李金　張紀(jì)會(huì)　高學(xué)柳　張保華

摘要： 為解決粒子群算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)、尋優(yōu)精度低、后期收斂慢等問題，提出一種基于分工和模糊控制的粒子群算法，使用分工、參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整和融合距離因素的模擬退火三種策略對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。將粒子分為偵察粒子和后衛(wèi)粒子，偵察粒子負(fù)責(zé)進(jìn)行探索，后衛(wèi)粒子向個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解學(xué)習(xí)，保證種群多樣性并加快搜索速度；使用Sigmoid函數(shù)調(diào)節(jié)慣性權(quán)重，模糊邏輯控制學(xué)習(xí)因子，以平衡算法的探索和開發(fā)能力；以模擬退火機(jī)制更新全局最優(yōu)粒子，同時(shí)兼顧距離因素，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)解的能力。采用25個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法在收斂精度、速度和穩(wěn)定性上都有更好表現(xiàn)。

關(guān)鍵詞： 群體智能；粒子群算法；個(gè)體最優(yōu)更新率；分工策略；模糊邏輯；模擬退火

中圖分類號(hào)： TP301? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

Particle Swarm Optimization Algorithm Based on Labor Division and Fuzzy Control

LI Jin1， ZHANG Jihui1， GAO Xueliu2， ZHANG Baohua2

（1.a.Institute of Complexity Science; b.Shandong Key Laboratory of Industrial Control Technology， Qingdao University， Qingdao? 266071， China; 2.Qingdao Port International Company， Ltd， Qingdao 266011， China）

Abstract： In order to overcome the shortages of the particle swarm optimization algorithm， such as low accuracy， slow convergence and falling into local optima， a particle swarm optimization algorithm based on labor division and fuzzy control is proposed， which improves the algorithm by using the division of labor， parameter adaptive adjustment and simulated annealing with distance factors. Particles are divided into scout and rearguard ones， the former searches randomly and the latter learns from the best individual solutions as well as the best global solution to ensure the diversity of population and to accelerate the search. A sigmoid function is used to adjust the inertial weight and fuzzy logic is applied to balance exploration and exploitation capability of the algorithm. The best global particle is updated according to simulated annealing with distance factors taken into account， which improves the ability of the algorithms to jump out of the local optima. Simulation experiments on 25 standard test functions show that the improved algorithm has better performance in terms of convergence accuracy， speed and stability.

Keywords： swarm intelligence; particle swarm optimization; individual optimal update rate; division of labor;fuzzy logic; simulated annealing

0 引言

粒子群算法（Particle Swarm Optimization， PSO）是Kennedy和Eberhart在1995年提出的一種群智能優(yōu)化算法［12］。雖然粒子群算法已廣泛應(yīng)用于特征選擇、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等諸多領(lǐng)域［38］，但仍存在容易陷入局部最優(yōu)、后期收斂速度慢、收斂精度不高等缺陷。為此，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)PSO進(jìn)行了很多優(yōu)化和改進(jìn)，具體研究集中于3個(gè)方面：1）對(duì)粒子群迭代策略進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，包括參數(shù)調(diào)整和迭代方案的優(yōu)化。文獻(xiàn)［9］提出了慣性系數(shù)線性遞減的方案（iwPSO）。文獻(xiàn)［10］用Sigmoid函數(shù)控制慣性權(quán)重，隨著迭代過程逐漸遞減，學(xué)習(xí)因子按照雙曲正切函數(shù)規(guī)律變化。文獻(xiàn)［11］提出了基于Sigmoid函數(shù)的加權(quán)策略，自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)因子，自適應(yīng)加權(quán)策略考慮了粒子的位置信息，提高了算法收斂速度。文獻(xiàn)［12］使用模糊邏輯，將6個(gè)種群信息作為輸入自適應(yīng)調(diào)整兩個(gè)學(xué)習(xí)因子。文獻(xiàn)［13］將粒子群根據(jù)適應(yīng)度排序分組，使用社會(huì)學(xué)習(xí)策略更新整合了更多種群信息，提高了算法的收斂速度和精度，在高維問題上有較好表現(xiàn)。2）對(duì)粒子種群的鄰域拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，利用更多種群信息。文獻(xiàn)［14］融合兩種鄰居拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將種群分為3個(gè)子種群，設(shè)定不同的學(xué)習(xí)因子，賦予各子種群不同的搜索任務(wù)，從而提升算法的綜合性能，在復(fù)雜多峰函數(shù)上有較好的魯棒性。文獻(xiàn)［15］將具有信息定向流動(dòng)的閉環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或四邊形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相結(jié)合，保證種群在多樣性和整體收斂性的平衡，實(shí)驗(yàn)表明其在收斂速度、精度和魯棒性上有更好表現(xiàn)。文獻(xiàn)［16］將粒子分組，考慮位置因素和適應(yīng)度因素，分別為各組粒子設(shè)置時(shí)變鄰域，增強(qiáng)了粒子間的交流，在處理復(fù)雜問題時(shí)有較好表現(xiàn)。3）將粒子群算法與其他算法進(jìn)行融合，利用其他算法的優(yōu)勢對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)［17］將粒子群算法與遺傳算法借助模糊邏輯進(jìn)行融合，引入的交叉和突變因子減小了粒子陷入局部最優(yōu)的幾率。文獻(xiàn)［18］將粒子群算法與模擬退火算法相結(jié)合，提出了一種自適應(yīng)模擬退火粒子群算法，自適應(yīng)調(diào)整算法參數(shù)，模擬退火機(jī)制加強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力，實(shí)驗(yàn)證明了算法在收斂速度、精度和穩(wěn)定性上的優(yōu)勢。

