江西省南昌十中經(jīng)開(kāi)校區(qū) (330013) 黃婧文

本文將通過(guò)三角形的面積公式導(dǎo)出正余弦定理和三角恒等式,過(guò)程中并不需要其他新知識(shí)作為鋪墊,不但能夠?qū)⒊踔衅矫嫒切魏透咧腥侵R(shí)有效的銜接,也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的進(jìn)入學(xué)生視野,以便后期學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)能夠有更深入的認(rèn)識(shí).

1.正弦定理

2.余弦定理

若給定ΔABC,∠A、∠B、∠C對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則c2=a2+b2-2abcosC.

圖1

3.三角恒等式

設(shè)α、β是兩個(gè)角,則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面僅證此公式,因?yàn)楦鶕?jù)此公式和誘導(dǎo)公式可以推導(dǎo)出其他和角公式、差角公式.

圖2

圖3

在誘導(dǎo)公式、正余弦和角、差角公式的基礎(chǔ)上,其他諸如積化和差、和差化積、半角公式、萬(wàn)能公式等三角恒等式均可通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算和換角得到,亦可如上考慮其直觀的面積證法.通過(guò)直觀的三角形面積法來(lái)證明正余弦定理和三角恒等式,學(xué)生不僅能夠更快的接觸并熟悉和記憶這些公式,而且能夠融匯貫通初高中的三角相關(guān)知識(shí).