶地,如果子格F同時(shí)又是上集,則稱F為格L的濾子.

定理 1.1[21]設(shè)L為格,I是L的非空子集,則I為L(zhǎng)的理想當(dāng)且僅當(dāng)I是下集且對(duì)并運(yùn)算封閉.對(duì)偶地,設(shè)L為格,F是L的非空子集,則F為L(zhǎng)的濾子當(dāng)且僅當(dāng)F是上集且對(duì)交運(yùn)算封閉.

定義 1.8[23]設(shè)(X,≤)為偏序集,映射N:X→X,且?a,b∈X,滿足:

1)a≤b?N(b)≤N(a)(逆序?qū)?yīng)),2)N(N(a))=a(對(duì)偶律或復(fù)原律),稱N為X上的偽補(bǔ)或逆序?qū)纤阕踊驅(qū)戏袼阕?逆序?qū)纤阕右步袕?qiáng)否定算子.

定義 1.9[23]映射T:[0,1]×[0,1]→[0,1],如果?a,b,c,d∈[0,1]滿足條件:

1) 交換律T(a,b)=T(b,a);

2) 結(jié)合律T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));

3) 單調(diào)性a≤b,b≤c?T(a,b)≤T(c,d);

4) 邊界條件T(1,a)=a;

則稱T為[0,1]上的t-模.

定義 1.10[23]映射⊥:[0,1]×[0,1]→[0,1],如果?a,b,c,d∈[0,1]滿足條件:

1) 交換律⊥(a,b)=⊥(b,a);

2) 結(jié)合律⊥(⊥(a,b),c)=⊥(a,⊥(b,c));

3) 單調(diào)性a≤b,b≤c?⊥(a,b)≤⊥(c,d);

4) 邊界條件⊥(a,0)=a;

則稱⊥為[0,1]上的t-余模.

本文記t-模取小為?M,t-余模取大為⊕M,它們常稱為Zadeh算子.

定義 1.11[24]若

而f在點(diǎn)x0無(wú)定義,或有定義但f(x0)≠A,則稱x0為f的可去間斷點(diǎn).

定義 1.12[24]若函數(shù)f在點(diǎn)x0的左、右極限都存在,但

則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f的跳躍間斷點(diǎn).

可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在.

定義 1.13[25]設(shè)M是(,∨,→)型代數(shù),如果:

1)M上有偏序≤使(M,≤)成為有界分配格,且∨是關(guān)于序的上確界運(yùn)算;

3) 對(duì)于任意的x,y,z∈M,以下條件成立:

(M1)x→y=y→x;

(M2) 1→x=x,x→x=1;

(M3)y→z≤(x→y)→(x→z);

(M4)x→(y→z)=y→(x→z);

(M5)x→y∨z=(x→y)∨(x→z),x→y∧z=(x→y)∧(x→z);

(M6) (x→y)∨((x→y)→x∨y)=1;

這里1是(M,≤)中的最大元,則稱M為R0-代數(shù).

定義 1.14[26](模糊劃分) 設(shè)U=[a,b]?R,U上的一個(gè)模糊劃分指的是具有如下形式的對(duì)象:

其中

Ai={(x,uAi(x))|x∈U},i=1,2,…,n,函數(shù)

uAi:U→[0,1],i=1,2,…,n

定義了元素x∈U關(guān)于類Ai(代表某種質(zhì),即定性描述的類)的隸屬度,并且滿足下面的條件:

uAi(x0)=1;

uAi(x0)=1,那么uAi(x)在[a,x0]上不減,在[x0,b]上不增;

4) 對(duì)任意的x∈U,滿足

0

若把上述定義中的條件4)替換為:對(duì)任意的x∈U,滿足

基于模糊劃分,下面給出模糊集合的公理化定義.

定義 1.15[26](公理化模糊集合) 設(shè)

uA(x)=uAi(x)

對(duì)所有x∈U都成立,那么

2) 如果uA(x)=1對(duì)所有x∈U都成立,那么

3) 如果

且r∈R+,那么

4) 如果

那么

5) 如果

那么

B1∩?B2∩?…∩?Bn∩?…=

B1∪⊕B2∪⊕…∪⊕Bn∪⊕…=

N(a)=1-a=aN.

