廣東省云浮市黃崗實(shí)驗(yàn)中學(xué) (527400) 陳漢邦

一、問題呈現(xiàn)與解法探究

本題是二元約束條件下的二元函數(shù)最值問題,試題簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、優(yōu)美,有一定的難度,本文給出多種視角下的解法.

視角1 拆項(xiàng)+均值不等式

視角2 升冪+比值換元+均值不等式

視角3 函數(shù)視角

視角4 用求根公式減元

視角5 雙換元+均值不等式

二、變式拓展

三、試題背景

本題背景是拉格朗日乘數(shù)法求極值問題,拉格朗日乘數(shù)法時(shí)高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)條件極值的重要方法,方法程序性強(qiáng),容易掌握,其優(yōu)點(diǎn),一是把目標(biāo)函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中;二是把條件最值問題轉(zhuǎn)化為無條件最值問題.對(duì)文首?？荚囶},應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法解答如下.

四、追本溯源

本題是一道對(duì)思維有較高要求的好題,試題與教材有著緊密的聯(lián)系,體現(xiàn)了高考命題源于教材、高于教材的理念.本題來源于人教2019版(數(shù)學(xué))選修1第58頁(yè)綜合運(yùn)用第5題:若a>0,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范圍.這題課本習(xí)題就是采用化二元為一元的策略去處理,與本題相通.因此,教師在教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)課本習(xí)題的深度挖掘,挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景、剖析背后的數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟試題設(shè)計(jì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等.