丁曉軍 馬 琴

（1.北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.北方民族大學(xué)土木工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

由于勞動(dòng)力短缺和人口紅利逐漸消失，因此“機(jī)器人換人戰(zhàn)略”迫在眉睫，移動(dòng)作業(yè)機(jī)器人正是在這個(gè)背景下應(yīng)運(yùn)而生[1]。根據(jù)機(jī)器人與環(huán)境交互的特性，可將其分為2類(lèi)。一類(lèi)是機(jī)器人在自由空間中的非接觸（無(wú)約束）運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有相關(guān)的環(huán)境影響施加在機(jī)器人上，例如抓取-放置、噴涂和電弧焊等簡(jiǎn)單任務(wù)[2]；另一類(lèi)是一些復(fù)雜的高級(jí)任務(wù)，例如裝配和加工，需要考慮機(jī)械手與環(huán)境之間的耦合[3]。

本文分析了移動(dòng)作業(yè)機(jī)器人與環(huán)境交互作用過(guò)程，并基于拉格朗日方程推導(dǎo)了接近、受限運(yùn)動(dòng)和沖擊3種情況下機(jī)器人-環(huán)境交互作用模型。然后，仿真驗(yàn)證由4個(gè)麥克納姆（Mecanum）輪構(gòu)成的全向移動(dòng)平臺(tái)和由1個(gè)6自由度操作臂組成的移動(dòng)作業(yè)機(jī)器人。

1 臂-環(huán)境交互作用模型

在機(jī)器人操作臂末端安裝執(zhí)行器，在進(jìn)行作業(yè)的過(guò)程中，機(jī)器人將與環(huán)境接觸。一般將接觸任務(wù)劃分為3個(gè)階段，即接近、沖擊和受限運(yùn)動(dòng)。在接近階段，末端執(zhí)行器向約束移動(dòng)，以低速接近目標(biāo)物，以避免碰撞。但是，在實(shí)際工況中，機(jī)器人會(huì)受到擾動(dòng)影響，進(jìn)而與約束發(fā)生碰撞，導(dǎo)致速度發(fā)生突變，沖擊階段結(jié)束后，開(kāi)始受限運(yùn)動(dòng)階段。為了便于描述，本文先分析接近（自由）階段和受限運(yùn)動(dòng)階段2個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后分析沖擊階段。

1.1 接近階段

操作臂與環(huán)境交互如圖1所示。接近階段如圖1（a）所示，r為操作臂，e為動(dòng)態(tài)環(huán)境。假設(shè)操作臂有nr個(gè)自由度，環(huán)境有ne個(gè)自由度，采用位置向量分別定義操作臂與環(huán)境的運(yùn)動(dòng)，則整個(gè)系統(tǒng)的位置可用一個(gè)統(tǒng)一的向量q表示，如公式（1）～公式（3）所示。

圖1 操作臂與環(huán)境交互

式中：q的維數(shù)為n=ne+nr。

這2條鏈的動(dòng)力學(xué)模型分別如公式（2）、公式（3）所示。

式中：,為速度；，為加速度；τe和τr為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量；He和Hr為慣性矩陣；he和hr為重力、科里奧利力（Coriolis force）以及其他與位置和速度相關(guān)的力。

1.2 受限運(yùn)動(dòng)階段

受限運(yùn)動(dòng)階段如圖1（b）所示。為便于描述，2個(gè)鏈分別引入1組新的坐標(biāo)（外部坐標(biāo)）se和sr，令se=（se1，...，sen），sr=（sr1，...，srn）。坐標(biāo)q與坐標(biāo)s之間的關(guān)系表征了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。將坐標(biāo)se定義為絕對(duì)坐標(biāo)，通常集合se與qe一一對(duì)應(yīng)，并呈非線(xiàn)性關(guān)系，如公式（4）所示。

