吳啟虎

［摘? 要］ 在新課改的推動下，數(shù)學(xué)建模得到了廣泛的重視. 在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)有價值的問題啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去歸納，通過經(jīng)歷知識抽象和簡化的過程讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)建模價值，落實數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 問題；過程；建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型其實質(zhì)是為了達(dá)到某種目的而對部分現(xiàn)實問題做出的一個簡單化、抽象化的處理，并形成可操作化的符號模型. 在此過程中，通過對實際問題的不斷抽象與簡化確定變量和參數(shù)，通過感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，建立起能夠解決實際問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式的模型. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)模型抽象和簡化的過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的建模思維，落實數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 那么，在日常教學(xué)中，如何提升和落實學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)呢？筆者結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)剮c個人的粗淺認(rèn)識，以供參考.

探尋本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)建模

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該從教學(xué)實際出發(fā)，精心設(shè)計突出知識本質(zhì)的問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平. 不過在實際教學(xué)中，部分教師為了“趕進(jìn)度”，很少帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)的過程，大多直接將現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生直接套用現(xiàn)有模型解決問題. 這樣學(xué)生雖然能夠通過“硬記”和“強(qiáng)化”熟記和運(yùn)用模型，但由于自主發(fā)現(xiàn)、探索、總結(jié)歸納等過程的缺失，不利于學(xué)生分析和解決問題能力的提升，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng). 基于此，教學(xué)中教師應(yīng)以學(xué)生為出發(fā)點，以問題為導(dǎo)向，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，使學(xué)生通過親身經(jīng)歷更好地獲得數(shù)學(xué)感悟，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).

案例1? “握手”問題的探索與應(yīng)用

思考1：G5次列車從北京南始發(fā)，途經(jīng)濟(jì)南西、南京南、蘇州北，終點站為上海虹橋. 為了滿足不同旅客的購票需求，沿途各站需要準(zhǔn)備多少種不同的單程票？

思考2：班級共有49人，彼此握手，共需要握手多少次？

思考3：某校七年級10個班舉行籃球比賽，第一輪采用單循環(huán)賽制，那么第一輪共需進(jìn)行多少場比賽？

設(shè)計意圖? 從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過解決實際問題提煉解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)建模思想，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識.

思考4：小明在紙上點了n個點，任意連接兩點畫線段，則小明最多可以畫多少條線段？

思考5：數(shù)一數(shù)，圖1中共有幾個三角形？

設(shè)計意圖? 從已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，通過對圖形問題的解決進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)模型，逐步形成對“握手”問題本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)建模是對生活實際問題的一種抽象和簡化，在培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的過程中，教師應(yīng)從生活實際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象和簡化實際問題的過程，以此提高學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的積極性. 同時，在此過程中，教師要充分發(fā)揮其引導(dǎo)者的作用，通過多角度、多層次的探索，讓學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型抽象的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

整體建構(gòu)，落實數(shù)學(xué)建模

周知，數(shù)學(xué)知識之間是相互關(guān)聯(lián)的. 在建構(gòu)模型的過程中，教師要有意識地將相關(guān)知識串聯(lián)起來，通過對比分析幫助學(xué)生深化知識理解、鍛煉解題技能，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，落實數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

案例2? ?“共頂點的特殊三角形”教學(xué)設(shè)計

問題1：如圖2，△ABC和△CDE為等邊三角形，且B，C，D三點共線，連接AD，BE，兩線交于點H. AD和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？圖2中有幾對全等三角形？∠AHB的度數(shù)是否可求？

問題2：如圖3，△ABC和△CDE為等邊三角形，且B，C，D三點不共線. 連接AD，BE，兩線交于點H. 問AD與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？此時∠AHB是多少度？

問題3：分析問題1和問題2不難發(fā)現(xiàn)，問題2就是問題1中的△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)了一定的角度，此時AD=BE，∠AHB=60°. 如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題4：如圖4，△ABC和△CDE為等邊三角形，連接AD，BE，AD與BE是否相等？若延長DA和EB使之交于一點H，此時∠AHB是否仍為60°呢？