同時(shí)為了方便,把

A={(x,uA(x))|x∈U}

2 模糊空間的序結(jié)構(gòu)

要討論模糊代數(shù)方程的可解性以及對(duì)其解集進(jìn)行刻畫,必然離不開與之緊密相連的模糊空間.因此,下面對(duì)模糊空間的序結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究.

A(x)≤B(x),那么稱B包含A,或A被包含于B,并記為A?B或B?A;若任意

x∈U,A(x)=B(x),則稱A與B相等,記為A=B.

證明若任意

則對(duì)任意x∈U都有

A(x)≤A(x)⊕MB(x)=(A∪⊕MB)(x)

且

B(x)≤A(x)⊕MB(x)=(A∪⊕MB)(x),那么A?A∪⊕MB且B?A∪⊕MB.因此,A∪⊕MB是{A,B}的上界.

若T是{A,B}的任一上界,則可知A?T且B?T,那么對(duì)任意x∈U都有

A(x)≤T(x)

且

B(x)≤T(x),從而

(A∪⊕MB)(x)=A(x)⊕MB(x)≤T(x).

因此

A∪⊕MB?T,故A∪⊕MB是{A,B}關(guān)于序?的上確界.對(duì)偶地,易證A∩?MB是關(guān)于序?的下確界,并且

關(guān)于序?的最大元與最小元,故

是有界格.

命題 2.1[19]設(shè)

則

(A∪⊕MB)∩?MC=(A∩?MC)∪⊕M(B∩?MC),(A∩?MB)∪⊕MC=(A∪⊕MC)∩?M(B∪⊕MC).

證明由定義1.15的5)以及命題2.1可知該結(jié)論成立.

其哈斯圖如圖1所示,且

圖 1 例2.1運(yùn)算1次的哈斯圖

令

Fig. 2 Example 2.1 Haas diagram with two operations

注 2.1通過(guò)例2.1可知,當(dāng)模糊劃分中只有一個(gè)模糊集時(shí),經(jīng)過(guò)2次(r,R,N,∪⊕M,∩?M)運(yùn)算生成的公理化模糊集合的全體是具有19個(gè)元素的格.若不對(duì)運(yùn)算次數(shù)作限制,那么由一個(gè)模糊集生成的公理化模糊集合的全體是具有無(wú)限個(gè)元素的格.

定義 2.2定義映射

1)AN∪⊕MB?A→RB;

2)A?B→RC?B?A→RC;

6)A∩?MAN?B∪⊕MBN;

7)A→RC?(A→RB)∪⊕M(B→RC);

8)A∪⊕MB?((A→RB)→RB)∩?M((B→RA)→RA);

9) (A∪⊕MB)→RC=(A→RC)∩?M(B→RC),(A∩?MB)→RC=(A→RC)∪⊕M(B→RC);

10) 若B?C,則A→RB?A→RC,若A?C,則A→RC?B→RC;

11)A→RB?(A∩?MC)→R(B∩?MC),A→RB?(A∪⊕MC)→R(B∪⊕MC).

證明由推論2.1以及→R的定義易證結(jié)論成立.

3 模糊代數(shù)方程

{∪⊕,∩?,→,r,N}

中的一些運(yùn)算符號(hào)將公理化模糊集合連接而成的式子為模糊代數(shù)多項(xiàng)式.

僅含有一個(gè)未知變?cè)哪：鷶?shù)方程稱為一元模糊代數(shù)方程.

定義 3.3能使模糊代數(shù)方程左右兩邊相等的未知變?cè)娜≈捣Q為模糊代數(shù)方程的解.由模糊代數(shù)方程所有解所組成的集合稱為模糊代數(shù)方程的解集.

A∪⊕MXr0=B,

(1)

A∩?MXr0=B.

(2)

記

定理 3.11)S1≠?當(dāng)且僅當(dāng)A?B;

證明1) 充分性 若A?B,則對(duì)任意x∈U都有A(x)≤B(x),那么有

必要性 若S1≠?,則存在

使A∪⊕MXr0=B,即對(duì)任意x∈U有

(A∪⊕MXr0)(x)=A(x)⊕MXr0(x)=B(x),從而對(duì)任意x∈U有A(x)≤B(x),故A?B.

