謝逢潔　姚欣　王思一

摘要： 為研究高階結(jié)構(gòu)對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上合作行為演化的影響，構(gòu)建基于囚徒困境博弈的網(wǎng)絡(luò)博弈模型。在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上引入二階高階結(jié)構(gòu)，定義含成對博弈的三角形面博弈，用高階結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系成對博弈收益與面博弈收益，并通過仿真實驗分析高階結(jié)構(gòu)對合作行為演化的影響。結(jié)果表明，當(dāng)高連接度個體優(yōu)先合作并獲得高收益時，會促使其他連接度個體也選擇合作，博弈個體間一旦形成穩(wěn)定的“全合作”三角形策略結(jié)構(gòu)，就能顯著提高每個合作者收益，進而促進合作行為的產(chǎn)生。

關(guān)鍵詞： 二階高階結(jié)構(gòu)；無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；合作行為；演化博弈

中圖分類號： O157.5;N94文獻標(biāo)識碼： A

The Effect of Higher-order Structure on the Evolution of Cooperative Behavior on Scale-free Networks

XIE Fengjie， YAO Xin， WANG Siyi

（School of Modern Posts， Xian University of Posts and Telecommunications， Xian 710061， China）

Abstract：In order to study the influence of higher-order structures on the evolution of cooperative behavior on scale-free networks， a network game model based on the Prisoner′s Dilemma game is constructed. A second-order higher-order structure is introduced on the scale-free network， a triangular face game containing pairwise games is defined， and the higher-order structure parameters are used to link the pairwise game payoffs with the face game payoffs， and the influence of the higher-order structure on the evolution of cooperative behavior is analyzed through simulation experiments. The results show that when individuals with high connectivity prioritize cooperation and obtain high payoffs， other individuals with high connectivity will be prompted to choose cooperation， and once a stable "all-cooperative" triangular strategy structure is formed among individuals， the payoffs of each cooperator can be significantly increased， which in turn promotes the emergence of cooperative behaviors.

Keywords： second-order higher-order structure; scale-free networks; cooperative behavior; evolutionary game

0 引言

理解自利個體如何在現(xiàn)實社會中形成廣泛的合作是演化博弈論研究的一個核心問題。學(xué)者們主要從不同的理論視角出發(fā)解釋合作行為的產(chǎn)生，包括親緣選擇、直接互惠、間接互惠、團隊選擇和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［1］。在不同的理論視角中，囚徒困境博弈是最常見的描述個體間博弈行為的模型［2］，被學(xué)者們廣泛采用，產(chǎn)生了豐碩的研究成果。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對群體合作行為影響的研究始于1992年發(fā)表于《Nature》的論文“Evolutionary games and spatial chaos”。在這篇論文中，Nowak和May［3］研究了囚徒困境博弈在方格網(wǎng)上的演化，發(fā)現(xiàn)合作者在方格網(wǎng)上可以通過結(jié)成緊湊的聚集，抵御背叛策略的入侵，從而維持穩(wěn)定的合作。隨后，許多學(xué)者進一步研究了各種規(guī)則格子對合作行為產(chǎn)生的影響，發(fā)現(xiàn)規(guī)則格子對合作行為的作用效果與格子的排列細節(jié)［45］，個體行為的多樣性［68］，差異化的博弈配對［9］，以及博弈群體的人口密度有著緊密關(guān)系［10］。在規(guī)則格子中，一個個體以某種規(guī)則的排列與其他個體進行交互作用，且每個博弈個體有著相同數(shù)量的連接關(guān)系。然而，在現(xiàn)實社會中，個體之間的交互作用數(shù)量很顯然不是完全相同的，規(guī)則格子無法很好地刻畫現(xiàn)實社會中個體之間差異化的交互作用。