操作臂末端相對(duì)環(huán)境即固定在鏈條（e）最后一環(huán)的坐標(biāo)的坐標(biāo)變換如公式（5）所示。

則整個(gè)系統(tǒng)的外部坐標(biāo)如公式（6）所示。

外部坐標(biāo)sr是為了便于描述給定的任務(wù)而定義的，當(dāng)發(fā)生接觸時(shí)，這些坐標(biāo)中的一些值將減為0，當(dāng)1個(gè)接觸約束限制了nc個(gè)自由度時(shí)，nc坐標(biāo)從集合sr減至sr-nc。f為自由坐標(biāo)，將sf定義為整個(gè)系統(tǒng)自由坐標(biāo)的集合，c為受接觸約束，sc為包括受接觸約束的坐標(biāo)的集合，因此sf的維數(shù)為ne+nr-nc=n-nc，sc的維數(shù)為nc，如公式（7）所示。

約束（接觸）如公式（8）所示。

從動(dòng)力學(xué)的角度進(jìn)行分析，由于接觸產(chǎn)生反作用力，因此力分量的數(shù)目等于受限制的自由度的數(shù)目，在這種情況下的動(dòng)力學(xué)模型如公式（9）、公式（10）所示。

式中：為操作臂與環(huán)境接觸后受約束環(huán)境的雅可比矩陣；為操作臂與環(huán)境接觸后受約束操作臂的雅可比矩陣。在公式（8）的約束條件下，公式（9）、公式（10）中的坐標(biāo)qe和qr并不是獨(dú)立的。因此，公式（8）、公式（9）以及公式（10）構(gòu)成了整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并表示ne+nr+nc個(gè)標(biāo)量方程的集合，通過(guò)求解可得運(yùn)動(dòng)（qe，qr）和接觸力F。為了得到適合數(shù)值積分的形式，對(duì)公式（8）進(jìn)行求導(dǎo)，得到其約束的微分形式。

sc的一階導(dǎo)數(shù)如公式（11）所示。

式中：為sc的一階導(dǎo)數(shù)，為系統(tǒng)的速度。

sc的二階導(dǎo)數(shù)如公式（12）所示。

式中：為sc的二階導(dǎo)數(shù)，為系統(tǒng)的加速度；雅可比矩陣、與公式（9）、公式（10）中的相同，向量Ac如公式（13）所示。

公式（8）的微分形式如公式（14）所示。

公式（9）、公式（10）和公式（14）構(gòu)成了整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。該模型包括ne+nr+nc個(gè)標(biāo)量的線(xiàn)性方程，可以求解相同數(shù)量的未知數(shù)，包括ne維加速度分量，nr維加速度分量和nc維接觸力F。

考慮摩擦因素，將集合sf分離為sf=（se，），包括nr-nc個(gè)坐標(biāo)，摩擦力的方向與接觸點(diǎn)的相對(duì)速度方向相反，如公式（15）所示。

式中：Ff為nr-nc個(gè)分量的摩擦矢量；|Ff|為其絕對(duì)值；v0為nr-nc個(gè)分量的矢量，它定義了相對(duì)速度的方向，其大小取決于接觸力、表面質(zhì)量和相對(duì)速度。選取|Ff|=μ|F|，其中，摩擦系數(shù)μ是常數(shù)。然而，精確的模型需要考慮相對(duì)速度矢量v0對(duì)μ的影響。矢量v0的方向由相對(duì)速度srf決定，如公式（16）所示。

式中：為操作臂與環(huán)境接觸后未受約束操作臂的雅可比矩陣；為操作臂與環(huán)境接觸后未受環(huán)境約束的雅可比矩陣。因此，v0與位置向量qe、qr和速度、均相關(guān)，摩擦力Ff如公式（17）所示。