問題5：結(jié)合以上問題，你能得到什么結(jié)論？

問題6：如圖5，若△ABC和△CDE為等腰直角三角形，以上結(jié)論還成立么？如果是其他特殊三角形又會如何呢？

從以上教學(xué)安排來看，教師首先從等邊三角形出發(fā)，通過尋找三角形全等的模型得到相關(guān)結(jié)論，為后面的一般性探究打下堅實的基礎(chǔ). 在以上教學(xué)過程中，教師合理應(yīng)用變式，讓學(xué)生在變化的過程中逐漸抽象出不變的本質(zhì)，由此得到相關(guān)結(jié)論，建構(gòu)起相關(guān)的數(shù)學(xué)模型. 教師通過整體連貫的問題帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的探究過程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情. 另外，整個教學(xué)過程關(guān)注學(xué)生發(fā)展，重視學(xué)生發(fā)散思維能力的鍛煉. 學(xué)生通過親身經(jīng)歷結(jié)論抽象的過程有效地培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

逐層遞進(jìn)，掌握數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是一個長期且復(fù)雜的過程，教學(xué)中要盡量少一些照抄照搬，切實從學(xué)生學(xué)情出發(fā)，通過典型例題的開發(fā)與利用幫助學(xué)生積累建模經(jīng)驗. 在日常教學(xué)中，教師首先應(yīng)該從典型特例出發(fā)，通過對典型特例的剖析讓學(xué)生總結(jié)歸納解題經(jīng)驗，形成解題策略，從而為類似問題的解決提供方法保障；其次，要通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境讓學(xué)生關(guān)注模型和基本圖形發(fā)現(xiàn)、積累和運(yùn)用的過程，重視培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，讓學(xué)生通過模型的運(yùn)用感悟數(shù)學(xué)建模的價值，提高學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的積極性；最后，要相信學(xué)生、尊重學(xué)生，充分考慮學(xué)生的思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)能力，從全員的角度出發(fā)，通過由淺入深、層層遞進(jìn)的問題啟發(fā)學(xué)生思考，激勵學(xué)生探究，從而讓學(xué)生的思維得到發(fā)展，能力得到提升，促進(jìn)全體、全面發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)的落實.

案例3? “直角三角形中的折疊問題”教學(xué)設(shè)計

問題1：如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6. 把Rt△ABC沿AD翻折，使得AC與AB邊上的點E重合，求AD的長.

問題2：如圖7，把Rt△ABC沿BD翻折，使得BC與BA邊上的點E重合，求BD的長.

歸納總結(jié)：以上兩個問題都是將三角形的直角邊向斜邊折疊，折疊后形成多個直角三角形，合理應(yīng)用對應(yīng)邊相等的條件及勾股定理，可求出任一線段的長度.

問題3：如圖8，把Rt△ABC沿CD翻折，使AC與BC邊上的點E重合，如何求CD的長？

歸納總結(jié)：該題折法與前兩題不同，是將三角形的一條直角邊向另一條直角邊折疊. 折疊后，直角被平分為兩個45°角，過點D向兩條直角邊作垂線可以構(gòu)建一個正方形模型，然后利用勾股定理即可解決問題.

問題4：如圖9，把Rt△ABC沿某直線翻折，使點A與點B重合，如何求折痕DE的長？

問題5：若再換兩個定點，使點A與點C或點B與點C重合，又該如何求折痕的長？

問題6：把Rt△ABC沿某條直線翻折，使頂點A與BC邊的中點F重合，或者使頂點C與AB邊的中點F重合，又或者使頂點B與AC邊的中點F重合，此時又該如何求折痕的長？

結(jié)合前面的探究經(jīng)驗，教師鼓勵學(xué)生通過小組合作的方式探尋折疊不經(jīng)過某一頂點時該如何求解，并通過對比分析進(jìn)行總結(jié)歸納，逐漸建構(gòu)解決相應(yīng)問題的模型，由此深化對數(shù)學(xué)建模的理解. 在以上探究活動中，教師從特殊的、簡單的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)歷一般化的過程提煉解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識.

其實，在日常教學(xué)中，教師要善于引入一些專項練習(xí)，讓學(xué)生通過對比分析探尋解決一類題的方法. 同時通過有效的對比啟發(fā)學(xué)生提出有價值的問題，讓學(xué)生在問題的探索和解決過程中主動探尋其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而通過對規(guī)律的總結(jié)、歸納及運(yùn)用來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之，建立數(shù)學(xué)模型為問題的解決帶來了極大的便利，它是提高學(xué)生解題效率的法寶. 在實際教學(xué)中，教師要預(yù)留機(jī)會讓學(xué)生經(jīng)歷思考、探索、操作、歸納等過程，使學(xué)生通過親身經(jīng)歷熟練掌握數(shù)學(xué)模型，從而為數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升打下堅實的基礎(chǔ).