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的興起，描述個體差異化連接關(guān)系的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［11］受到研究者們的廣泛關(guān)注。相應(yīng)地，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對合作行為的影響成為研究熱點［1217］。研究發(fā)現(xiàn)，相比規(guī)則格子上的同質(zhì)性交互作用，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的異質(zhì)性交互作用使得群體的合作水平大幅度提高。此后，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的集聚性［13，1819］、社區(qū)結(jié)構(gòu)［2021］、匹配性［2223］等對合作行為的影響探索也取得了極為豐碩的研究成果。在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對合作行為的影響研究中，雖然學(xué)者們采取的網(wǎng)絡(luò)形式多種多樣，但都有一個共同的前提假設(shè)，即個體的博弈行為基于個體之間的成對連接關(guān)系。具體來說，如果一個個體在網(wǎng)絡(luò)中有n個連接關(guān)系（即n個鄰居），則與每個鄰居進行博弈，其收益是與每個鄰居進行博弈所得收益的加和。個體之間的成對連接關(guān)系是構(gòu)成各種網(wǎng)絡(luò)形式的基礎(chǔ)，但多變的網(wǎng)絡(luò)形式卻不是簡單的成對連接關(guān)系所能描述的，而是涉及到更復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)［2425］。在現(xiàn)實情況中，個體不僅與每個鄰居進行博弈，鄰居間的交互關(guān)系也會對博弈結(jié)果產(chǎn)生影響。一個博弈個體面對n個相互獨立的鄰居和面對n個具有一定關(guān)系的鄰居，其博弈收益和策略選擇是不同的。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為的最新研究中，Iacopini等［26］通過一個高階傳染病模型來描述不同規(guī)模的群體間的互動，發(fā)現(xiàn)流行病的傳播閾值和流行程度與只考慮個體成對關(guān)系時不同。Wang等［27］發(fā)現(xiàn)在社會交流過程中不僅涉及單個節(jié)點的互動，還涉及它們所屬派系之間的互動；基于此，他們使用高階結(jié)構(gòu)（單純復(fù)形）來描述這種現(xiàn)象，然后采用離散微觀馬爾可夫鏈的方法對基于單純形的社會交流過程進行建模，從而得到了信息爆發(fā)的潛在臨界條件。在研究由發(fā)送者和接收者構(gòu)成的信號傳遞的動態(tài)演化過程中，Kumar［28］發(fā)現(xiàn)當(dāng)用高階結(jié)構(gòu)刻畫信息接收者之間的群體互動時，即使謊言對接收者有利，對發(fā)送者不利，誠實策略也依然可以維持，這與僅考慮成對交互作用時的場景是不相同的。這說明高階結(jié)構(gòu)不僅能夠刻畫包括成對關(guān)系在內(nèi)的更為復(fù)雜的局部結(jié)構(gòu)關(guān)系［2933］，還對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為產(chǎn)生了顯著的影響。

基于以上思考，本文借鑒高階結(jié)構(gòu)的理論與方法，以群體合作行為演化為研究對象，將二階高階結(jié)構(gòu)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，構(gòu)建一種同時考慮成對交互作用和三角形面交互的演化博弈模型，并通過仿真實驗探究二階高階結(jié)構(gòu)對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上合作行為產(chǎn)生的影響，研究結(jié)果彌補了群體之間僅考慮成對博弈關(guān)系時的不足，同時也揭示了現(xiàn)實社會中自利個體形成廣泛合作的一個新的關(guān)鍵因素。

1 模型構(gòu)建

1.1 高階結(jié)構(gòu)的定義

高階結(jié)構(gòu)的定義基于單純形模型和單純形復(fù)合體［26］。單純形模型將網(wǎng)絡(luò)中個體間的關(guān)系刻畫為一個單純形。一個k維單純形σ是k+1個節(jié)點的集合，σ=p0，…，pk。以3個節(jié)點為例，其所構(gòu)成的三角形就是一個2維單純形，或稱為“完全”三角形p0，p1，p2，由邊p0，p1，p0，p2和p1，p2組成。根據(jù)單純形的基本定義，0維單純形如同網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，1維單純形如同網(wǎng)絡(luò)中的邊，2維單純形對應(yīng)三角形面，3維單純形是四面體，如圖1a所示。不同維度的單純形構(gòu)成單純形復(fù)合體，如圖1b所示。在單純形復(fù)合體K中，如果σ∈K，那么σ的子集同樣是單純復(fù)合體K的子集。這意味著n維單純形復(fù)合體包含著更低維度的單純形結(jié)構(gòu)。比如，3維單純形復(fù)合體不僅包含3維單純形，還包含2維和1維單純形。