公式（17）的具體形式視情況而定。

當(dāng)接觸點(diǎn)有相對(duì)速度時(shí)，摩擦系數(shù)μ從零速度下的靜態(tài)摩擦變?yōu)閯?dòng)態(tài)摩擦，隨著接觸點(diǎn)相對(duì)速度增大，當(dāng)摩擦系數(shù)克服發(fā)生運(yùn)動(dòng)的摩擦臨界值時(shí)，摩擦系數(shù)由負(fù)黏性摩擦變?yōu)轲ば阅Σ?。摩擦力的存在?huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，因此，考慮摩擦后，公式（9）、公式（10）變?yōu)楣剑?8）、公式（19）。

當(dāng)接觸物體間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，公式（14）、公式（18）和公式（19）構(gòu)成了整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。雖然公式（17）中未知數(shù)的數(shù)量沒(méi)有增加，但是需要求解、和F。

假設(shè)在某一時(shí)刻相對(duì)運(yùn)動(dòng)完全停止（=0），那么公式（15）和公式（17）將不再適用，公式（18）、公式（19）中的摩擦力Ff變得不可解，這時(shí)需要增加一個(gè)條件，從相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在這一事實(shí)出發(fā)，如公式（20）所示。

公式（14）、公式（18）、公式（19）與公式（20）構(gòu)成了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)該模型，可以求解加速度、和反作用力F、Ff。將模型計(jì)算的Ff值與系統(tǒng)靜摩擦值進(jìn)行比較，當(dāng)其值大于靜摩擦值時(shí)，會(huì)再次產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，求解過(guò)程切換回公式（14）、公式（14）、公式（17）、公式（18）以及公式（19）。

1.3 沖擊階段

沖擊是接觸任務(wù)的第二個(gè)階段。面約束下的沖擊是最常見(jiàn)的，因此本文主要分析面約束下的沖擊問(wèn)題。此時(shí)，sc（即坐標(biāo)s6）變?yōu)?并且沖擊作用會(huì)沿著這個(gè)方向進(jìn)行。如果考慮約束面的彈性，則可能出現(xiàn)跳躍。為了便于推導(dǎo)，這里僅考慮非彈性范圍內(nèi)的沖擊問(wèn)題。基于這種假設(shè)，操作臂末端執(zhí)行器不會(huì)在第一次接觸后離開(kāi)表面，而是沿著表面移動(dòng)。

如果碰撞面是2個(gè)，則sc的維數(shù)是2，以此類(lèi)推，當(dāng)有nc個(gè)碰撞面作用時(shí)，sc的維數(shù)是nc。復(fù)雜的沖擊會(huì)導(dǎo)致表面發(fā)生一系列碰撞，為了方便分析，在接下來(lái)的交互分析中忽略這種影響。

求解沖擊動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。在沖擊區(qū)間上對(duì)約束運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行積分，令t1為碰撞發(fā)生的時(shí)刻，t2為沖擊結(jié)束的時(shí)刻，則發(fā)生碰撞的時(shí)間間隔為Δt=[t1，t2]。對(duì)幾何約束和非彈性沖擊來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為這個(gè)區(qū)間很短，即當(dāng)Δt→0，t2→t1，在此區(qū)間內(nèi)對(duì)公式（10）進(jìn)行積分，如公式（21）所示。

公式（21）、公式（22）描述了沖擊的動(dòng)態(tài)過(guò)程。它們是6+nc個(gè)標(biāo)量方程的集合，可以求解和FΔt，為六分量關(guān)節(jié)速度變化量；FΔt為nc個(gè)分量的沖量，當(dāng)Δt→0時(shí)，F(xiàn)Δt≠0，即F→∞。在無(wú)限短的撞擊時(shí)間內(nèi)，位置不會(huì)改變，即q1=q2。