2) 當(dāng)S1≠?時(shí),若X,Y∈S1,則A∪⊕MXr0=B且A∪⊕MYr0=B,由

(A∪⊕M(X∪⊕MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)⊕MYr0(x))=

A(x)⊕MA(x)⊕MXr0(x)⊕MYr0(x)=

(A(x)⊕MXr0(x))⊕M(A(x)⊕MYr0(x))=

B(x)⊕MB(x)=B(x),可知X∪⊕MY∈S1.由

(A∪⊕M(X∩?MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)⊕MXr0(x))?M(A(x)⊕MYr0(x))=

B(x)?MB(x)=B(x),可知X∩?MY∈S1,從而S1構(gòu)成

的一個(gè)子格.

對(duì)任意

如果X?Z?Y,那么有

B=A∪⊕MXr0?A∪⊕MZr0?

A∪⊕MYr0=B,即

已知

求解A∪⊕MX2=B.

解由題可知

對(duì)任意x∈[0,2]有

B(x)=(A∪⊕MB)(x)=

因此,對(duì)任意x∈[0,2]有

A(x)≤B(x),即A?B,那么,由定理3.1知該方程有解并且

是該方程最大解.

顯然有

又因?yàn)?/p>

所以

由

(A∪⊕M(X∩?MY)r0)(x)=

A(x)⊕M(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)⊕MXr0(x))?M(A(x)⊕MYr0(x))=

推論 3.2在方程(1)中,若A=B,則

根據(jù)以上結(jié)論,對(duì)于方程(2),對(duì)偶地可以得到下面的定理,其證明類似.

定理 3.21)S2≠?當(dāng)且僅當(dāng)A?B;

推論 3.4在方程(2)中,若A=B,則

A→Xr0=B,

(3)

Xr0→A=B,

(4)

A→(B→Xr0)=C,

(5)

(A→Xr0)→B=C.

(6)

記

定理 3.31)S3≠?當(dāng)且僅當(dāng)B∪⊕MAN=B;

證明1) 必要性 若S3≠?,則存在

使A→RXr0=B,即對(duì)任意x∈U有

B(x)=(A→RXr0)(x)=A(x)→RXr0(x)≥

AN(x)⊕MXr0(x)≥AN(x),那么AN?B,從而B∪⊕MAN=B.

充分性 若B∪⊕MAN=B,則

因?yàn)閷?duì)任意x∈U有

(B→R(A→R(A→RBN)N))(x)=

B(x)→R(A(x)→R(A(x)→RBN(x))N)=

B(x)→R((A(x)→RBN(x))→RAN(x))=

B(x)→R((B(x)→RAN(x))→RAN(x))=

所以B?A→R(A→RBN)N.

要證明A→R(A→RBN)N?B,即證明

(B→RAN)→RAN?B.

對(duì)任意x∈U有

((B→RAN)→RAN)(x)=

(B(x)→RAN(x))→RAN(x)≤

(BN(x)⊕MAN(x))→RAN(x)=

(BN(x)⊕MAN(x))N⊕MAN(x)=

(B(x)?MA(x))⊕MAN(x)=

(B(x)⊕MAN(x))?M(A(x)⊕MAN(x))=

B(x)?M(A(x)⊕MAN(x))≤B(x),那么

A→R(A→RBN)N?B,從而

A→R(A→RBN)N=B.

2) 若X,Y∈S3,則有A→RXr0=B且A→RYr0=B.因?yàn)閷?duì)任意x∈U有

(A→R(X∩?MY)r0)(x)=

(A(x)→R(X∩?MY)r0(x))=

A(x)→R(Xr0(x)?MYr0(x))=

(A(x)→RXr0(x))?M(A(x)→RYr0(x))=

B(x)?MB(x)=B(x),所以X∩?MY∈S3.又因?yàn)?/p>

(A→R(X∪⊕MY)r0)(x)=

A(x)→R(X∪⊕MY)r0(x)=

A(x)→R(Xr0(x)⊕MYr0(x))=

(A(x)→RXr0(x))⊕M(A(x)→RYr0(x))=

B(x)⊕MB(x)=B(x),所以X∪⊕MY∈S3,從而S3構(gòu)成

的一個(gè)子格.