對(duì)于一些多峰、高維、復(fù)雜優(yōu)化問題，現(xiàn)有算法仍存在收斂精度低容易陷入局部最優(yōu)等問題［19］。為進(jìn)一步解決這些問題，提出了一種基于分工和模糊控制的粒子群算法（Particle Swarm Optimization Algorithm based on Labor Division and Fuzzy Controling， LDFSPSO）。利用模擬退火的思想增強(qiáng)種群跳出局部最優(yōu)的能力，避免算法陷入局部最優(yōu)，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的基礎(chǔ)上，使用了3種改進(jìn)策略進(jìn)行改進(jìn)：1） 分工策略：受樽海鞘群算法（Salp Swarm Algorithm， SSA）［20］啟發(fā)，將種群分為偵察粒子和后衛(wèi)粒子，執(zhí)行不同迭代方案，加快收斂速度，同時(shí)適當(dāng)增強(qiáng)種群多樣性，防止陷入局部最優(yōu)；2）參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略：使用Sigmoid型函數(shù)控制慣性權(quán)重，考慮迭代進(jìn)程和種群信息的雙輸入雙輸出模糊系統(tǒng)控制學(xué)習(xí)因子，以平衡算法的全局搜索能力和局部尋優(yōu)能力；3）融合距離因素的模擬退火策略：引入模擬退火機(jī)制的同時(shí)，為減少其對(duì)尋優(yōu)效率的影響，定義基于距離判斷的模擬退火因子，減少模擬退火機(jī)制對(duì)尋優(yōu)過程的負(fù)面影響。將所提算法在多種維度的25個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，并與iwPSO，SAPSO［18］，SSA進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，對(duì)于大多數(shù)基準(zhǔn)函數(shù)，改進(jìn)算法有較好的效果。

1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

由N個(gè)粒子組成的群體在D維搜索空間中以一定的速度飛行，每個(gè)粒子在考慮自身搜索經(jīng)驗(yàn)和群體搜索經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代尋優(yōu)。在迭代中，第i個(gè)粒子的位置Xi= （xi1， xi2，…， xiD）T代表問題的一個(gè)解，速度為Vi= （vi1， vi2， …， viD）T，個(gè)體最優(yōu)位置為Pbesti= （pbesti1， pbesti2， … ， pbestiD）T，全局最優(yōu)位置為Gbest= （gbest1， gbest2 ， …， gbestD）T。粒子的速度和位置按照式（1）更新：

