江蘇省溧陽中學(xué) (213300) 徐 蘭 黃俊赟

遞推是數(shù)列的靈魂,是序列計算的一種常用算法,是按照一定的規(guī)律來計算序列中的每一項.其思想是把一個復(fù)雜的龐大的運(yùn)算過程轉(zhuǎn)化為簡單過程的多次重復(fù).已知一個數(shù)列{an}第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系用一個公式來表示就是這個數(shù)列的遞推公式.這是數(shù)列的一種表示方法.遞推是數(shù)列的本質(zhì)屬性,也是它與其他函數(shù)的最大區(qū)別,本文從遞推的視角來縱觀數(shù)列全章.

1.遞推的初步理解——等差、等比數(shù)列的通項、求和公式推導(dǎo)

2.遞推的深度應(yīng)用——累加法、累乘法的另辟蹊徑

3.遞推的深刻理解——一般數(shù)列求和方法的豁然

4.遞推的綜合應(yīng)用——高考命題的熱點(diǎn)

建立數(shù)列的遞推關(guān)系是數(shù)列的應(yīng)用和其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合的重要方法,也成為數(shù)列試題重要的命題方向.2023年全國新高考Ⅰ卷第21題,通過全概率公式構(gòu)建了數(shù)列的遞推關(guān)系,是數(shù)列與概率的綜合.23年的上海數(shù)學(xué)高考題考察了數(shù)列與函數(shù)的綜合,也是運(yùn)用迭代思想解決問題.

題目:甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

解:(1)設(shè)“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,則P(B2)=P(A1·B2)+P(B1·B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)·P(B2)|B1)=0.5·0.4+0.5·0.8=0.6.

數(shù)列的綜合應(yīng)用問題中,搞清事物發(fā)展的前因后果及其相互聯(lián)系,搞清事物的形成過程和形成方法,是尋找解題思路,突破難點(diǎn)的必經(jīng)之路,用遞推的方法來表達(dá)事物間的聯(lián)系能夠讓我們對所解決的問題以數(shù)學(xué)的方式呈現(xiàn)出來,其實(shí)就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。建立遞推關(guān)系,是解決這類綜合問題的核心環(huán)節(jié).只有真正理解遞推,才有能力在實(shí)際情境中用數(shù)學(xué)的眼光來觀察問題,用數(shù)學(xué)的知識來表達(dá)問題.

遞推蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、迭代、程序化與機(jī)械化等思想.在數(shù)列的教學(xué)過程中,教師要抓本質(zhì),重點(diǎn)體現(xiàn)“邏輯思維能力”,滲透思想方法,在關(guān)鍵處多著力,靶向新高考的熱門題型與教學(xué)中的難點(diǎn)問題,提升學(xué)生的關(guān)鍵能力.