陳慧靜

在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，銳角三角函數(shù)是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生往往只是死記硬背或簡(jiǎn)單地運(yùn)用公式計(jì)算，缺乏對(duì)概念的深入理解和靈活運(yùn)用。傳統(tǒng)教學(xué)模式的問題在于注重知識(shí)的灌輸和機(jī)械式的記憶，忽視了學(xué)生思維能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。而反思型教學(xué)作為一種新興的教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)性和批判性思維的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生通過解決問題來深入理解和應(yīng)用知識(shí)。因此，加強(qiáng)反思型課堂教學(xué)的探索，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的意義。

一、傳統(tǒng)銳角三角函數(shù)課堂教學(xué)中存在的問題

傳統(tǒng)教學(xué)往往偏重于把大量的定義、公式和定理等知識(shí)點(diǎn)堆砌給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)機(jī)械記憶和運(yùn)用，而缺乏對(duì)概念本質(zhì)和應(yīng)用方法的深刻理解，時(shí)間一長(zhǎng)學(xué)生對(duì)sin、cos等的概念記憶會(huì)產(chǎn)生混淆，甚至記不清彼此的比值。傳統(tǒng)教學(xué)缺乏具體的實(shí)際應(yīng)用和示例分析，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)如何在實(shí)際問題中運(yùn)用不夠了解，對(duì)知識(shí)的理解程度較低。傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師主導(dǎo)教學(xué)，學(xué)生被動(dòng)接受，缺乏自主探究和思維訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，這樣的教學(xué)模式限制了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和解決問題能力的發(fā)展。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往以單向傳授知識(shí)為主，學(xué)生之間缺乏互動(dòng)和合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，無法培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和交流能力。傳統(tǒng)教學(xué)往往依賴紙質(zhì)教材和教具，缺乏新技術(shù)支持和豐富的在線資源，限制了教學(xué)手段和資源的多樣性和適應(yīng)性。

反思型教學(xué)是一種強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與和深入思考的課堂教學(xué)方法，能夠有效解決傳統(tǒng)三角函數(shù)教學(xué)中存在的問題。反思型教學(xué)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅要掌握知識(shí)，還要對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考和反思，從而達(dá)到理解知識(shí)并運(yùn)用知識(shí)解決問題的目的。反思型教學(xué)的優(yōu)勢(shì)在于能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力。此外，反思型教學(xué)能夠幫助學(xué)生深入理解知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量。同時(shí)，反思型教學(xué)還能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和應(yīng)用能力。因此，反思型教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和解決問題的能力具有重要意義。

二、反思型教學(xué)下的銳角三角函數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐

（一）引入互動(dòng)型教學(xué)

在傳統(tǒng)的銳角三角函數(shù)教學(xué)中，教師大多是基于多媒體圖片、教材資料進(jìn)行教學(xué)導(dǎo)入。這種引入方式雖然能夠向?qū)W生展示豐富的學(xué)習(xí)資料，但是缺乏對(duì)學(xué)生的反饋，無法全面地掌握學(xué)生在引入環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，不利于接下來的教學(xué)開展。通過對(duì)傳統(tǒng)引入環(huán)節(jié)的反思，發(fā)現(xiàn)互動(dòng)型教學(xué)引入具有明顯的優(yōu)點(diǎn)?；?dòng)型教學(xué)是一種強(qiáng)調(diào)師生互動(dòng)和學(xué)生互動(dòng)的教學(xué)形式，它打破了傳統(tǒng)教學(xué)中教師單向傳授知識(shí)的模式，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，并通過互動(dòng)和合作促進(jìn)學(xué)習(xí)。通過師生互動(dòng)和生生互動(dòng)，增強(qiáng)了學(xué)生的參與感和學(xué)習(xí)動(dòng)力，也便于教師掌握學(xué)生在課堂引入環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)效果。在“銳角三角函數(shù)”的課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以借助互動(dòng)型教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)具有互動(dòng)性的課堂引入方式，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