在設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)規(guī)則時(shí)，考慮如下基本原則：隨著迭代過程， c1逐漸降低，c2逐漸增大；種群多樣性大時(shí)增強(qiáng)探索能力，增大c1，減小c2；種群多樣性小時(shí)增強(qiáng)開發(fā)能力，減小c1，增大c2；在迭代初期要保證較高的探索能力，在迭代末期要保持較高的開發(fā)能力。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模糊規(guī)則的設(shè)計(jì)，模糊規(guī)則如表1所示。

2.3 融合距離因素的模擬退火策略

模擬退火算法中依概率接受劣解的思想可以增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)解的能力。在模擬退火算法的基礎(chǔ)上，為減少得到的新解與舊解落在同一個(gè)局部最優(yōu)解附近從而影響尋優(yōu)效率的情況出現(xiàn)，定義融合距離因素的模擬退火因子pk，在更新Gbest時(shí)允許其依概率pk接受差解，且pk隨迭代進(jìn)行遞減，計(jì)算方式為

其中，δ為判斷系數(shù)，dki為新解Xi與Gbest之間的歐氏距離，dkmin為兩兩粒子之間的最短距離，Tk為第k次迭代中的溫度。

2.4 改進(jìn)算法流程

基于以上描述，提出的LDFSPSO算法基本流程為：

步驟1，設(shè)定算法參數(shù)，初始化粒子群得到初始種群，設(shè)置初代Pbest；

步驟2，計(jì)算各粒子適應(yīng)度，設(shè)置初代Gbest，求解distance_gbi；

步驟3，據(jù)式（4）和（15）分別設(shè)置rpb，T；

步驟4，據(jù)分工策略將粒子重新排序，將粒子分為偵察粒子和后衛(wèi)粒子；

步驟5，由式（8）～（10）計(jì)算模糊系統(tǒng)的輸入指標(biāo)，由式（7）更新ω，由模糊系統(tǒng)更新c1和c2，式（6）更新α；

步驟6，偵察粒子和后衛(wèi)粒子分別按式（5）～（6），（1）～（2）進(jìn)行更新；

步驟7，求解各粒子適應(yīng)度，更新Pbest，統(tǒng)計(jì)nupdate，依據(jù)融合距離因素的模擬退火策略更新Gbest；

步驟8，判斷是否達(dá)到終止條件，若達(dá)到則輸出最優(yōu)適應(yīng)度值，結(jié)束算法，否則返回步驟3。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

在Matlab R2016a環(huán)境下，使用處理器為Intel（R） Core（TM） i7-6700 CPU 3.41GHz，內(nèi)存為16G的計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。使用單峰、多峰、固定維多峰三種類型，共25個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真測試。表2給出了標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的名稱、搜索范圍和最優(yōu)值。實(shí)驗(yàn)選取的25個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)中：f1～f7為單峰標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，均具有唯一局部極值點(diǎn)，即全局最優(yōu)點(diǎn)，該類型函數(shù)可用于測試算法的局部開發(fā)能力，檢驗(yàn)算法的收斂速度；f8～f15為多峰標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，具有多局部極值點(diǎn)和唯一全局最優(yōu)點(diǎn)，可用于檢測算法跳出局部最優(yōu)的能力，測試算法的全局尋優(yōu)能力；f16～f25為固定維多峰標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，該類型函數(shù)擁有的局部最優(yōu)點(diǎn)數(shù)量少，貼近實(shí)際的工程優(yōu)化問題。

3.1 算法性能測試

為測試LDFSPSO的性能，選擇iwPSO，SAPSO，SSA進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過前期仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，增加SSA中領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目可以提高SSA算法的性能。為增強(qiáng)SSA算法的搜索能力，將SSA中領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)目由1個(gè)增加為種群數(shù)目的一半，其余參數(shù)均按文獻(xiàn)［19］設(shè)置。為驗(yàn)證LDFSPSO中分工策略的有效性，與去除分工策略的算法（Fuzzy Adaptive Simulated Annealing PSO，F(xiàn)SPSO）進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。為驗(yàn)證參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略的有效性，與去除參數(shù)模糊自適應(yīng)策略的算法（Simulated Annealing PSO based on Labor Division，LDSPSO）進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。算法均設(shè)置種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)kmax=1000，ωmax=0.95，ωmin=0.4。各算法其他參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［18］相同。將f1～f15在10維、30維、50維和100維，f16～f25在固定維度下獨(dú)立運(yùn)行30次。為充分考慮算法的性能，記錄不同算法所得結(jié)果的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，限于篇幅，表3只列出了100維測試函數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。為對(duì)比各維度下算法表現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)各算法的最佳表現(xiàn)次數(shù)，如圖4所示。

