秦再梅,倪 萌,王羅那
(1.長興金陵高級中學,浙江 長興 313100;2.湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州 313000)
《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“新課標”)提出,要進一步精選學科內(nèi)容,重視以學科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化;以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進學科核心素養(yǎng)的落實[1].數(shù)學概念是數(shù)學學習的基礎(chǔ),數(shù)學概念教學對數(shù)學教學至關(guān)重要.理解數(shù)學概念是真正實現(xiàn)學生數(shù)學發(fā)展的前提.
無論是目前已有的數(shù)學概念教學模式的研究,還是數(shù)學教材編排的研究,大都從實例或情境出發(fā),歸納共性,抽象概念.概念教學方法單一,看似是學生直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的結(jié)合,是實現(xiàn)以學生為本的發(fā)現(xiàn)學習.在實際教學中,易形成以結(jié)果為導向、過程形式化的教學模式.概念不是數(shù)學家們憑空構(gòu)造的,有著產(chǎn)生發(fā)展的合理性和必要性.在概念教學中介紹數(shù)學概念的歷史發(fā)展,有助于幫助學生理解概念,從而形成完整的概念體系.本文基于數(shù)學史對數(shù)學概念教學模式進行探索,并以“弧度制”教學為例進行教學實踐.
數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映,是建立數(shù)學法則、公式、定理的基礎(chǔ),也是運算、推理、判斷和證明的基石,更是數(shù)學思維、交流的工具[2].數(shù)學概念主要來源于兩個方面:一是對現(xiàn)實世界事物或關(guān)系的直接抽象;二是抽象邏輯的純數(shù)學構(gòu)造.抽象是形成概念的必要手段,在概念教學中,除幫助學生理解和掌握數(shù)學概念外,其教學過程也是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的良好載體.
數(shù)學概念的學習包括兩種基本方式:概念形成和概念同化.概念形成是從多個不同的具體實例或情境出發(fā),引導學生發(fā)現(xiàn)共同特征,抽象出概念的本質(zhì)屬性,從而得到概念.概念同化是從學生已掌握的概念出發(fā),通過新舊概念之間的聯(lián)系,使學生掌握新概念.已有的概念教學模式大多采用這兩種方式,有時也會將這兩種方式結(jié)合運用.例如,張敏提出概念教學的框架結(jié)構(gòu):創(chuàng)設(shè)情境→歸納共性→概括定義→深化理解,即從典型、豐富的具體實例出發(fā),通過自己的實踐活動,由具體到抽象、由特殊到一般,從中歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征,從而理解和掌握概念[3];潘超提出概念教學的框架結(jié)構(gòu):辨別實例,概括屬性(建立表象)→抽象本質(zhì);提出定義(定義概念)→聯(lián)系舊知,辨析概念(辨析概念)→強化應(yīng)用,明確外延(應(yīng)用概念)→融合概念,形成體系[4].另外,以人教版普通高中《數(shù)學》教科書必修第一冊中3個核心概念為例,集合概念是以學生生活中和數(shù)學中的10個例子作為導入;函數(shù)概念是以“復興號”高速列車行進路程和時間、電氣維修公司工作工資和天數(shù)、北京空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖、國際上常用的恩格爾系數(shù)4個問題情境作為導入;三角函數(shù)概念是以數(shù)學情境作為導入,給出概念定義.這類概念教學模式存在著弊端,如果說得到概念是教學目標,那么在一步步的教學流程中,學生的反應(yīng)則是被設(shè)定好的,即需要在教師的引導下,歸納出特定共性,抽象出正確概念.而學生在這樣的概念課學習中會產(chǎn)生一些常見的疑問,如這個概念是怎么產(chǎn)生的?(必要性)為什么要學習這個概念?(重要性)等.這是現(xiàn)有的概念教學模式所忽視的.