師：同學(xué)們，在之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形相似的內(nèi)容，我現(xiàn)在在黑板上畫出一個(gè)直角三角形，誰能利用直尺等道具畫出一個(gè)與之相似的小直角三角形？（選3～4名學(xué)生畫直角三角形）

師：很好，我們將大三角形命名為△ABC，小三角形命名為△DEF，如圖1所示。同學(xué)們可以猜測(cè)一下與是什么關(guān)系？誰能上臺(tái)通過直尺測(cè)量的方式來驗(yàn)證自己的猜測(cè)？

生：老師，我認(rèn)為與相等，因?yàn)?，通過測(cè)量我發(fā)現(xiàn)△ABC的三邊分別為6、8、10，而△DEF的三邊分別為3、4、5，因此

師：很好，由于Rt△ABC∽R(shí)t△DEF，所以∠C=∠F，因此，可以得到在直角三角形中，任意已知銳角其對(duì)邊與斜邊的比值為常數(shù)，與三角形的面積大小無關(guān)，我們可以將任意銳角命名為α，將其對(duì)邊與斜邊的比值稱為sin（正弦），得到sinα=。

（二）基于虛擬技術(shù)的三角函數(shù)深度學(xué)習(xí)

隨著技術(shù)的發(fā)展，虛擬技術(shù)開始被應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)課堂，相較于傳統(tǒng)多媒體教學(xué)方式，虛擬技術(shù)有著無可比擬的優(yōu)越性。虛擬技術(shù)通過三維模型展示幾何關(guān)系，幫助學(xué)生深刻理解三角形三邊關(guān)系。學(xué)生通過觀察和操縱虛擬模型來深入理解銳角三角函數(shù)的概念和性質(zhì)。這種視覺化學(xué)習(xí)可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，并提升學(xué)習(xí)效果。使用虛擬技術(shù)，學(xué)生可以主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過程，通過觸摸、拖動(dòng)和操作虛擬模型來探索實(shí)驗(yàn)，這種互動(dòng)學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力，并促進(jìn)學(xué)生深入思考和探索。虛擬技術(shù)可以提供即時(shí)的錯(cuò)誤糾正和反饋機(jī)制。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)犯錯(cuò)誤，虛擬技術(shù)可以迅速檢測(cè)和指出錯(cuò)誤，并給予相應(yīng)的反饋。這使學(xué)生能夠及時(shí)糾正錯(cuò)誤并加深對(duì)概念的理解。

因此，在銳角三角函數(shù)教學(xué)中可以借助虛擬技術(shù)開展課堂教學(xué)。虛擬模型和動(dòng)畫可以展示銳角三角函數(shù)的運(yùn)算過程以及銳角大小變化帶來的正弦、余弦、正切、余切等函數(shù)波形的可視化變化。教師還可以使用虛擬技術(shù)進(jìn)行虛擬實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自己通過實(shí)驗(yàn)來發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)的規(guī)律和性質(zhì)。教師通過調(diào)整角度的大小，讓學(xué)生比較正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)之間的關(guān)系，并探究周期、對(duì)稱性等特點(diǎn)。教師利用虛擬技術(shù)開發(fā)練習(xí)和測(cè)驗(yàn)的應(yīng)用，讓學(xué)生能夠在虛擬環(huán)境中進(jìn)行相關(guān)題目的練習(xí)和測(cè)驗(yàn)。這種方法可以幫助學(xué)生鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，同時(shí)提供及時(shí)的反饋和錯(cuò)題解析。另外，虛擬技術(shù)還可以記錄和追蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，為教師進(jìn)行個(gè)性化的指導(dǎo)和評(píng)估提供幫助。