網(wǎng)絡(luò)的高階結(jié)構(gòu)與單純形復(fù)合體相對應(yīng)，n階高階結(jié)構(gòu)與n維單純形復(fù)合體相對應(yīng)。二階高階結(jié)構(gòu)則指網(wǎng)絡(luò)中2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。三階高階結(jié)構(gòu)指網(wǎng)絡(luò)中3維單純形（四面體）、2維單純形（三角形面）和1維單純形（邊）的總和。

1.2 基于高階結(jié)構(gòu)的囚徒困境演化博弈模型

1.2.1 基于二階高階結(jié)構(gòu)的個體博弈交互作用

個體之間的博弈交互作用在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上展開。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)采用Barabási和Albert的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成，其方法見文獻［11］，個體位于所生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點上。在以往的研究中，個體的博弈行為基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上個體間的成對連接關(guān)系展開。本文首次考慮高階結(jié)構(gòu)下的群體博弈交互作用，提出個體基于“二階高階結(jié)構(gòu)”的演化博弈模型，即個體不僅基于成對連接關(guān)系進行博弈，還基于三角形面關(guān)系進行博弈。

1.2.2 個體的博弈收益

個體采用囚徒困境模型進行博弈。在囚徒困境博弈中，雙方共同合作則各自獲得收益R；雙方共同背叛則各自獲得收益P；如果一方選擇合作策略，另一方選擇背叛策略，則合作者獲得收益S，背叛者獲得收益T，其大小順序為T>R>P>S。本文沿用現(xiàn)有研究中普遍采用的單參數(shù)博弈矩陣，即令T=b>1，R=1，S=-0.01，P=0，其中b代表背叛者的誘惑參數(shù)［15］。博弈的收益矩陣Α為

個體的博弈基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的二階高階結(jié)構(gòu)展開，即個體之間基于成對交互作用和三角形面交互作用進行博弈。圖2給出基于二階高階結(jié)構(gòu)進行博弈時，個體在網(wǎng)絡(luò)中與其鄰居之間可能形成的博弈交互作用情境。圖2中不同顏色的圓點表示不同策略的博弈個體，實線連接表示相同策略個體之間的成對博弈，虛線連接表示不同策略個體之間的成對博弈，黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。

在圖2a～2e中，個體與其鄰居間不存在三角形面的關(guān)系。這時，個體基于成對連接關(guān)系與鄰居展開博弈。在圖2f～2h中，個體與其兩個鄰居形成了三角形面。這時，如果個體的兩個鄰居的策略不同，即鄰居未形成統(tǒng)一的策略，則個體僅基于成對連接關(guān)系與每個鄰居進行博弈，如圖2f所示；反之，如果個體的兩個鄰居的策略相同，即鄰居形成了統(tǒng)一策略，則個體不僅要基于成對連接關(guān)系與每個鄰居進行博弈，還需基于三角形面與兩個鄰居進行博弈，如圖2g～2h所示，2.1小節(jié)將會討論三角形面博弈對個體策略結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。

根據(jù)以上博弈交互作用的描述，設(shè)si為個體i在一次博弈中采取的策略向量，令策略向量si=1，0表示個體采取合作策略C，策略向量si=0，1表示個體采取背叛策略D。則個體i在第t次博弈時的總博弈收益可表示為

其中，Ωi為第t次博弈時刻與個體i有連接關(guān)系的鄰居集合；sTi是與個體i進行博弈的個體j在t時刻的策略向量的轉(zhuǎn)置；A為式（1）中所描述的博弈矩陣。ΩGi為Ωi集合中與個體i形成圖2g和2h博弈情境的鄰居集合?！苆∈ΩisiAsTj表示成對連接關(guān)系博弈所獲收益，G∑g∈ΩGisiAsTg表示三角形面博弈所獲收益。參數(shù)G刻畫了二階高階結(jié)構(gòu)對個體博弈收益的影響程度，稱為高階結(jié)構(gòu)參數(shù)，其值越大，說明高階結(jié)構(gòu)的作用越強。當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時，公式（2）回到了未引入三角形面博弈的情形，即僅存在成對交互作用，不考慮高階結(jié)構(gòu)的作用，通過參數(shù)G的改變，把成對交互作用和三角形面交互統(tǒng)一起來。