另一方面,因?yàn)閷?duì)任意x∈U有

(A→RXr0)(x)=B(x),那么

B(x)→R(A(x)→RXr0(x))=

B(x)→R((Xr0(x))N→RAN(x))=

(Xr0(x))N→R(B(x)→RAN(x))=

(B(x)→RAN(x))N→RXr0(x)=

(A(x)→RBN(x))N→RXr0(x)=

((A→RBN)N→RXr0)(x).

因此,(A→RBN)N?Xr0,即對(duì)任意x∈U有

3) 對(duì)任意X∈S3,任意x∈U有

B(x)=(A→RXr0)(x)=A(x)→RXr0(x)≥

(B∪⊕MA)(x)→RB(x)=

(B(x)⊕MA(x))→RB(x)=

(B(x)→RB(x))?M(A(x)→RB(x))=

A→RX2=B.

解由題可知

則對(duì)任意x∈[0,2]有

B(x)≠(B∪⊕MAN)(x)=

由定理3.3可知該方程無(wú)解.

A=A1∪⊕MA2∪⊕MA3,B=A2,求解A→RX2=B.

解由題可知

則對(duì)任意x∈[0,2]有

B(x)=(B∪⊕MAN)(x)=

因?yàn)?/p>

是該方程的最小解.

類似地,對(duì)于方程(4)～(6)可以得到下面的定理及推論,其證明相似.

定理 3.41)S4≠?當(dāng)且僅當(dāng)B∪⊕MA=B;

定理 3.51)S5≠?當(dāng)且僅當(dāng)

C∪⊕M(A→RBN)=C;

定理 3.61)S6≠?當(dāng)且僅當(dāng)(C→RB)∪⊕MA=C→RB且B?C;

3) 對(duì)任意X∈S6均有

前面討論了第1類關(guān)于∪⊕M和∩?M以及第2類關(guān)于蘊(yùn)涵算子的模糊代數(shù)方程,下面討論由第1類和第2類組合而成的模糊代數(shù)方程.

A→(B∪⊕MXr0)=C,

(7)

A→(B∩?MXr0)=C,

(8)

(A∪⊕MXr0)→B=C,

(9)

(A∩?MXr0)→B=C.

(10)

記

定理 3.71) 若S7≠?,則C∪⊕MAN=C且B?C.當(dāng)C∪⊕MAN=C且B?C時(shí),如果

其中

證明1) 若S7≠?,則存在

使A→R(B∪⊕MXr0)=C,也就是存在

使

B∪⊕MXr0=Y

且A→RY=C.由定理3.1和定理3.3容易得到

C∪⊕MAN=C

且B?C.當(dāng)C∪⊕MAN=C且B?C時(shí),如果

C(x)=(A→R(B∪⊕MXr0))(x)=

A(x)→R(B∪⊕MXr0)(x)=

A(x)→R(B(x)⊕MXr0(x))≥

2) 由于A→R(B∪⊕MXr0)=C等價(jià)于

(A→RB)∪⊕M(A→RXr0)=C.

B∪⊕MXr0=M

且A→RM=C,那么有

且

令

可知

因此

另一方面,有

是顯然成立的,故

根據(jù)以上定理可類推方程,容易得到以下定理成立.

定理 3.81)S8≠?當(dāng)且僅當(dāng)C∪⊕MAN=C且B?(A→RCN)N;

其中

定理 3.91)S9≠?當(dāng)且僅當(dāng)B∪⊕MC=C且A?C→RB;

其中

定理 3.101) 若S10≠?,則B∪⊕MC=C且CN?A.當(dāng)B∪⊕MC=C且CN?A時(shí),如果有

2) 當(dāng)S10≠?時(shí),S10構(gòu)成

的一個(gè)凸子格,并且

其中

4 結(jié)束語(yǔ)