我們在解決幾何問題時一般是從已知圖形中提煉和分離出基本圖形，然后分別得出相應(yīng)結(jié)論，最終指向問題的解決方法。下面以蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊第85頁的習(xí)題及其拓展為例，說說如何聚焦基本圖形，培養(yǎng)幾何直觀。

原題呈現(xiàn) 小軍想出了一個測量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖1）。設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度。

【解析】由物理的鏡面反射知∠ACB=∠ECD，又因?yàn)椤螦BC=∠EDC=90°，可得△ABC∽△EDC，則[ABED]=[BCCD]，即[AB1.65]=[603]，可求出AB長為33m。

【變式拓展】已知：如圖2，AB⊥BD，DE⊥BD，垂足分別為B、D，且AB=1，BD=4，點(diǎn)C是線段BD上一動點(diǎn)。

問題1 若DE=3，當(dāng)BC為何值時，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似？

【解析】∠ABC=∠EDC=90°，相當(dāng)于兩個三角形已經(jīng)存在一組角相等，要判定它們相似，還需要有另一組角相等，或這組角的兩夾邊成比例。于是，有兩種情況：若△ABC∽△EDC，則[ABDE]=[BCCD]，即[13]=[BC4-BC]，解得BC=1，解法依據(jù)鏡面反射圖（圖1）；若△ABC∽△CDE，則[ABCD]=[BCDE]，即[14-BC]=[BC3]，解得BC=1或3，得到另一個基本圖形“K”型圖（圖3），由相似的性質(zhì)可以證明AC⊥CE。

問題2 如圖4，當(dāng)DE=3.5時，用直尺和圓規(guī)在BD上作出所有使△ABC與△CDE相似的點(diǎn)C。（不寫作法，保留作圖痕跡。）

【解析】由鏡面反射的模型圖聯(lián)想到軸對稱性作法：延長AB，作點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)A′，連接A′E，交BD于點(diǎn)C1（或平行線分線段成比例的作法：畫一條射線BP，在射線BP上依次截取BF=FG=GH=HI=IJ=JK=KL=LM=MN，連接ND，過點(diǎn)G作ND的平行線交BD于點(diǎn)C1）。由“K”型圖知道∠ACE=90°，依據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，所以連接AE，以AE為直徑作圓交BD于點(diǎn)C2、C3。

問題3 對于每一個確定的DE的值，BD上存在幾個點(diǎn)C，使得△ABC與△CDE相似？

【解析】由鏡面反射的模型圖可知，無論DE的長為多少，只能確定一個C1點(diǎn)；由“K”型圖（圖5）知道以AE為直徑的圓與BD的位置關(guān)系決定點(diǎn)C2與C3的存在性。如圖6，以AE為直徑的⊙O與BD相切于點(diǎn)C，所以O(shè)C⊥BD，于是AB∥OC∥DE。由平行線分線段成比例得到C為BD中點(diǎn)。由△ABC∽△CDE，得[12]=[2DE]，所以DE=4。由問題1知道，當(dāng)BC=1，DE=3時，兩個點(diǎn)C重合。所以當(dāng)1＜DE＜4且DE≠3時，存在3個點(diǎn)C；當(dāng)DE=3或4時，存在2個點(diǎn)C；當(dāng)DE＞4時，存在1個點(diǎn)C。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）