1.2.3 個體的博弈策略更新規(guī)則

策略的動態(tài)演化采用現(xiàn)有研究中廣泛使用的復(fù)制動力學(xué)機制。所有博弈個體在一次博弈后同時更新策略，策略的更新以博弈收益為基礎(chǔ)。當(dāng)個體i進行策略更新時，個體i隨機從其鄰居中選擇一個個體j作為比較對象，將兩者博弈后的總收益Ui和Uj進行比較。如果Ui>Uj，則以一定概率p選擇個體j的當(dāng)前策略作為個體i的下一步策略。概率p的計算方式為［13，15，18］：

2 理論分析

2.1 二階高階結(jié)構(gòu)對群體策略行為選擇的影響

為了深入分析1.2.2節(jié)中個體基于三角形面博弈的交互情境，圖3給出網(wǎng)絡(luò)中個體間形成三角形面交互作用博弈的微觀機制，其中黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。由圖3可見，基于二階高階結(jié)構(gòu)形成的三角形面交互作用博弈情境總共有4種，即三角形面博弈情境D，D，D、C，D，D、C，C，C以及D，C，C。

對于博弈情境D，D，D，每個D策略個體都能與其他兩個D策略個體之間形成三角形面博弈，但由于策略結(jié)構(gòu)D，D的收益為0，則任何一個個體獲得的三角形面博弈收益都為0。對于博弈情境C，D，D，雖然C策略個體與其他兩個D策略個體之間形成三角形面博弈，但C，D策略結(jié)構(gòu)中C策略個體的收益為0，則其獲得的三角形面博弈收益為0。對于博弈情境C，C，C，每個C策略個體都能與其他兩個C策略個體之間形成三角形面博弈并獲得2GR的面博弈收益。對于博弈情境D，C，C，D策略個體與其他兩個C策略個體之間形成三角形面博弈并獲得2Gb的面博弈收益。

當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G增大時，高階結(jié)構(gòu)更大程度地提高博弈情境C，C，C中C策略個體的收益和博弈情境D，C，C中D策略個體的收益。但這兩個博弈情境的不同之處在于，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G越大，博弈情境C，C，C中每個C策略個體的收益都得到顯著提高，而博弈情境D，C，C中只有D策略個體的收益得到顯著提高。其結(jié)果是，博弈情境C，C，C三角結(jié)構(gòu)非常穩(wěn)定，而博弈情境D，C，C中的兩個C策略個體很可能在策略調(diào)整的時候模仿D策略，進而使得D，C，C三角形面博弈轉(zhuǎn)變?yōu)镈，D，D三角形面博弈，使得D策略個體的收益變?yōu)?。在這樣的情境下，D，D策略結(jié)構(gòu)中的D策略個體一旦與C，C，C三角形策略結(jié)構(gòu)中的C策略個體有連接關(guān)系，就有極大的概率改變D，D策略結(jié)構(gòu)為C，C策略結(jié)構(gòu)，從而表現(xiàn)出D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量下降，整個群體的合作者比例提高。

因此，個體在微觀層面形成合作的三角形策略結(jié)構(gòu)C，C，C是高連接度個體保持合作行為并獲得高博弈收益的根源所在，進而影響到其他連接度個體學(xué)習(xí)高連接度個體的合作行為，使得群體表現(xiàn)出更高水平的合作狀態(tài)。

2.2 三階高階結(jié)構(gòu)對群體策略行為選擇的影響

為了進一步將2.1中結(jié)論推廣到二階以上的高階結(jié)構(gòu)，圖4給出網(wǎng)絡(luò)中個體間形成四面體交互作用博弈的微觀機制，圖4中的每個四面體是由4個大小相同的三角形組成，其中黑色的面表示相同策略個體之間的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略個體之間的三角形面博弈。白色的圓點表示個體采取合作策略，黑色的圓點表示個體采取背叛策略。虛線箭頭代表從四面體空間中指向節(jié)點i，以此來計算節(jié)點i的收益。