數(shù)學的嚴謹呈現(xiàn)為“冰冷的美麗”,但數(shù)學的發(fā)現(xiàn)卻是“火熱的思考”[5].概念教學應(yīng)將概念的形成和發(fā)展過程盡可能地展示給學生,以實現(xiàn)學生對概念的深入理解.新課標提出,在教學活動中,教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學內(nèi)容,將數(shù)學文化滲透在日常教學中,引導學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程.將數(shù)學文化融入教學,有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,開拓學生的視野,提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)[6].數(shù)學史記載著數(shù)學知識和思想的形成過程,有助于教師理解數(shù)學學科的整體結(jié)構(gòu)、思想方法和特定主題,以及預(yù)測和評判學生的認知困難.因為個體對數(shù)學理解的發(fā)展遵循數(shù)學思想的歷史發(fā)展順序,即通常所說的“ 歷史相似性”.正如弗賴登塔爾認為:“ 年輕的學習者重蹈人類的學習過程,盡管方式改變了”[7].教師可以借助概念歷史發(fā)展把握教學內(nèi)容和學生現(xiàn)實,以實現(xiàn)有效教學.本文基于數(shù)學史對數(shù)學概念教學模式進行探索,構(gòu)建引入歷史使概念發(fā)現(xiàn)化、創(chuàng)設(shè)情境使概念具體化、合作探究使概念抽象化、精準定義使概念規(guī)范化、正確應(yīng)用使概念理解化5個環(huán)節(jié)的概念教學模式,見圖1.
弧度制是高中階段學習的一個重要數(shù)學概念,其本質(zhì)是以長度來度量角大小的單位制.弧度制是學習三角函數(shù)的基礎(chǔ),是幾何與代數(shù)聯(lián)系的橋梁,有利于實現(xiàn)數(shù)學公式的簡潔性和數(shù)學體系的一致性.本文以“弧度制”教學為例,探討基于數(shù)學史的數(shù)學概念教學模式.
數(shù)學是一門抽象的科學,但并不脫離生活現(xiàn)實,其形成和發(fā)展的基礎(chǔ)來源于人們對現(xiàn)實生活的理解.新課標提出“四基”,即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.掌握基礎(chǔ)知識是形成基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的基礎(chǔ).而數(shù)學概念是數(shù)學基礎(chǔ)知識的基石,其產(chǎn)生和發(fā)展也有其合理性和必要性.然而,傳統(tǒng)的概念教學往往忽視數(shù)學概念產(chǎn)生的歷史,數(shù)學教材一般將數(shù)學史作為拓展放在前言或結(jié)尾,教師在實際的教學中常常簡單帶過,或直接跳過交由學生課下自主閱讀.若教師能夠向?qū)W生介紹概念的歷史發(fā)展,將學生代入前人的角色,并體驗概念發(fā)現(xiàn)的過程,實現(xiàn)概念的發(fā)現(xiàn)化,則將會更好地激發(fā)學生的學習興趣,改變學生認為數(shù)學概念完全是由數(shù)學家們閉門造車產(chǎn)生出來的錯誤觀念.同時,教師在收集相關(guān)數(shù)學概念史資料的過程中,也會對概念的內(nèi)涵和外延認識得更加深入,對學生在學習概念時遇到的困難也會有更全面的預(yù)估.
例如,在“弧度制”概念教學中,教師可首先介紹角度制:約在公元前2 000年,古巴比倫人認為一年大約有360天,創(chuàng)設(shè)性地將圓周劃分為360度,每度分為60分,每分再劃分為60秒.而引入弧度制不僅僅是方便計算或人們更習慣用長度來衡量一個量,更重要的是實現(xiàn)幾何與代數(shù)的聯(lián)系.1748年,瑞士數(shù)學家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中提出用半徑來作為弧長的度量單位,使一個圓周角等于2π弧度,這就是現(xiàn)在所學習的弧度制的來源.通過了解數(shù)學史,學生可以經(jīng)歷弧度制概念形成的過程,更好地了解概念,感受數(shù)學的魅力.
