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初中數(shù)學(xué)課堂中變式教學(xué)法的應(yīng)用

2024-04-29 18:45:31武金燕
新課程·上旬 2024年2期
關(guān)鍵詞:一元二次方程變式方程

武金燕

變式教學(xué)法指的是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化的一種方法,在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中需分析數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),在此過(guò)程中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以得到有效鍛煉,使學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念,加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。同時(shí),變式教學(xué)法需要教師發(fā)揮學(xué)生的主體作用,引導(dǎo)學(xué)生在解答變式題的過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)知識(shí)進(jìn)行深度理解,從而提高學(xué)生的自主建構(gòu)能力,對(duì)學(xué)生有著深遠(yuǎn)的影響。

一、初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)和原則

(一)初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致剖析問(wèn)題,再建構(gòu)變式題組,要求學(xué)生充分理解該部分知識(shí)。在開(kāi)展變式教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中,對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行精細(xì)化拆分時(shí),教師要讓學(xué)生注意兩點(diǎn):一是從問(wèn)題中提煉出必要條件,做好標(biāo)注;二是梳理解題思路和處理目標(biāo),明確問(wèn)題的答案。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)概念、圖形為著手點(diǎn)展開(kāi)變式訓(xùn)練,根據(jù)原題適當(dāng)調(diào)整條件和結(jié)論,讓學(xué)生從多個(gè)角度出發(fā)理解知識(shí),幫助學(xué)生構(gòu)建具有變通性特征的數(shù)學(xué)思維模型,促使學(xué)生的綜合解題能力得到提升。

(二)初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法的原則

一是啟迪思維原則。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維、轉(zhuǎn)化思維,根據(jù)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題合理變式,使學(xué)生的思維一直處于活躍狀態(tài)。教師需要遵循啟迪思維原則,通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生從不同側(cè)面對(duì)問(wèn)題展開(kāi)思考,以激發(fā)學(xué)生的思維活躍度。二是暴露過(guò)程原則。學(xué)生只有明確解答問(wèn)題的思維流程才能真正解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,這也會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生成就感,激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動(dòng)力。故而,在具體實(shí)踐中教師應(yīng)遵循“暴露過(guò)程原則”,將思考問(wèn)題時(shí)的數(shù)學(xué)思維暴露在學(xué)生面前,讓學(xué)生了解具體的推理過(guò)程,掌握數(shù)學(xué)概念、定理的推導(dǎo)方法,再由教師根據(jù)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行變式,為學(xué)生提供新思路,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。三是探索創(chuàng)新原則。在變式過(guò)程中教師需要遵循探索創(chuàng)新原則,以新穎的方法和問(wèn)題調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,在學(xué)生解答問(wèn)題的過(guò)程中啟發(fā)其思維和心智,強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。這樣學(xué)生才能以全局的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通。

二、初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法在“一元二次方程”中的應(yīng)用策略

(一)將概念作為切入點(diǎn),鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中涉及大量的概念性知識(shí),關(guān)乎學(xué)生思維能力和知識(shí)應(yīng)用能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)概念是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題、推論和論證數(shù)學(xué)命題的必備條件,在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用變式教學(xué)法可以讓學(xué)生探究數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),以多角度的變式方法對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)和理解,使學(xué)生參與到探索概念知識(shí)的過(guò)程中,從而增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性和應(yīng)變能力。同時(shí),變式教學(xué)法能讓學(xué)生深度理解不同概念的獨(dú)特屬性,在不改變問(wèn)題本質(zhì)特征和屬性的基礎(chǔ)上,以多樣化的形式改變部分條件,使學(xué)生在解答問(wèn)題的過(guò)程中探索同類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律和解決方法,掌握具體的數(shù)學(xué)概念。

一元二次方程的相關(guān)概念是學(xué)生必須掌握的知識(shí),這也是學(xué)習(xí)和應(yīng)用一元二次方程解題的前提,教師可以在概念教學(xué)中應(yīng)用變式練習(xí),幫助學(xué)生理解所學(xué)概念。①下列方程中哪些是一元二次方程:x(5x-2)=x(x+1)+4x2,=7,2x2=5y,7x2+6=2x(3x+1)。②寫(xiě)出方程x2+3x-2=0,-2x2-5x+3=0的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)。③將方程式3x2+1=6x,x(x+5)=5x-10,4x2+5x=81轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式,并寫(xiě)出這些方程的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)。

學(xué)生在完成變式練習(xí)的過(guò)程中能夠?qū)σ辉畏匠痰某?shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行鞏固,了解一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,為后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程的解法奠定基礎(chǔ)。

(二)以數(shù)學(xué)題目為核心,把控變式方向

最近發(fā)展區(qū)理論指出:學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度會(huì)直接影響其最終的學(xué)習(xí)成果。這就需要教師從學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā),通過(guò)剖析數(shù)學(xué)題目來(lái)明確正確的變式方向。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用變式聯(lián)系新舊知識(shí),結(jié)合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題目,通過(guò)深入分析題目推動(dòng)其對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行更深入的理解,從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)變式,發(fā)展學(xué)生的思維能力。