由圖4可見，基于三階高階結(jié)構(gòu)形成的四面體交互作用博弈情境總共有5種，即四面體博弈情境D，D，D，D、D，C，C，C、C，D，D，D、C，C，D，D、C，C，C，C。

對于博弈情境D，D，D，D，每個D策略個體與其他3個D策略個體之間形成四面體并進行博弈，而四面體是由4個策略結(jié)構(gòu)均為D，D，D的三角形面組成，所以個體所獲收益是個體與其鄰居組合成的所有三角形面博弈收益和3個D，D策略結(jié)構(gòu)博弈收益的加和。由于每個D，D，D策略是3個D，D策略結(jié)構(gòu)組成，而策略結(jié)構(gòu)D，D的收益為0，則任何一個個體所獲得的三角形面博弈收益都為零；因此，每個D策略個體基于四面體博弈所獲收益為0。同理，博弈情境D，C，C，C中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為6Gb+3b和2GR+2R。博弈情境C，D，D，D中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為b和0。博弈情境C，C，D，D中D策略個體和C策略個體所獲收益分別為2Gb+2b和R。博弈情境C，C，C，C中每個C策略個體所獲收益為6GR+3R。

當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G增大時，其更大程度提高博弈情境D，C，C，C中C策略個體和D策略個體的收益、博弈情境C，C，D，D中D策略個體的收益、博弈情境C，C，C，C中C策略個體的收益。但這些博弈情境有很大不同，首先，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G越大，博弈情境D，C，C，C中C策略個體和D策略個體的收益都會越高，但D策略個體收益的提高幅度大于C策略個體收益的提高幅度。由于四面體上的博弈個體為了追求自身利益最大化，在下次博弈前會選擇對自己有利的策略。所以C策略個體在下次博弈之前會更大可能選擇D策略，會出現(xiàn)C，C，D，D、C，D，D，D、D，D，D，D3種博弈情境，如圖5b、5e、5f。其次，對于C，C，D，D博弈情境，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)只會改變D策略個體的收益。因此，在下次博弈開始之前，C，C，D，D博弈情境中的兩個C策略個體會很大可能采取D策略，并使博弈情境演化成C，D，D，D或D，D，D，D，如圖5c和5g。但C，D，D，D博弈情境并不穩(wěn)定，最終也會演化成D，D，D，D，如圖5d和5f。所以D，C，C，C、C，C，D，D博弈情境最終都會演化成D，D，D，D，使每個D策略個體獲得0收益。相反，C，C，C，C博弈情境中的每個C策略個體的收益會隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)的增大而增加，相比于D，C，C，C和C，C，D，D，博弈情境C，C，C，C所形成的四面體博弈情境非常穩(wěn)定。因此，當(dāng)D，D，D，D博弈情境中有某一個個體與C，C，C，C博弈情境連接時，D策略個體為了追求更高收益而選擇模仿鄰居的策略，最終選擇合作行為。

綜上，個體在微觀層面形成的四面體博弈情境C，C，C，C是高連接度個體保持合作行為并獲得高博弈收益的原因所在，從而影響其他鄰居個體的合作行為策略選擇，使得群體表現(xiàn)出更高的合作狀態(tài)。

3 仿真實驗設(shè)計及結(jié)果

3.1 仿真實驗設(shè)計

基于以上模型描述，本文使用MATLAB編程，用Monte Carlo方法研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上二階高階結(jié)構(gòu)對囚徒困境博弈合作行為演化的影響。仿真實驗總的個體數(shù)N設(shè)定為5 000。