數(shù)學學科多是抽象的,其學習過程需要學生具有極強的邏輯思維能力和抽象思維能力.很多學生對數(shù)學學習的感受是難且枯燥.針對這種情況,教師在概念教學時應(yīng)創(chuàng)設(shè)豐富多樣的實例或情境,實現(xiàn)概念具體化;在增加課堂趣味性的同時,拉近數(shù)學與實際生活的距離,讓學生感受數(shù)學的重要性,從而提高學生學習的積極性;通過創(chuàng)設(shè)情境驅(qū)動學生學習,在簡單問題鏈的設(shè)置下關(guān)注知識的自然生長,引領(lǐng)學生的思維發(fā)展,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)[8].
例如,在“弧度制”概念教學中,可創(chuàng)設(shè)情境:在沒有量角器的情況下度量學校花壇的大小.針對此情境,教師可用問題驅(qū)動的方式來完善情境設(shè)計,并推動學生進入情境開始思考.
問題1在之前的數(shù)學學習中,我們學習了長度、面積、體積等量,度量這些量需要不同的單位.而單位是非常需要注意的,如身高1.8 m,如果用單位cm,就應(yīng)寫成身高180 cm,否則就會鬧笑話.那我們用什么工具度量角度的大小?度量角度的單位是什么?
學生答:用量角器度量角度的大小,度量的單位是度(°).
問題2圖2是校園花壇,若我們手上的工具只有皮尺,沒有量角工具,如何測算每一個扇形的面積?前面我向大家介紹了古巴比倫人和歐拉的智慧,如果代入數(shù)學家們的思維,他們會如何解決此問題?
設(shè)計意圖:在創(chuàng)設(shè)情境中,只有皮尺測量長度,由此引發(fā)學生思考:僅有長度,如何測量和計算扇形的面積.同時引導學生利用前面弧度制歷史發(fā)展的介紹,理解弧度制出現(xiàn)的必要性,代入數(shù)學家角色嘗試用長度度量角度.
在創(chuàng)設(shè)情境中,教師也可用實物來激發(fā)學生興趣.例如,在講解指數(shù)函數(shù)時,可通過折疊報紙讓學生理解指數(shù)的特征;在概念教學時,可通過創(chuàng)設(shè)與學生日常生活息息相關(guān)的教學情境,為學生營造出積極、和諧的學習氛圍,并通過問題驅(qū)動的方式提高學生在數(shù)學課堂學習中的參與度和主動性.
在教學過程中,教師需要充分調(diào)動和發(fā)揮學生的主體性,正確處理預(yù)設(shè)與生成之間的關(guān)系,即在概念教學過程中實現(xiàn)學生從預(yù)設(shè)具體情境中生成抽象概念的自然性.數(shù)學概念的生成是一個循序漸進的過程.通過合作探究的方式可以營造一種主動研究、探索和不斷創(chuàng)新的氛圍,使學生間相互合作、充分互動,給學生提供解決思維困頓的契機,使學生的邏輯思維更加縝密,在教師的引導下一步步探求概念本質(zhì),從而實現(xiàn)概念的抽象化[9].
例如,在“弧度制”概念教學中,可創(chuàng)設(shè)以下探究題目:
(1)請學生通過動手畫圖的方式,將花壇用數(shù)學語言表述(圖3),形成數(shù)學問題.
(2)以O(shè)為圓心,C、D和B、A分別在同一圓上,使用皮尺測量對應(yīng)的弧長和半徑.
①弧CD和弧BA所對應(yīng)的圓心角是多少?相等嗎?
②弧CD和弧BA與其所在圓的半徑比值分別為多少?相等嗎?
探究要求:學生按照教師的要求合作畫圖,探究弧度制的本質(zhì),并請一位學生代表本小組交流探究結(jié)論.
設(shè)計意圖:讓學生全程自己動手,合作探究用圓心角所對弧長與半徑的比值來度量對應(yīng)圓心角是否合理,使學生對弧度制的理解更加深刻.從具體情境中理解概念本質(zhì),實現(xiàn)概念抽象化,有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維和邏輯推理的能力.