一元二次方程有很多解法,這也是學(xué)生串聯(lián)知識(shí)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn),因此,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生剖析原題,通過(guò)從特殊到一般再到特殊的方法進(jìn)行合理變式,總結(jié)一元二次方程的解法。如原題為:證明代數(shù)x2-6x+19式恒大于0。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程四個(gè)解法中的配方法求解,再通過(guò)變式將該方程轉(zhuǎn)化成含參方程,讓學(xué)生在解答帶有參數(shù)的一般化方程的同時(shí)總結(jié)解法。為了幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí),教師可以讓學(xué)生將該方程轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)類(lèi)型的特殊一元二次方程,梳理學(xué)過(guò)的解法。

從以上案例中可知,掌握基礎(chǔ)知識(shí)并剖析原題是進(jìn)行變式的前提,教師在進(jìn)行變式教學(xué)法時(shí)不僅要引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題,還要注重指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用掌握的知識(shí)梳理新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。此題能幫助學(xué)生為后續(xù)的變式做準(zhǔn)備,通過(guò)轉(zhuǎn)化平方的形式使用配方法對(duì)方程進(jìn)行配方,使學(xué)生對(duì)配方法進(jìn)行學(xué)習(xí)和總結(jié),有助于學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般的變式。

(三)注重學(xué)生思維發(fā)展,合理設(shè)計(jì)變式

初中數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展變式活動(dòng)時(shí)要注重拓展學(xué)生的思維空間,提高他們的思維深度。因此,教師應(yīng)注重合理設(shè)計(jì)變式,引導(dǎo)學(xué)生在變式過(guò)程中探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。教師需要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián),看清問(wèn)題的本質(zhì),將特殊規(guī)律轉(zhuǎn)變?yōu)橐话阈越Y(jié)論,掌握合理進(jìn)行變式的方法。

如原題為:已知kx2-3x+1=0,求出k的取值范圍。針對(duì)此類(lèi)題目,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)過(guò)渡到含參方程。該方程的二次項(xiàng)系數(shù)含參,因此可能是一元一次方程,若教師沒(méi)有進(jìn)行合理變式,會(huì)影響學(xué)生對(duì)前提條件的判斷,不利于學(xué)生開(kāi)展分類(lèi)討論。因此,教師應(yīng)把握變式中的固定條件,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)含參方程進(jìn)行合理變式,加深對(duì)一元二次方程的理解。該問(wèn)題可以變式為:x2+5x-k=0。①已知方程存在兩個(gè)相等實(shí)根,那么k的取值范圍是多少?②已知方程存在兩個(gè)不等實(shí)根,那么k的取值范圍是多少?③已知方程不存在實(shí)根,那么k的取值范圍是多少?④已知方程存在實(shí)根,那么k的取值范圍是多少?之后教師可以將x2+5x-k=0變式為kx2-3x+1=0,讓學(xué)生再次對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行解答。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中變式教學(xué)法占據(jù)重要地位,但只有合理設(shè)計(jì)變式才能讓學(xué)生從條件中提取關(guān)鍵信息,特別是需要進(jìn)行分類(lèi)討論的問(wèn)題,只有針對(duì)不同情況進(jìn)行合理變式才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)。需要注意的是,教師在開(kāi)展變式教學(xué)法時(shí)要以題目的條件和要求為前提,變式不能與原題出現(xiàn)太大的跨度,也不能和原題相差無(wú)幾。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)思路,發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生吃透知識(shí)點(diǎn)。

(四)把握知識(shí)邏輯關(guān)聯(lián),探究知識(shí)本質(zhì)

從特殊到一般的變式能夠引發(fā)學(xué)生的深度思考,讓學(xué)生明確題目的本質(zhì)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯藕斷絲連,需要教師引導(dǎo)學(xué)生建立聯(lián)系密切的邏輯網(wǎng),從整體的角度學(xué)習(xí)知識(shí)。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系才更便于學(xué)生學(xué)習(xí),教師應(yīng)鞏固知識(shí)間的邏輯關(guān)系,從一般變式到特殊變式,強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的連貫性,促進(jìn)學(xué)生的理解。

例題:選擇合適的方法解下列方程:①x2-3x-10=0;②3x2+7x+2=0;③2x(2-x)=3。教師在黑板上寫(xiě)出三個(gè)方程:①x2+2x-3=0;②(x+1)2=4;③(x-1)(x+3)=0。

師:請(qǐng)同學(xué)們迅速口答出其中一個(gè)方程的解。

生1:(x-1)(x+3)=0的解為1或-3。

師(進(jìn)行變式):(x-m)(x-n)=0的解是多少?其中m和n為常數(shù)。

生2:是m和n。

師(進(jìn)行變式):你會(huì)采用什么方法求解方程(x+m)2=n(n≥0)?另一個(gè)方程呢?