首先，個體位于1.2.1節(jié)BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點上。在重復(fù)博弈的初始時刻，每個個體隨機選擇合作策略（C）或背叛策略（D）作為自己初次博弈的策略。將某個博弈時刻t合作者在整個群體中所占的比例稱為合作者密度pct，則有pct=nct/N（其中nct為t時刻合作者的數(shù)量）。那么，在重復(fù)博弈的初始時刻（t=0），合作者密度pct≈0.5。每個個體在獲得初始策略后，根據(jù)1.2.2節(jié)的博弈情境選擇交互作用鄰居進行博弈，按照公式（2）獲得自己博弈的總收益；然后，根據(jù)1.2.3節(jié)中公式（3）所描述的策略更新規(guī)則進行策略調(diào)整，并將調(diào)整后的策略作為自己下一次博弈時使用的策略。

所有個體在每次博弈后對自身策略的調(diào)整使得合作者密度在下一次博弈前發(fā)生改變。隨著重復(fù)博弈的進行，合作者密度pct將隨仿真時間呈現(xiàn)出動態(tài)變化的過程，并逐漸達到一個動態(tài)平衡狀態(tài)。通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，博弈次數(shù)為5 000時合作者密度基本達到穩(wěn)定的動態(tài)平衡狀態(tài)，故取重復(fù)博弈次數(shù)（即仿真的取樣時間）為5 000次（步）。以最后500次的合作者密度的平均值作為群體達到動態(tài)平衡狀態(tài)時的合作者密度，記為合作者均衡密度PC，故PC=∑5 000t=4 501pct/500。為了確保數(shù)據(jù)的有效性，仿真結(jié)果中的所有數(shù)據(jù)是相同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G和博弈參數(shù)b條件下50次實驗結(jié)果的平均值。

3.2 仿真實驗結(jié)果

圖6給出背叛誘惑參數(shù)b=2.2時，群體合作者密度pct在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的動態(tài)演化過程。圖7給出在不同的背叛誘惑參數(shù)b條件下，群體合作者均衡密度PC與高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的關(guān)系。

由圖6可以看出，當(dāng)背叛誘惑參數(shù)b=2.2時，初始合作者密度從pct≈0.5開始，先是迅速地下降至pct≈0.24左右，然后逐漸上升，最后在t=5 000時已經(jīng)達到動態(tài)平衡，且合作者密度pct在更大的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下表現(xiàn)出更高的水平。進一步，由圖7可以看出，對于所有的背叛誘惑參數(shù)b，合作者均衡密度PC均在更大的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下表現(xiàn)出更高的水平。尤其是當(dāng)b>2.5后，高階結(jié)構(gòu)提高合作者均衡密度的效果愈發(fā)顯著。高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=10對應(yīng)的合作者均衡密度PC水平比高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時（無高階作用）的合作者均衡密度PC水平提高了25%左右。以上實驗結(jié)果表明，高階結(jié)構(gòu)有利于個體抵抗背叛誘惑，產(chǎn)生更高水平的群體合作，并在背叛誘惑很大的情況下發(fā)揮更強的促進個體合作的作用。

4 結(jié)果分析及討論

為了更好地理解以上實驗結(jié)果，本節(jié)通過分析群體中不同連接度個體在最終演化時刻的合作者密度、博弈收益、以及鄰居的策略結(jié)構(gòu)，來揭示高階結(jié)構(gòu)促進群體合作行為的內(nèi)在機理。

4.1 高階結(jié)構(gòu)對不同連接度個體合作行為的影響分析

仿真實驗中的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)有著相同的度分布，圖8給出背叛誘惑參數(shù)b=2.2時，在不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個體在最終演化時刻（t=5 000）的合作者密度PCk。選擇b=2.2進行分析的原因在于，在該背叛誘惑條件下，合作者均衡密度PCk在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下有著明顯的差異（見圖8），能夠更好地呈現(xiàn)不同連接度個體在最終演化時刻的合作者密度PCk。PCk的計算方法為：對于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化博弈的最后時刻，統(tǒng)計連接度為k的個體數(shù)量nk和合作者數(shù)量c（k），那么PCk=∑lclk/∑lnlk（其中，l表示對于給定參數(shù)所進行的重復(fù)實驗次數(shù)，l=20）。

由圖8可見，對連接度水平較低（k<20）的博弈個體，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G明顯提高了不同連接度個體的合作者密度PCk；對于連接度水平高（k>30）的博弈個體，更高的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G使得更多連接度的個體達到完全合作狀態(tài)，即PCk=1；對連接度在20至30之間的博弈個體，更高的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G對應(yīng)著更高水平的合作者密度PCk?？梢钥闯?，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的不斷增大，群體中個體進行博弈交互作用的鄰居數(shù)量在不斷增多，不同連接度的個體抵御背叛的能力均在不斷加強；所以高階結(jié)構(gòu)均對其合作策略的選擇起到明顯的促進作用。

4.2 高階結(jié)構(gòu)對不同連接度個體博弈收益的影響分析

采用和圖8實驗相同的參數(shù)條件，進一步比較在不同的高階結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的合作者與背叛者的平均總收益。平均總收益的計算方法如下：對于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化的最后時刻，統(tǒng)計連接度為k的合作者數(shù)量nClk以及背叛者數(shù)量nDlk，并且加和連接度為k的合作者的總收益UClk和背叛者的總收益UDlk。則當(dāng)前連接度下合作者的平均總收益為UCk=∑lUClk/∑lnClk，背叛者的平均總收益為UDk=∑lUDlk/∑lnDlk。圖9給出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的合作者和背叛者在最終演化時刻的平均總收益。各子圖給出不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的結(jié)果。

由圖9的每個子圖可以看出，無論高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的取值大小，隨著連接度k的增大，群體中個體的博弈收益均呈上升趨勢，這說明個體的連接度越高，獲得更高博弈收益的優(yōu)勢越大。此外，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的增大，越來越多的高連接度個體選擇合作策略，且其獲得更高博弈收益的優(yōu)勢越來越明顯。具體而言，當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時，群體中有著最高博弈收益的個體既有合作者也有背叛者，最高博弈收益水平為226；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=2時，群體中連接度在200以上的個體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為463；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=5時，群體中連接度在100以上的個體均選擇了合作策略，最高博弈收益水平為754；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)增大至G=10時，只有連接度很低的個體選擇背叛行為，其他連接度個體均選擇合作行為，最高博弈收益水平為1 334。這說明，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G對群體合作行為影響的關(guān)鍵是影響了群體中高連接度個體對合作行為的選擇，并使得博弈收益水平顯著提高。而高連接度個體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會學(xué)習(xí)高連接度個體的合作行為，進而使得其他連接度個體也更多地選擇合作行為。

4.3 高階結(jié)構(gòu)對個體鄰居策略結(jié)構(gòu)的影響分析

采用和圖8實驗相同的參數(shù)條件，進一步分析在不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G下，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個體的鄰居策略結(jié)構(gòu)。根據(jù)1.2.2小節(jié)所描述的博弈交互作用情境，只有當(dāng)某個個體的兩個鄰居的策略相同，即鄰居形成了統(tǒng)一策略，個體才會基于三角形面與兩個鄰居進行博弈。本節(jié)分析在博弈的最終演化時刻，連接度為k的個體鄰居所形成的C，C策略結(jié)構(gòu)和D，D策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量。具體計算方法如下：對于給定的仿真參數(shù)，在群體一次演化的最后時刻，統(tǒng)計連接度為k的博弈個體數(shù)量nlk，并對該連接度下所有個體的鄰居所形成的C，C策略結(jié)構(gòu)數(shù)量nCClk和D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量nDDlk分別進行加和。對于連接度為k的個體，其鄰居中C，C策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量為numCCk=∑lnCClk/∑lnlk，其鄰居中D，D策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量為numDDk=∑lnDDlk/∑lnlk。圖10給出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上連接度為k的個體鄰居在最終演化時刻所形成的D，D策略結(jié)構(gòu)和C，C策略結(jié)構(gòu)的平均數(shù)量，各子圖給出不同高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G條件下的結(jié)果。