（三）實(shí)踐運(yùn)用下的三角函數(shù)知識(shí)探討

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂側(cè)重于理論知識(shí)的探討，重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解和記憶三角函數(shù)的公式，對(duì)學(xué)生三角函數(shù)的實(shí)踐運(yùn)用缺乏深入分析。通過對(duì)課堂教學(xué)的反思發(fā)現(xiàn)，實(shí)踐運(yùn)用能力在初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)教學(xué)中不可忽視。通過實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生可以深入理解概念與原理，培養(yǎng)解決問題的能力，增加學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣，同時(shí)也可以增加學(xué)習(xí)與生活的聯(lián)系。因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐運(yùn)用能力，設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用的問題和情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究和應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。

基于三角函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的案例設(shè)計(jì)——旅行中的山坡角度測(cè)量

背景：小明和小紅在一次山區(qū)旅行中發(fā)現(xiàn)山坡上有一座瀑布非常壯觀。為了更好地欣賞瀑布，他們希望通過測(cè)量自己所站的位置與水平面的夾角來確定兩個(gè)觀賞點(diǎn)的高度差。

任務(wù)：通過測(cè)量自己所站的位置與水平面的夾角，計(jì)算并比較小明和小紅所選觀賞點(diǎn)的高度差，如圖2所示。

提示：

1.將山坡視為直角三角形，小明和小紅的觀賞點(diǎn)分別視為三角形的頂點(diǎn)。

2.假設(shè)小明和小紅所站的位置與山坡平面的直線距離已知，需要計(jì)算他們觀賞點(diǎn)的高度差。

3.建議使用銳角三角函數(shù)中的正切函數(shù)來計(jì)算夾角，使用三角函數(shù)的性質(zhì)來計(jì)算高度差。

此案例旨在讓學(xué)生應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，通過測(cè)量與水平面的夾角，計(jì)算觀賞點(diǎn)的高度差。通過實(shí)際測(cè)量和計(jì)算，學(xué)生可以理解角度與高度差之間的關(guān)系，并應(yīng)用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)案例與實(shí)際生活中的測(cè)量和測(cè)角問題有關(guān)，可以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和解決問題的能力。

（四）跨學(xué)科模式下三角函數(shù)作業(yè)設(shè)計(jì)

在多元文化的發(fā)展視角下，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的結(jié)合是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)綜合型人才的關(guān)鍵?？鐚W(xué)科理念在初中數(shù)學(xué)課堂的運(yùn)用有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生綜合能力、豐富學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)實(shí)用性、增強(qiáng)課程整體性。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)科的特點(diǎn)和學(xué)生的需求，合理融入其他學(xué)科的內(nèi)容和方法，創(chuàng)造多樣化的學(xué)習(xí)場(chǎng)景，促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科思維和綜合運(yùn)用能力的發(fā)展。例如，在銳角三角函數(shù)教學(xué)時(shí)可以結(jié)合初中地理內(nèi)容，要求學(xué)生對(duì)太陽能板的傾斜角度進(jìn)行設(shè)計(jì)。

背景：某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)的建筑物上安裝太陽能板，以利用太陽能發(fā)電。為了能夠最大限度地接收太陽光，并提高太陽能板的效率，需要合理設(shè)計(jì)太陽能板的傾斜角度。假設(shè)學(xué)校所在地的緯度為x度，請(qǐng)根據(jù)給定緯度和盡可能全面的信息（如太陽的運(yùn)行軌跡、一年中不同季節(jié)太陽高度角的變化等），確定太陽能板的最佳傾斜角度。

任務(wù)：設(shè)計(jì)太陽能板的傾斜角度，使其在一整年內(nèi)能夠最大化接收到太陽光。

提示：

1.使用銳角三角函數(shù)計(jì)算太陽高度角和太陽光的入射角等相關(guān)參數(shù)。

2.討論太陽能板的傾斜角度與太陽能源收集效率的關(guān)系，提出你的建議和解釋。

該案例能夠讓學(xué)生應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，通過計(jì)算和分析，設(shè)計(jì)太陽能板的傾斜角度，使其能夠最大化接收到太陽光，提高太陽能板的效率。這個(gè)案例與現(xiàn)實(shí)生活中的可持續(xù)能源利用緊密相關(guān)，可以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用能力和解決問題的能力。

