廣東省佛山市順德區(qū)樂從中學(xué) (528315) 王志國

文[1]中,作者給出了第2604號(hào)問題的解答.該問題形式優(yōu)美,引起筆者的興趣,也對(duì)此進(jìn)行探究,并發(fā)現(xiàn)文[1]對(duì)于問題(2)的解答有誤,并得到問題的一個(gè)結(jié)論及猜想,故此成文,與大家分享.

一、第2604號(hào)問題及原解答的呈現(xiàn)

為了說明原解答的錯(cuò)誤,先將文[1]中的第2604號(hào)問題及其問題(2)的解答過程摘錄如下:

題目已知a,b,c>0,且abc=1.

二、對(duì)解答的質(zhì)疑

也可舉反例驗(yàn)證:

綜上可知,問題(2)的解答有誤!

三、一個(gè)結(jié)論及證明

筆者對(duì)問題2604的問題(2)進(jìn)行探究,得到一個(gè)結(jié)論:

若g(t)=g(a)min,則t是方程g′(a)=0的根,即是方程4a3+3a2-3a-1=0的根.

于是g(a)min是方程16y3+567y2-3402y-18225=0的根,由三次方程的知識(shí)(或借助數(shù)學(xué)軟件),可知此方程只有一個(gè)正實(shí)根y≈8.1086.從而可得y=g(t)=g(a)min≈8.1086,所以λ的最大值約為8.1086.

四、一個(gè)猜想

該猜想在數(shù)學(xué)軟件中驗(yàn)證是正確的,但還沒有成熟的證明,期待大家的進(jìn)一步討論與解決.

最后給出幾道類似的題目供大家作為練習(xí)之用: