武旦珠

核心素養(yǎng)導向下的數(shù)學教學是對傳統(tǒng)教學的一次變革，擺脫了過去以課時為單位的傳統(tǒng)范式，推崇以單元為整體的設計理念。這種變革體現(xiàn)了對數(shù)學知識內在邏輯關系的深層次思考，教學設計應該體現(xiàn)單元整合教學內容。這種教學設計旨在通過深入挖掘數(shù)學知識之間的關系，為學生提供更為系統(tǒng)和全面的學習體驗。

教學設計要充分考慮核心素養(yǎng)的重要性，確保在整個教學過程中的指導作用。教學目標應該是全面的、有層次的，可以涵蓋知識、技能和態(tài)度的培養(yǎng)，以確保學生在學習過程中獲得全面的發(fā)展。教師要考慮學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、創(chuàng)造力、批判性思維等方面的發(fā)展。在每個課時中，結合教學內容和目標展開教學，能夠更好地發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

【教材分析】

北師大版數(shù)學八年級上冊“直角三角形三邊的關系”，是“勾股定理”章節(jié)的主要內容，重點講解了勾股定理的證明過程。教材通過兩個例子“正方形的瓷磚”和“試一試”來發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間的關系。接著，通過“做一做”的實踐驗證，學生先獲得直接的經驗，再進行總結和歸納，證明勾股定理。

勾股定理是幾何學中最為重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三邊的數(shù)量關系。直角三角形中斜邊較長，而另外兩條邊較短，該定理證明它們之間有著精確的數(shù)量關系，為學生今后學習解直角三角形問題奠定基礎。因此，探索直角三角形三邊的關系對學生來說非常重要，既能使學生更好地理解直角三角形，又能培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

【學情分析】

八年級學生已經具備了一定的邏輯思維和抽象思維能力，并且掌握了學習數(shù)學的基本方法。直角三角形是他們非常熟悉的圖形，因此，通過自主探索、合作互助、交流分享的方式來驗證和應用勾股定理是非常適合的。通過這樣的學習方式，學生能夠輕松、愉快地完成本節(jié)課的學習目標。

【教學目標】

1.育人目標

（1）通過探究、驗證、證明和應用勾股定理，培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的意識和能力。通過自主探索、合作交流的學習方式，培養(yǎng)學生獨立思考、分析和解決問題的能力。

（2）通過勾股定理的證明，讓學生知道勾股定理是中國古代數(shù)學的杰出成果之一，還被廣泛應用于日常生活和工程技術中。通過學習勾股定理，學生將不僅僅掌握數(shù)學知識，還能夠認識到中國傳統(tǒng)數(shù)學在世界數(shù)學發(fā)展史上的地位和作用，激發(fā)學生熱愛祖國和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的情感。

2.學科素養(yǎng)目標

（1）通過對勾股定理的學習，引導學生深刻感受到數(shù)學在人類文明進程中的重要性，了解中國傳統(tǒng)數(shù)學在世界數(shù)學發(fā)展史上的地位和影響力，激發(fā)學生對祖國的熱愛。

（2）通過勾股定理的探索和應用，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的種子。他們將學會從不同的角度思考問題，尋找創(chuàng)新的解決方法，為將來的學習和生活奠定堅實的基礎。通過這些努力，學生將更加熱愛祖國的傳統(tǒng)文化，為祖國未來的發(fā)展做出積極貢獻。

【教學重點】

1.經歷勾股定理的探索過程，親身體驗到數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和證明過程。

2.掌握勾股定理原理，并能夠靈活運用該定理解決一些簡單的實際問題。

【教學難點】

勾股定理的探究和解決相關的實際問題。

【內容與中考分析】

本節(jié)的內容是探究、驗證、證明和應用勾股定理。勾股定理是各類考試命題中的熱門內容，通常會結合其他知識進行綜合考查，其所占比例不少于10%，這體現(xiàn)了勾股定理在數(shù)學教學中的重要性。因此，學生需要充分掌握勾股定理的原理，并能夠熟練應用于解決相關問題，以應對中考。