由圖4可知，在大部分實(shí)驗(yàn)中，LDFSPSO的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)表現(xiàn)優(yōu)秀，在整體上表現(xiàn)出了較高的尋優(yōu)精度和較強(qiáng)的開發(fā)能力。通過與iwPSO，SAPSO，SSA這3種算法進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于100維問題，LDFSPSO在穩(wěn)定性和尋優(yōu)能力上都有最好的表現(xiàn)。對(duì)于單峰問題，LDFSPSO在絕大多數(shù)問題上表現(xiàn)最好。對(duì)于多峰問題，LDFSPSO能在f3～f11上取得最好的效果。對(duì)于f15，隨著問題維度的升高，局部最優(yōu)解數(shù)量大量增加，盲目搜索極易陷入局部最優(yōu)，LDFSPSO擁有向Pbest和Gbest學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，兼具一定的隨機(jī)搜索能力，且模擬退火策略增加了跳出局部最優(yōu)的能力，故能取得最好的效果。

對(duì)于固定維多峰函數(shù)，LDFSPSO在所有測試問題上都有最好的表現(xiàn)，驗(yàn)證了本文算法在跳出局部最優(yōu)能力上的優(yōu)勢，限于篇幅不再列出具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

3.2 各策略作用分析

為驗(yàn)證LDFSPSO中改進(jìn)策略的有效性，設(shè)計(jì)了與LDSPSO、FSPSO的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表3。 LDFSPSO整體性能最好，其次是LDSPSO和FSPSO。LDFSPSO中分工策略使得偵察粒子能夠在較好的解附近進(jìn)行偵察操作，搜索可能更有價(jià)值的位置，原有的學(xué)習(xí)機(jī)制使算法保持了向Pbest和Gbest學(xué)習(xí)的能力。此外，在參數(shù)調(diào)整時(shí)充分利用種群信息可以獲得算法探索和開發(fā)能力更好的平衡。各策略的綜合作用使得LDFSPSO取得較好的效果。

3.3 LDFSPSO粒子分布情況分析

為驗(yàn)證LDFSPSO的優(yōu)勢，以2維Sphere和Schwefel函數(shù)為例，跟蹤LDFSPSO算法中粒子分布情況，如圖5～圖6所示，兩圖中背景為等值線圖，等值線顏色越深代表值越小，對(duì)于極小化問題意味著解越優(yōu)秀。

Sphere函數(shù)只有一個(gè)全局最優(yōu)解，理論最優(yōu)解為原點(diǎn)。在第2次迭代時(shí)，群體最優(yōu)粒子就找到了全局最優(yōu)解的位置，據(jù)圖5所示，在第80代時(shí)，所有個(gè)體最優(yōu)粒子均已收斂到全局最優(yōu)解附近，表明算法有較快的收斂速度。

Schwefel函數(shù)有搜索空間大、局部最優(yōu)點(diǎn)多且分布不規(guī)則等特點(diǎn)，其理論全局最優(yōu)解為［420.968 7，…，420.968 7］。圖6a～c中，群體最優(yōu)粒子迅速向全局最優(yōu)解靠近，可以發(fā)現(xiàn)本文算法有較強(qiáng)的全局搜索能力，圖6d～f中，可以發(fā)現(xiàn)在迭代中后期，算法仍能保持較好的開發(fā)能力，在1 000代時(shí)所有粒子都收斂在理論全局最優(yōu)解附近。