由圖10可以看出，隨著高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G的增大，連接度為k的個體的鄰居所形成的D，D策略結(jié)構(gòu)數(shù)量越來越少。具體而言，在連接度大于100的范圍內(nèi)，當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=0時，一共有10個連接度的個體鄰居形成了D，D策略結(jié)構(gòu)；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=2時，僅有3個連接度的個體的鄰居形成了D，D策略結(jié)構(gòu)；當(dāng)高階結(jié)構(gòu)參數(shù)增大到G=5和G=10時，沒有任何連接度的個體的鄰居形成D，D策略結(jié)構(gòu)。而在連接度小于50的范圍，對比高階結(jié)構(gòu)參數(shù)G=5和G=10條件下的結(jié)果，可以看出G=10條件下更少連接度的個體的鄰居形成D，D策略結(jié)構(gòu)。這些分析結(jié)果說明，高階結(jié)構(gòu)有效降低了網(wǎng)絡(luò)中D，D策略結(jié)構(gòu)的數(shù)量，進而驗證了2.1小節(jié)得出的結(jié)論。

5 結(jié)語

本文將高階結(jié)構(gòu)引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化博弈的研究中，在原有的成對連接關(guān)系博弈的基礎(chǔ)上考慮三角形面博弈。對個體博弈交互作用及博弈收益重新定義，以一個高階結(jié)構(gòu)參數(shù)刻畫高階結(jié)構(gòu)對群體合作行為產(chǎn)生的影響，搭建起本研究和以往研究的關(guān)系。

1）通過理論分析給出二階高階結(jié)構(gòu)對群體策略行為選擇的影響，并將結(jié)論在三階高階結(jié)構(gòu)上進行推廣。結(jié)果表明，博弈群體在二階高階結(jié)構(gòu)和三階高階結(jié)構(gòu)的作用下均表現(xiàn)出更高的合作水平，一旦個體間形成了C，C，C三角形策略結(jié)構(gòu)或C，C，C，C四面體策略結(jié)構(gòu)，就可以顯著提高每個C策略個體的收益，使得策略結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性極高。相反，雖然D，C，C策略結(jié)構(gòu)和D，C，C，C策略結(jié)構(gòu)中的D策略個體能夠獲得比C，C，C策略結(jié)構(gòu)和C，C，C，C策略結(jié)構(gòu)中的C策略個體更高的博弈收益，但D，C，C策略結(jié)構(gòu)和D，C，C，C卻極不穩(wěn)定，很快會轉(zhuǎn)變?yōu)镈，D，D策略結(jié)構(gòu)和D，D，D，D策略結(jié)構(gòu)。D，D，D三角形策略結(jié)構(gòu)和D，D，D，D四面體策略結(jié)構(gòu)在收益獲得方面沒有任何優(yōu)勢，從而會在策略演化過程中學(xué)習(xí)周圍的合作者，選擇合作行為。

2）在仿真實驗驗證中發(fā)現(xiàn)，在更強的高階結(jié)構(gòu)作用下，不同連接度的個體均表現(xiàn)出更強的抵御背叛行為的能力，主要原因是高階結(jié)構(gòu)作用顯著影響了群體中高連接度個體對合作行為的選擇，并使其博弈收益水平明顯提高。高連接度個體有著很多不同連接度水平的鄰居，這些鄰居會學(xué)習(xí)高連接度個體的合作行為，進而使得其他連接度個體也更多地選擇合作行為。

在本文構(gòu)建的理論模型中，高階結(jié)構(gòu)參數(shù)對合作策略或背叛策略沒有任何偏好。但理論分析和實驗結(jié)果表明，高階結(jié)構(gòu)有效地提高了群體的合作水平，從而給出了一個新的理解現(xiàn)實世界自利個體間產(chǎn)生合作行為的關(guān)鍵因素。這為進一步深入研究更高階的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（如單純形復(fù)合體）對群體合作行為演化的影響提供了思路。

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（責(zé)任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－10－03；修回日期： 2022－11－26

基金項目： NSFC－云南聯(lián)合基金（U2102221）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目（2023－JC－QN－0261）；陜西省教育廳研究計劃項目（23JK0675）

第一作者： 謝逢潔（1974－），女，重慶人，博士，教授，主要研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用。

通信作者： 王思一（1994－），女，陜西漢中人，博士，講師，主要研究方向為演化博弈論及其應(yīng)用。