管雅萍

初中數(shù)學(xué)探究式思維是一種學(xué)習(xí)遞進式思維，聚焦于學(xué)生對核心知識與關(guān)鍵能力的復(fù)合性高階建構(gòu)。通過對探究式思維相關(guān)要素的剖析，從探究情境的設(shè)計、思維空間的架設(shè)、探究過程的安排、探究序列的設(shè)計四個關(guān)鍵量，借助實操案例展開剖析，從而初步構(gòu)建學(xué)生探究式思維主體形成的教學(xué)模式。

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》核心素養(yǎng)模塊中指出：數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生去探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的過程。探究式思維構(gòu)建是素養(yǎng)立意的要求，是課堂中必不可少的隱性目標(biāo)。當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂中對探究式思維構(gòu)建存在的問題比較明顯：一方面，課堂形式大于教學(xué)本質(zhì)，為探究而“探究”的現(xiàn)象大量存在；另一方面，對探究的內(nèi)容把握不到位、定性不準(zhǔn)確，難易匹配程度不一致的情況時有發(fā)生?；诖耍P者在課堂教學(xué)中進行了實踐探索，以期優(yōu)化教學(xué)樣態(tài)，提升課堂質(zhì)量。

二、課堂教學(xué)探索

（一）把體驗融入情境，為探究設(shè)下“趣筆”

在探究活動中，情境的創(chuàng)設(shè)往往具有一定的指向性，即為思維的提升做鋪墊。展現(xiàn)在學(xué)生面前的情境，不應(yīng)當(dāng)是游離于他們生活體驗、認知體驗的，而是需要引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎?、去探索、去實踐，甚至去模擬的具象實際。所以教學(xué)中我們不能提供不經(jīng)處理和雜亂無章的原生態(tài)的現(xiàn)實情境，應(yīng)提供經(jīng)過初步整理的“準(zhǔn)現(xiàn)實問題”。關(guān)于探究活動中的情境創(chuàng)設(shè)，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的“觸發(fā)點”，從抽象思考與生活體驗兩個角度來剖析

1.觸發(fā)于抽象思考的情境設(shè)計

學(xué)習(xí)情境往往是促進學(xué)生思考的切入點，引起思維的觸發(fā)點是一種條件式“外因”，而學(xué)生的學(xué)習(xí)驅(qū)動力是內(nèi)因，外因要通過內(nèi)因才能起作用。初中階段是學(xué)生具象思維向抽象思維轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵期，學(xué)生的抽象思維能力需要在一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗積累上獲得提升。

案例1：一次由“銳角三角函數(shù)”的關(guān)系思考，促發(fā)的探究。

在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)之間的一些關(guān)系（tanα=，sin2α+cos2α=1）后，探索下列關(guān)系式是否成立（0°<α<90°）。

（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα。

問題重構(gòu)及實施：在有探究的教學(xué)中，教師的設(shè)問以及引導(dǎo)策略要能觸及學(xué)生思維的興奮點和“發(fā)生點”，把問題巧妙地設(shè)在抽象數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，從而構(gòu)成探究體驗活動，驅(qū)動學(xué)生思維的形成和發(fā)展；學(xué)生在感受數(shù)學(xué)“模型架構(gòu)”的美感中，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到有效錘煉。我們作如下引導(dǎo)：如鋪墊設(shè)問：（1）比較sin60°、sin45°、sin30°的大小。（2）判斷sin60°與2sin30°的大小關(guān)系。（3）利用課本中的圖，探究sin15°的值。（4）探究：sin2α與2sinα（0°<α<90°）的大小關(guān)系。

教師能很好地把握九年級學(xué)生的思維特點，發(fā)力于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的抽象思考，拓展于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)本身的思索，讓探究真正成為一項融入美感的活動。學(xué)生在這一過程中，建模、化歸、極限思維得到了鍛煉；探究過程中，教師在問題的“簡單重組”“鋪墊設(shè)問”中為學(xué)生搭建合適的“起跳距離”，把問題設(shè)在學(xué)生跳一跳夠得著的高度，使不同層次學(xué)生開展探究成為可能。小組合作研討中，教師的引導(dǎo)與學(xué)生的主動探究契合度不斷提升。

