在足球比賽開賽時，主裁判一般以拋擲硬幣的方式?jīng)Q定比賽的開球方。如果我們問拋擲一枚質(zhì)地均勻的一元硬幣，正面朝上的概率是多少呢？我想大家都會不假思索說是[12]。但在實際拋擲試驗中，會出現(xiàn)以下問題：拋擲了3次，有2次正面朝上，甚至還會出現(xiàn)3次正面朝上，顯然，此時正面朝上的概率不是[12]了，這是什么原因呢？這可能會動搖我們起初的判斷，覺得拋擲硬幣正面朝上的概率不一定是[12]。也許，有的同學(xué)可能會說是因為試驗次數(shù)不夠多，當(dāng)試驗次數(shù)足夠多的時候，概率就是[12]了。但實際情況是，拋擲硬幣的試驗結(jié)果可能不是預(yù)想的[12]，甚至看上去與[12]沒有關(guān)系。

首先以拋擲硬幣3次，2次正面朝上為例，3次是試驗的總次數(shù)，2次是正面朝上的頻數(shù)，頻數(shù)除以總次數(shù)，從而獲得頻率，此時頻率為[23]。頻率在試驗前是不確定的，每個試驗結(jié)果可能不同，但概率是客觀存在的。若試驗的次數(shù)足夠多，頻率的變化情況會趨于穩(wěn)定，這個頻率的數(shù)值是由事物自身屬性決定的。大量試驗證實，拋擲硬幣正面朝上的頻率值總是在[12]附近趨向穩(wěn)定。拋擲一枚硬幣是一個獨立事件，硬幣正面朝上的概率是[12]。而實際試驗的頻率值不是[12]，這正體現(xiàn)了隨機(jī)事件的隨機(jī)性。因此，并不是試驗次數(shù)足夠多，頻率就一定接近[12]，我們只能說隨著試驗次數(shù)增多，其頻率值表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性，此時，就可以用這個穩(wěn)定的頻率值來估計概率。

教師點評

同學(xué)們在概率的學(xué)習(xí)中，可能會困惑于“用頻率估計概率”。汪同學(xué)以拋擲硬幣的試驗為例，分析了概率與頻率的關(guān)系，使我們對隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和頻率的穩(wěn)定性有了更清晰的認(rèn)識，幫助我們理解了概率模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（指導(dǎo)教師：孫凱）