（五）在線學(xué)習(xí)下的三角函數(shù)項(xiàng)目研究

與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)相比，在線學(xué)習(xí)模式可以為學(xué)生提供更加靈活的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生可以根據(jù)自己的時(shí)間和地點(diǎn)選擇學(xué)習(xí)。這種靈活性可以讓學(xué)生更好地安排學(xué)習(xí)時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率和自主學(xué)習(xí)能力。在線學(xué)習(xí)平臺(tái)通常具備個(gè)性化學(xué)習(xí)功能，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度、興趣和能力，推薦適合學(xué)生的學(xué)習(xí)資源和內(nèi)容，從而更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和差異化的學(xué)習(xí)風(fēng)格，提升學(xué)習(xí)效果。在線學(xué)習(xí)模式可以提供豐富多樣的學(xué)習(xí)資源，如視頻教學(xué)、多媒體教材、在線練習(xí)等。學(xué)生通過不同形式的學(xué)習(xí)資源進(jìn)行知識(shí)的深入理解和掌握，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和互動(dòng)性。

因此，數(shù)學(xué)教師可以利用在線學(xué)習(xí)方式組織學(xué)生開展與銳角三角函數(shù)相關(guān)的項(xiàng)目研究。設(shè)定一個(gè)與銳角三角函數(shù)相關(guān)的項(xiàng)目主題，如建筑物的高度測(cè)量、海上航行的方向計(jì)算等。確保項(xiàng)目主題能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，并與實(shí)際生活和應(yīng)用場(chǎng)景聯(lián)系緊密。通過在線學(xué)習(xí)平臺(tái)提供學(xué)習(xí)資源，如電子書、視頻教學(xué)、網(wǎng)站鏈接等，幫助學(xué)生理解和掌握銳角三角函數(shù)的概念、公式和性質(zhì)。此外，教師還應(yīng)提供相關(guān)的指導(dǎo)材料，如研究項(xiàng)目的要求、步驟和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以幫助學(xué)生規(guī)劃和開展項(xiàng)目工作。

學(xué)生利用在線學(xué)習(xí)資源和實(shí)地考察等方式收集與項(xiàng)目主題相關(guān)的數(shù)據(jù)。例如，使用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)設(shè)置合適的條件，測(cè)量光線在不同角度入射時(shí)的反射、折射等現(xiàn)象。這些實(shí)踐活動(dòng)可以幫助學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中，深化對(duì)銳角三角函數(shù)的理解。利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)數(shù)據(jù)處理工具，對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和統(tǒng)計(jì)分析。借助繪圖軟件繪制圖表，觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并與銳角三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和結(jié)論。利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)上的博客、論壇、演示文稿等工具，將本團(tuán)隊(duì)的項(xiàng)目研究結(jié)果進(jìn)行整理。通過撰寫報(bào)告、制作海報(bào)、錄制視頻等形式，分享本團(tuán)隊(duì)在項(xiàng)目中的發(fā)現(xiàn)和成果，與同學(xué)和教師進(jìn)行交流。

三、總結(jié)

通過反思型教學(xué)的實(shí)踐，學(xué)生在銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中取得了明顯的進(jìn)步，培養(yǎng)了批判性思維和創(chuàng)新能力，為進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，反思型教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的價(jià)值。同時(shí)也需要關(guān)注反思型教學(xué)模式的實(shí)施問題，進(jìn)一步完善和推廣反思型教學(xué)，在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的同時(shí)，提高整體數(shù)學(xué)教學(xué)水平。

（作者單位：廣西壯族自治區(qū)桂林市資源縣梅溪初中）

編輯：曾彥慧