學(xué)生在探究中互動評價、分享各自的思路，他們對問題的探究興趣并非來自數(shù)學(xué)知識的外部世界（客觀現(xiàn)實世界中的非數(shù)學(xué)因素），更是在體悟數(shù)學(xué)建模的理性魅力過程中盡享探究之樂。

2.觸發(fā)于生活體驗的情境設(shè)計

數(shù)學(xué)知識的抽象性與學(xué)生認識過程的形象性之間存在矛盾，因此，在數(shù)學(xué)探究活動中設(shè)置生活化的情境能較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進一步調(diào)動學(xué)生思維的積極參與，促使學(xué)生真正進入有效的探究體驗活動中，從而達到對知識、能力、情感的意義構(gòu)建。

案例2：八年級上冊“圖形的軸對稱”引導(dǎo)課時：

板塊一：從圖形的測量開始

出示實物及實物抽象后的圖形——長方形、平行四邊形、三角形、圓。引導(dǎo)學(xué)生說說這些圖形的特征。提問：這些特征是從圖形的哪個方面觀察測量的？（從邊引出周長，從邊和角引出面積。）

板塊二：走出圖形的測量

圖1中兩個三角形都是直角三角形，面積也相等，除周長外，它們還有什么不同（引出新的概念——對稱、軸對稱、對稱軸）。

板塊三：探索圖形的變換——折疊問題

判斷圖2中的圖形是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，動手探索對稱軸的條數(shù)等。（對稱軸的幾何特性）

案例中，從學(xué)生的生活情境出發(fā)，強化了對數(shù)學(xué)知識的抽象，從圖形的單個特征量——周長、面積等，引申到圖形的整體特征性——對稱性，在強化概念的同時，隱含了引導(dǎo)學(xué)生對圖形特征的探究模式，引導(dǎo)學(xué)生思維的提升。

（二）開放的思維空間，為生成埋下“伏筆”

隱藏在探究活動中的數(shù)學(xué)知識和方法需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟，設(shè)置探究活動要突出數(shù)學(xué)的思維價值，所探究的問題要能引起學(xué)生的認知沖突，促使他們積極思考，然而，在探究活動中一系列固化的數(shù)學(xué)問題的堆砌，并不能代表數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的思維量就大；思維只有在學(xué)生積極、主動的探究體驗活動中，只有在充滿意義的生成的學(xué)習(xí)氛圍中，才能被拓展、延伸。所以說，有思維量的課堂，必定是有生成性的課堂。

案例3：一次探究，引發(fā)的“課堂容量”與“思維容量”的思索。

九年級學(xué)了尺規(guī)作圖問題后，用直尺和圓規(guī)對圓進行2等分、3等分、4等分、6等分操作，每個問題都要求學(xué)生經(jīng)歷“操作嘗試—數(shù)學(xué)驗證—反思、概括”三個階段，問題設(shè)置具有鮮明的層次性，很適合學(xué)生探究。

探究活動從課內(nèi)延伸到課外，使學(xué)生在經(jīng)歷探索時不斷引起興趣增長點，在不斷地繪圖操作中，體驗成功的快樂。問題設(shè)置的“合適坡度”，又使學(xué)生在不斷建構(gòu)的過程中興趣不減，享受著生成的快樂。課堂教學(xué)中，有必要去關(guān)注學(xué)生思維的積極性，關(guān)注學(xué)生主動的生成表現(xiàn)。另外，挑戰(zhàn)性的問題設(shè)計，使教師有機會引導(dǎo)學(xué)生的思維向廣度、深度發(fā)展。

（三）有徑的探究過程，為思維架設(shè)“階梯”

淺易、平淡的問題，不容易引起學(xué)生的注意和探究興趣。同樣，若問題設(shè)置的難度過大也極易使學(xué)生望而生畏，從而影響學(xué)生探究問題的積極性。在教學(xué)活動中，教師可以在保證總體教學(xué)目標(biāo)達成的前提下，按照學(xué)生的認知規(guī)律，通過梯度、分層的鋪墊性問題，經(jīng)由變式導(dǎo)向分散難點，有效引發(fā)學(xué)生對問題本質(zhì)的感知、探究，使探索過程具有漸進性、連續(xù)性和積累性。

案例4：一個來自數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的“探究問題”。

課本原型：如圖3，在等邊△ABC中，P、Q分別在邊AC、BC上，且AP=CQ，線段BP、AQ相交于點O，求∠BOQ的度數(shù)。引起思考：正三角形屬于正多邊形的一種，類比對于其他多邊形是否也有類似的結(jié)論呢？