【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，引入新課（5分鐘）

通過展示一些直角三角形的實際應用場景（如建筑、地理測量等），引起學生對直角三角形的興趣和重新認識，了解學生對直角三角形的認識程度。

1.一般三角形三條邊之間存在怎樣的數(shù)量關系？

2.直角三角形的三條邊除一般關系外，還存在特殊的數(shù)量關系嗎？

教師提出問題，學生獨立思考，小組合作交流后，代表在全班分享交流。

教師出示學習目標：

1.掌握勾股定理的內容和證明，能夠靈活運用勾股定理進行計算。

2.通過動手操作、觀察分析、合作交流提升邏輯推理的能力。

二、實驗探究，生成新知（15分鐘）

【探究1】直角三角形三條邊之間的數(shù)量關系

學生自學：圖1是正方形瓷磚鋪成的地面，標記了的著色正方形P、Q、R。那么，這三個正方形的面積之間是否存在特殊的關系呢？

問題1：觀察圖形，直接寫出三個正方形的面積，提示學生從數(shù)和形兩個角度思考，滲透數(shù)形結合的思想。

正方形P的面積為：SP=AC2=1

正方形Q的面積為SQ=BC2=1

正方形R的面積為SR=AB2=2

問題2：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形P、Q、R的面積之間有什么關系嗎？

SP+SQ=SR

問題3：直角三角形三條邊長之間的關系如何呢？

讓學生在充分的思考和小組討論的情況下發(fā)言：

AC2+BC2=AB2

學生活動：先觀察課本圖1，在探索記錄的過程中，要注意數(shù)形結合，思考直角三角形三邊的關系。

教師活動：（1）明了學情：觀察學生在探究、驗證結論的過程中所用的思路和方法以及過程的合理性和嚴密性，教師有針對性地進行引導。

（2）差異化指導：在學生進行探究時，教師積極參與、巡視、隨時發(fā)現(xiàn)問題并進行引導和點撥，幫助他們更好地理解問題。

【探究2】引導學生觀察直角三角形的特點，介紹勾股定理的概念，探究：

1.圖2是利用更多的正方形地磚鋪成的地面，類比探究1，學生自主探究“直角三角形三邊長度之間關系”（過程寫在學案上）。

（由特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想和方法，教師必要時給學生提醒）

分析：大正方形R的面積可以用“切割法”或“切補法”來計算。

∵Sp=AC2=9 SQ=BC2=16 SR=AB2=25

∴AC2+BC2=AB2

2.完成課本109頁“做一做”，讓學生動手操作，能按照要求畫出圖形，獨立完成并驗證：“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?！保ò褕D畫在學案上，小組內交流討論后展示和分享）

學生在獨立思考和小組討論的過程中，可以用不同的方法驗證勾股定理，嘗試給出勾股定理的證明過程，掌握一種證明勾股定理的方法，并能正確書寫邏輯推理過程，從而加深對勾股定理的理解。

【探究3】學生自學：（1）根據課本第110頁的“讀一讀”內容，了解三國時期的數(shù)學家趙爽深入研究《周髀算經》，利用“弦圖”證明了勾股定理，它標志著中國古代的數(shù)學成就，培育學生熱愛數(shù)學、熱愛祖國的情懷。

【證明勾股定理】圖3是弦圖的示意圖，它是一個小正方形和四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，試證明：a2+b2=c2。

學生先嘗試證明，教師可以提示：

圖形是拼湊而成的，既沒有重疊，也沒有空隙，所以面積不會變，因此用“等積法”證明。

（2）大正方形的面積=4個全等的直角三角形面積+小正方形面積。

4×ab+（b-a）2=c2，化簡得a2+b2=c2。

（3）學生歸納總結，教師點評和概括：

對于任意的直角三角形，如果a、b為兩條直角邊的長，c為斜邊的長，那么a2+b2=c2。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

定理變形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則

c2=a2+b2

a2=c2-b2

b2=c2-a2

學生活動：獨立嘗試用符號語言、文字語言兩種形式表達勾股定理的內容。

教師活動：關注學生在證明定理過程中對勾股定理的理解和運用情況，以便及時引導與點撥。

三、應用定理，鞏固新知（20分鐘）

教師采取學生板書和學案相結合的方法，完成后組內互評，教師點評。

1.在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=7，BC=24，求AC。

分析：可以直接用公式計算，也可以用數(shù)形結合法。這里特別強調∠B=90°，防止定式思維的干擾。

分析：在Rt△ABC中

∵∠B=90°，AB=7，BC=24

根據勾股定理，得AC2=AB2+BC2

∴AC=25

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊為c

①已知a=5，b=12，求c。②已知b=2，c=3，求a。

師生之共同分析后，教師示范①，學生板書②。（要求規(guī)范推理過程）

解：①在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，a=5，b=12，

根據勾股定理，得a2+b2=c2。

∴c=13

②學生板書（要求規(guī)范推理過程），完成后師生共同進行評價。教師用課件展示解題過程，讓學生對照自己的解題過程，特別強調幾何語言的表達及其邏輯推理的準確性。

3.在操場上有兩棵古樹，但是不能直接測量它們之間的距離，請同學們利用勾股定理的知識，設計一個直角三角形，通過測量相關數(shù)據，計算出兩棵樹間的距離，把你的設計方案與同學們分享。

這是一道開放性題目，學生可以充分發(fā)揮自己的聰明才智，張開思維的翅膀，在獨立思考的基礎上生生互動、師生互動，各自發(fā)表不同的見解，提出不同的設計方案進行研討。

四、課堂小結，升華新知（5分鐘）

1.這節(jié)課，我的收獲是？（問自己）

2.這節(jié)課，你最感興趣的地方是？（問同桌）

3.我們能進一步研究的問題是？（問同桌）

五、作業(yè)設計與布置，內化新知

1.基礎性作業(yè)（全體學生）

（1）課本117頁，習題14.1，第1、2題。

（2）閱讀教材118～119頁“閱讀材料”的內容，體驗勾股定理之美，豐富學生的學習體驗。

2.拓展性作業(yè)（有余力的學生）：一個長方體的粉筆盒，它的長是10 cm、寬是6 cm、高是8 cm，一只螞蟻在粉筆盒的頂點P處，它想吃到與P相對的頂點Q處的蜂蜜，但只能沿著粉筆盒表面爬行，你知道螞蟻是怎樣爬行的嗎？請你求出它爬行的最短距離。

3.推薦性作業(yè)（有興趣的學生）：為了更好地理解勾股定理，建議有興趣的同學撰寫一篇以勾股定理為主題的小論文。

（設計意圖：按照“雙減”政策的要求，教師分層布置作業(yè)，以滿足不同學生的學習需求和發(fā)展，逐漸提升學生的解題能力。）

（作者單位：甘肅省秦安縣興國鎮(zhèn)初級中學）

編輯：陳鮮艷