貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (550025) 文 帥 梁明端 袁興菊

1.試題呈現(xiàn)

分析:這是2023年第十八屆中國(guó)北方奧林匹克競(jìng)賽試題的一道不等式證明題,其中已知條件是以循環(huán)和的形式呈現(xiàn),求證的不等式為根式的最值問(wèn)題,形式上具有數(shù)學(xué)的美感.本文對(duì)該題進(jìn)行解法探究,并對(duì)其進(jìn)行變式和推廣,與大家一起分享.

2.解法探究

評(píng)注:此證法借助了柯西不等式.

評(píng)注:此證法借助了基本不等式的推廣與柯西不等式.

評(píng)注:此證法利用函數(shù)的凹凸性與琴生不等式,將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.

評(píng)注:此證法利用切線的性質(zhì),將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.

評(píng)注:此證法是從不等式本身進(jìn)行分析,借助于均值不等式使問(wèn)題得以證明.

3.試題變式

變式1與變式2在試題的基礎(chǔ)上改變不等式結(jié)構(gòu)以及題設(shè)條件而得到的,證明方法與證法1類似,此處不再敘述.

4.試題推廣

分析:上述推廣是在試題的基礎(chǔ)上改變不等式結(jié)構(gòu)以及題設(shè)條件而得到的,下面列舉推廣3和推廣4的證明過(guò)程,其它推廣的證明過(guò)程不再敘述.

推廣,對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)研究有著十分重要的意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,推廣可以加強(qiáng)觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)的能力,拓展不同的解題思路,提升創(chuàng)造性的思維.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,推廣可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與求知欲,引領(lǐng)新的發(fā)現(xiàn)[1]. 在數(shù)學(xué)研究中,推廣可以產(chǎn)生新問(wèn)題與新方法,加深自身對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解[1].