探究1：由正三角形拓展至正方形，正五邊形如圖4、圖5，點E、D分別是正方形和正五邊形某個頂點相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD、AE交于點P，求∠APD的度數(shù)。

探究2：再拓展至正n邊形。如圖6，點D、E分別是正n邊形相鄰兩邊上的點，且BE=CD，AE、BD交于點P，求∠APD的度數(shù)。

提升追問：

探究3：若D、E點移動到相應(yīng)邊的延長線上時，上述結(jié)論是否依然成立？還能否求得∠APD的度數(shù)？

反思形成，思維提升：根據(jù)前面探索，能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況？點在線段上與線段外，所求同一位置的角度有何異同？

邊數(shù)的變化和點在線段上和線段延長線上的變化——兩個鋪墊性探究采用變式的手法，為學(xué)生在探究中制造了合理的“坡度”，問題的設(shè)計環(huán)環(huán)相扣、步步深入，使學(xué)生能自主在自己合適的“高度”感受到利用類比的方法獲取思路、處理相關(guān)信息的解題經(jīng)驗，讓學(xué)生在思維的動態(tài)發(fā)展中不斷完善認知結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生有機會通過自主探究體悟到問題解決方式：信息獲取→提取關(guān)鍵→處理關(guān)鍵→建立類比→運用類比→驗證反思，在整個問題處理的過程中感受數(shù)學(xué)類比思想的魅力。

（四）有序的整體設(shè)計，構(gòu)建有效探究“序列”

“序”，即序列。教學(xué)中的有序體現(xiàn)了循序漸進的基本思想。學(xué)習(xí)內(nèi)容的序列應(yīng)當(dāng)按照學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和認知規(guī)律進行，按照學(xué)生的認知發(fā)展或智慧生長的序列，把最典型的、最淺易的探究問題安排在前面，逐漸提高水平，即把知識的結(jié)構(gòu)與認知心理程序統(tǒng)一起來。

在探究活動中，探究問題要層層推進，教師要按照思維的遞進性、螺旋上升的特征來整體設(shè)計探究活動，即安排好相關(guān)問題的推進序列、思考序列，組成循序漸進的探究問題鏈。如：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，點P為BC邊上的一點，PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G，求證：PE+PF=BG。

問題“序列”布局結(jié)構(gòu)圖示（圖7）：

在后續(xù)的探索問題中，從三角形出發(fā)，繼而引出對矩形、正方形、圓形的類比探究，構(gòu)建學(xué)生問題解決的知識鏈、思維鏈。

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識鏈、能力序能在一定程度上進行切分，切分及解決的思考過程中便顯示出了問題鏈的邏輯順序，在微觀的數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，其有“序”可循，這個“序”就是學(xué)生心理發(fā)展的序，學(xué)生認知規(guī)律的序。如一系列案例問題就組成了一組有序的問題鏈，然而對每個問題的內(nèi)部探究活動，則分別又是一個微觀的有序活動，這種“序”充分體現(xiàn)在問題設(shè)計或活動本身的層次感，比較適合學(xué)生探究、體驗，學(xué)生也能在探究中得到熏陶。

三、總結(jié)

教學(xué)中，我們需要基于新課程標(biāo)準(zhǔn)要義培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生在課堂上不應(yīng)只是聽數(shù)學(xué)、看數(shù)學(xué)、練數(shù)學(xué)，而是更多地做數(shù)學(xué)、玩數(shù)學(xué)。在教學(xué)中要構(gòu)建初中數(shù)學(xué)探究式思維，圍繞遞進式問題的解決驅(qū)動，展開深入而持續(xù)的問題思考模式。在有效的探究教學(xué)氛圍中，學(xué)生的知識、能力可以從爭論中獲取，從協(xié)作中獲得，從相互啟發(fā)中汲取，從相互激勵中爭取，這不僅是學(xué)習(xí)知識的一種方式，而且是學(xué)習(xí)的寶貴資源。學(xué)生在更多的數(shù)學(xué)思維活動中經(jīng)歷、體驗、探索數(shù)學(xué)，從而獲得廣泛的數(shù)學(xué)價值和意義，也是我們對數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的追求。

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)信息港初級中學(xué)）

編輯：曾彥慧