基于碰撞過(guò)程發(fā)生的3個(gè)階段，采用數(shù)值方法求解具體碰撞任務(wù)的一般過(guò)程。在接近階段，對(duì)公式（3）進(jìn)行積分，并檢驗(yàn)sc的坐標(biāo)值；當(dāng)sc坐標(biāo)值變?yōu)?時(shí)，轉(zhuǎn)向沖擊公式（21）、公式（22）并計(jì)算速度變化量。利用這個(gè)新的初始狀態(tài)，對(duì)公式（10）和公式（14）積分來(lái)求解約束運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。綜上所述，當(dāng)sc為0時(shí)，接近階段結(jié)束，在那個(gè)瞬間碰撞時(shí)間間隔非常短，隨后開(kāi)始較規(guī)律的受限運(yùn)動(dòng)。

2 仿真分析

建立由4個(gè)Mecanum輪構(gòu)成的全向移動(dòng)平臺(tái)和1個(gè)由六自由度操作臂組成的MMR仿真模型來(lái)驗(yàn)證本文采用的交互作用分析方法的有效性。機(jī)器人的設(shè)計(jì)參數(shù)[4]見(jiàn)表1。對(duì)臂-環(huán)境的交互作用進(jìn)行仿真，時(shí)間間隔設(shè)為t∈[0，2] s，地面傾斜角θm、側(cè)傾角γm設(shè)為0°。

表1 機(jī)器人的設(shè)計(jì)參數(shù)

本文以典型的有摩擦接觸任務(wù)-寫(xiě)字任務(wù)來(lái)分析臂-環(huán)境交互作用。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將小車(chē)固定，控制操作臂寫(xiě)漢字“一”，如圖2所示。寫(xiě)字任務(wù)從A位置開(kāi)始，在接近階段由PD調(diào)節(jié)器控制機(jī)器人。

圖2 六自由度操作臂執(zhí)行有摩擦的接觸任務(wù)

機(jī)器人從A到B的運(yùn)動(dòng)結(jié)果如圖3所示，即坐標(biāo)x、y和z隨時(shí)間的變化以及其速度隨時(shí)間的變化。通過(guò)分析，得到如下結(jié)論，預(yù)期的非零速接觸是合理的，當(dāng)參考軌跡沒(méi)有碰撞時(shí)，機(jī)器人末端到達(dá)表面的速度不為0，如圖3（e）所示。

圖3 臂-環(huán)境交互：接近階段

沖擊階段各關(guān)節(jié)瞬時(shí)速度的變化曲線(xiàn)如圖4所示，沖擊時(shí)間為5 s。撞擊后會(huì)發(fā)生堵塞，速度降至0。

圖4 臂-環(huán)境交互：沖擊階段

采用經(jīng)典的力/位混合控制實(shí)現(xiàn)約束運(yùn)動(dòng)。操作臂x向位置和速度曲線(xiàn)隨時(shí)間的變化如圖5所示?？赡軙?huì)看到機(jī)器人的尖端停止在C位置，但是不會(huì)立即開(kāi)始往回移動(dòng)，這是因?yàn)榘l(fā)生了“堵塞”（實(shí)則為接觸運(yùn)動(dòng)的黏著階段），所以堵塞周期約0.05 s。之后，機(jī)器人的末端運(yùn)動(dòng)指向B。

圖5 臂-環(huán)境交互：受限運(yùn)動(dòng)階段

反作用力F和摩擦力Ff的摩擦力方向在點(diǎn)C發(fā)生了變化，但是沒(méi)有立即變化，如圖6（c）所示。在阻塞過(guò)程中，摩擦力上升，當(dāng)它達(dá)到μF值時(shí)，操作臂末端再次開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。反作用力F會(huì)有波動(dòng)，這是因?yàn)閷?shí)際機(jī)器人并不是純剛體。

圖6 臂-環(huán)境交互：接觸點(diǎn)的力

3 結(jié)論

本文基于拉格朗日方程推導(dǎo)了在接近、沖擊和受限運(yùn)動(dòng)3個(gè)階段的機(jī)器人-環(huán)境交互作用模型，并對(duì)其進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果驗(yàn)證了交互作用模型的合理性和有效性，為建立完整的移動(dòng)作業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型提供依據(jù)。