生3:第一個(gè)方程可以用直接開(kāi)平方法,第二個(gè)用配方法或公式法都可以。

生4:也可以使用因式分解法,分解為(x-1)(x+3)=0。

師:如果無(wú)法使用因式分解法求解一般的一元二次方程,那么可以使用配方法,其目的是什么?

生5:配成后直接開(kāi)平方得出x=。

師:你們認(rèn)為哪種方法更簡(jiǎn)便?

生(眾):直接用公式更簡(jiǎn)便。

教師引導(dǎo)學(xué)生梳理和歸納一元二次方程的四種解法,即配方法、公式法、直接開(kāi)平方法以及因式分解法。

可見(jiàn),教師在發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)時(shí)以變式的形式向?qū)W生展現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同解法求解方程,讓學(xué)生對(duì)比一元二次方程的解法,使學(xué)生從本質(zhì)上理解不同解法的異同點(diǎn)和適用情況,并通過(guò)變式串聯(lián),從而構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

(五)采用情境變式,變更問(wèn)題情境

情境變式即教師在不改變主線的前提下不斷改變問(wèn)題情境,通過(guò)串聯(lián)不同的問(wèn)題情境整合課堂教學(xué)的各環(huán)節(jié)。需要注意的是,教師在設(shè)計(jì)主線時(shí)要圍繞教學(xué)目標(biāo)鋪設(shè),做到串“點(diǎn)”成“線”。在初中數(shù)學(xué)課堂上開(kāi)展情境變式教學(xué)法能夠營(yíng)造輕松的學(xué)習(xí)氛圍,使學(xué)生的思維、想象力在不同的問(wèn)題情境中得到發(fā)展,以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,打造高效的數(shù)學(xué)課堂。

為了保證“一元二次方程”的教學(xué)效果,教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行多角度訓(xùn)練。教師可以創(chuàng)設(shè)情境,展開(kāi)變式教學(xué)活動(dòng)。教師需要先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)故事情境:趙家村的趙大姨不久前承包了一個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng),想通過(guò)養(yǎng)豬解決經(jīng)濟(jì)困難,但因?yàn)闆](méi)有文化遇到了很多問(wèn)題。希望同學(xué)們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)為她提供幫助。趙大姨在后院圍了一圈籬笆,其中一面靠墻,準(zhǔn)備圍出一個(gè)豬圈養(yǎng)豬,但卻遇到了以下問(wèn)題。

問(wèn)題一:趙大姨在后院靠墻圍了一個(gè)長(zhǎng)方形的豬圈(見(jiàn)圖1),墻對(duì)面的門(mén)寬2 m,籬笆的全長(zhǎng)為33 m,墻長(zhǎng)18 m,已知豬圈的面積是150 m2,請(qǐng)計(jì)算豬圈的長(zhǎng)和寬。

變式1:若不改變問(wèn)題一中的已知條件,豬圈的面積可以圍到200 m2嗎?

變式2:若將問(wèn)題一中的墻長(zhǎng)改為xm,會(huì)影響豬圈最終的面積嗎?

問(wèn)題二:趙大姨2022年養(yǎng)豬賺取的利潤(rùn)為2.16萬(wàn)元,2020年的利潤(rùn)為1.5萬(wàn)元,若2020年開(kāi)始到2022年的獲利增長(zhǎng)率不變,她在2021年賺取的利潤(rùn)為多少?

變式:獲利增長(zhǎng)率一直不變,趙大姨在2023年賺取的利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

習(xí)題分析

情境變式能夠營(yíng)造輕松的教學(xué)氛圍,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和好奇心,促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)深度思考。本次教學(xué)設(shè)計(jì)針對(duì)一元二次方程開(kāi)展,學(xué)生融入情境中會(huì)迫切希望幫助趙大姨解決問(wèn)題,以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。問(wèn)題一能夠讓學(xué)生對(duì)常見(jiàn)的面積問(wèn)題的解題思路和策略進(jìn)行鞏固;問(wèn)題二與問(wèn)題一之間聯(lián)系密切,能夠讓學(xué)生更好地融入情境中探索變化率問(wèn)題。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用情境變式需要明確一條主線,也就是串“點(diǎn)”成“線”的教學(xué)模式。這樣可以通過(guò)變式引導(dǎo)學(xué)生解決生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題,從而拓展學(xué)生的思維空間,讓學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活。通過(guò)設(shè)計(jì)情境變式不斷改變問(wèn)題情境,促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

總而言之,變式教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)舉足輕重的地位,教師應(yīng)通過(guò)變式教學(xué)法打造高效的數(shù)學(xué)課堂,使學(xué)生明確知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。教師需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容采用合適的變式方法,將變式教學(xué)法與數(shù)學(xué)知識(shí)相融合,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題進(jìn)行各類(lèi)變式,學(xué)會(huì)舉一反三,以增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)思維能力,為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

(作者單位:山東省濱州市沾化區(qū)下洼鎮(zhèn)第一中學(xué))

編輯:曾彥慧

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