3.4 穩(wěn)定性對(duì)比

箱線圖可以描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的情況，反映數(shù)據(jù)分布的中心位置和散布范圍，揭示數(shù)據(jù)離散程度、異常值、分布差異等。從表3可知，LDFSPSO表現(xiàn)出了更好的穩(wěn)定性。為進(jìn)一步對(duì)比分析算法的穩(wěn)定性，將測試函數(shù)在各算法下獨(dú)立運(yùn)行30次的結(jié)果繪制成箱線圖，限于篇幅，這里只展示部分函數(shù)的數(shù)據(jù)箱線圖，如圖7所示。觀察箱線圖中的適應(yīng)度的中值、離群值等信息，可以看到即使在高維多峰問題和復(fù)雜固定維多峰問題上，LDFSPSO仍有最佳的精度和穩(wěn)定性。

3.5 收斂情況對(duì)比

為觀察LDFSPSO的收斂速度、精度及跳出局部最優(yōu)的能力，將不同維度下各測試函數(shù)的迭代情況繪制成收斂曲線圖。限于論文篇幅，圖8只給出了各對(duì)比實(shí)驗(yàn)中部分函數(shù)的收斂曲線。在圖8a和8b中可以看出，在一些單峰問題上，LDSAPSO收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于對(duì)比算法，表明引入分工機(jī)制后，通過對(duì)粒子進(jìn)行排序分工，提升了算法收斂速度和精度。在圖8c和8f中可以看出，面對(duì)多峰問題，LDSAPSO在引入分工機(jī)制和模擬退火因子后，可以增強(qiáng)全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)。為做好探索和開發(fā)之間的平衡，參數(shù)模糊自適應(yīng)調(diào)整需要利用更多種群信息，降低收斂速度，這對(duì)于復(fù)雜、多峰問題是必要的，對(duì)于一些簡單、單峰問題，參數(shù)線性調(diào)整策略也有很好的表現(xiàn)。

4 結(jié)論

融合3種策略，提出了一種基于分工和模糊控制的粒子群算法。分工策略提高種群多樣性，加快算法收斂速度；參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略和融合距離因素的模擬退火策略增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，平衡算法的探索和開發(fā)能力。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，改進(jìn)算法整體上可以取得不錯(cuò)的效果。工程實(shí)踐中有很多問題是帶約束的優(yōu)化問題，下一步工作將研究約束優(yōu)化問題的求解，如何將約束處理機(jī)制與算法有機(jī)結(jié)合將是后續(xù)研究的重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］KENNEDY J， EBERHART R. Particle swarm optimization［C］//International Conference on Neural Networks. Piscataway： IEEE， 1995，4： 1942－1948.

［2］WANG D S， TAN D P， LIU L. Particle swarm optimization algorithm： an overview［J］. Soft Computing， 2018， 22（2）： 387－408.

［3］WANG F， ZHANG H， ZHOU A. A particle swarm optimization algorithm for mixed-variable optimization problems［J］. Swarm and Evolutionary Computation， 2021， 60（2）： 100808.

［4］CHEN K， XUE B， ZHANG M ，et al. Correlation-guided updating strategy for feature selection in classification with surrogate-assisted particle swarm optimization［J］. IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2022，26（5）：1015－1029.

［5］JUNIOR F， YEN G. Particle swarm optimization of deep neural networks architectures for image classification［J］. Swarm and Evolutionary Computation， 2019， 49： 62－74.

［6］LIU Y， LIU J， JIN Y. Surrogate-assisted multipopulation particle swarm optimizer for high-dimensional expensive optimization［J］. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2022， 52（7）： 4671－4684.

［7］卿東升，鄧巧玲，李建軍，等.基于粒子群算法的滿載需求可拆分車輛路徑規(guī)劃［J］.控制與決策， 2021， 36（6）： 1397－1406.

QING D S， DENG Q L， LI J J ，et al. Split vehicle route planning with full load demand based on particle swarm optimization［J］. Control and Decision， 2021， 36（6）： 1397－1406.

［8］帥茂杭，熊國江，胡曉，等.基于改進(jìn)多目標(biāo)骨干粒子群算法的電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度［J］.控制與決策， 2022， 37（4）： 997－1004.

SHUAI M H， XIONG G J， HU X ，et al. Economic emission dispatch of power system based on improved bare-bone multi-objective particle swarm optimization algorithm［J］. Control and Decision， 2022， 37（4）： 997－1004.