考慮到學生的數(shù)學認知水平,要實現(xiàn)用數(shù)學語言準確表述數(shù)學概念的定義是有難度的.而數(shù)學概念是非常精煉且嚴謹?shù)?不能多一個字或少一個字.學生合作探究抽象出的數(shù)學概念可能會比較接近概念的定義,但還是會有差距的,這就要求教師適時點出概念,并對概念中的每一個詞語作準確的解釋,對比學生合作探究得出的概念抽象結(jié)論,將概念講清楚、講透徹,從而使學生準確把握概念的本質(zhì),實現(xiàn)概念的規(guī)范化.
例如,在“弧度制”概念教學中,可設(shè)計以下表格(表1),讓學生發(fā)現(xiàn)弧度制長度(l)與圓心角(n)的關(guān)系.
學生1:圓心角相等的扇形,它們的弧長與半徑之比不變.
學生2:當改變扇形圓心角大小時,上述比值會隨之改變.
教師適時點出概念,規(guī)范定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角稱作1弧度(radian)的角,弧度單位用符號rad表示,讀作弧度.
概念教學本身是比較有難度的,在考試中對概念的考察也常在應(yīng)用方面.因此,很多教師盡管明白數(shù)學概念的基礎(chǔ)性和重要性,但在實際教學中還是會為提高教學速度和效率而忽視概念理解,將大部分的教學時間放在概念的應(yīng)用方面,從而陷入概念教學的誤區(qū).應(yīng)用概念是為更好地理解概念,而理解概念才能真正實現(xiàn)有效教學,幫助學生正確地應(yīng)用概念.概念教學是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié),能否對概念進行正確地應(yīng)用是概念教學重要的一部分.[10]數(shù)學概念是抽象的,為幫助學生深入理解數(shù)學概念,在概念教學過程中,教師應(yīng)注意把課堂還給學生,給學生留出練習思考的時間,引導學生從應(yīng)用概念中發(fā)現(xiàn)問題、討論問題和解決問題,以實現(xiàn)對數(shù)學概念的內(nèi)化和對概念體系的構(gòu)建.是否能夠正確地應(yīng)用概念也是衡量概念教學質(zhì)量的重要標準.
例如,在“弧度制”概念教學中,教師可引導學生畫出花壇的簡單數(shù)學模型(圖4).通過運用尺子,直接測量出花壇的半徑.
問題已知每個扇形的大小相同,假設(shè)測量出的花壇半徑為50 m.分別用角度制和弧度制的方式,求出每個扇形的弧長為多少?
設(shè)計意圖:在規(guī)范弧度制概念定義后,設(shè)計一些關(guān)于弧度角的實際練習和問題情境,如弧度與角度之間的相互轉(zhuǎn)化、扇形的弧長面積等,讓學生再次解決創(chuàng)設(shè)情境中的問題,從而幫助學生正確應(yīng)用概念,實現(xiàn)有效的概念教學.
歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現(xiàn)各個數(shù)學概念,減小各知識點之間的跨越度,從而為開展課堂活動提供生動而有意義的資料.如何將數(shù)學史與課堂相結(jié)合?首先,教師必須了解本學科的基本發(fā)展史,并在此基礎(chǔ)上確定其中關(guān)鍵的發(fā)展步驟,如一些認知障礙的出現(xiàn);然后,按照課堂和學生的實際情況重新構(gòu)建這些關(guān)鍵步驟,直接或間接地使用歷史材料設(shè)計教學方案.真正實現(xiàn)基于數(shù)學概念歷史發(fā)展的概念教學,不僅需要教師增強數(shù)學史的知識儲備,在實際教學中考慮學生的認知基礎(chǔ),還要在教材編制方面進行適當調(diào)整.只有重視概念教學,不斷探索創(chuàng)新概念教學模式,才能實現(xiàn)數(shù)學課堂教學質(zhì)量的提高和學生的數(shù)學發(fā)展.