［9］SHI Y， Eberhart R. A modified particle swarm optimizer［C］//IEEE International Conference on Evolutionary Computation. Anchorage，AK，USA：IEEE， 1998： 69－73.

［10］ 路復(fù)宇，童寧寧，馮為可，等.自適應(yīng)雜交退火粒子群優(yōu)化算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2022，44（11）：3470-3476.

LU F Y， TONG N N， FENG W K ，et al. Adaptive hybrid annealing particle swarm optimization algorith-m［J］. Systems Engineering and Electronics，2022，44（11）：3470-3476.

［11］ LIU W， WANG Z， YUAN Y， et al. A novel sigmoid-function-based adaptive weighted particle swarm optimizer［J］. IEEE Transactions on Cybernetics， 2021， 51（2）： 1085－1093.

［12］ NESHAT M. FAIPSO： fuzzy adaptive informed particle swarm optimization［J］. Neural Computing & Applications， 2013， 23（1）： S95－S116.

［13］ MENG Z Y， ZHONG Y X， MAO G J ，et al. Pso-sono：a novel pso variant for single-objective numerical optimization［J］. Information Sciences， 2022， 586： 176－191.

［14］ 鄧先禮，魏波，曾輝，等.基于多種群的自適應(yīng)遷移PSO算法［J］.電子學(xué)報(bào)， 2018， 46（8）： 1858－1865.

DENG X L， WEI B， ZENG H ，et al. A multi-population based self-adaptive migration PSO［J］. ACTA ELECTRONICA SINICA， 2018， 46（8）： 1858－1865.

［15］ 許勝才，蔡軍，程昀，等. 基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與粒子變異改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法［J］.控制與決策， 2019， 34（2）： 419－428.

XU S C， CAI J， CHENG Y ，et al. Modified particle swarm optimization algorithms based on topology and particle mutation［J］. Control and Decision， 2019， 34（2）： 419－428.

［16］ LI H， LI J， WU P S， et al. A ranking-system-based switching particle swarm optimizer with dynamic learning strategies［J］. Neurocomputing， 2022， 494： 356－367.

［17］ DZIWINSKI P， BARTCZUK L. A new hybrid particle swarm optimization and genetic algorithm method controlled by fuzzy logic［J］. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2019， 28（6）： 1140－1154.

［18］ 閆群民，馬瑞卿，馬永翔，等.一種自適應(yīng)模擬退火粒子群優(yōu)化算法［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 48（4）： 120－127.

YAN Q M， MA R Q， MA Y X ，et al. Adaptive simulated annealing particle swarm optimization algorithm.［J］ Joural of Xidian University， 2021， 48（4）： 120－127.

［19］ 黃晨晨，魏霞，黃德啟，等.求解高維復(fù)雜函數(shù)的混合蛙跳–灰狼優(yōu)化算法［J］. 控制理論與應(yīng)用， 2020，37（7）： 1655－1666.

HUANG C C， WEI X， HUANG D Q ，et al. Shuffled frog leaping grey wolf algorithm for solving high dimensional complex functions［J］. Control Theory & Applications， 2020， 37（7）： 1655－1666.

［20］ MIRJALILI S， GANDOMI A H， Mirjalili S Z ，et al. Salp swarm algorithm： a bio-inspired optimizer for engineering design problems［J］. Advances in Engineering Software， 2017， 114： 163－191.

［21］ 王英聰，劉軍輝，肖人彬.基于刺激響應(yīng)分工機(jī)制的人工蜂群算法［J］.控制與決策， 2022， 37（4）： 881－891.

WANG Y C， LIU J H， XIAO R B ，et al. Artifificial bee colony algorithm based on stimulus-response labor division［J］. Control and Decision， 2022， 37（4）： 881－891.

（責(zé)任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－10－16；修回日期：2022－11－17

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（61673228，62072260）；青島市科技計(jì)劃（21-1-2-16-zhz）

第一作者： 李金（1996－），男，山東泰安人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化方法。

通信作者： 張紀(jì)會(huì)（1969－），男，山東青島人，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模、智能優(yōu)化理論與方法。