劉瓊瓊，閆廣峰

（1. 周口市規(guī)劃建筑勘測設(shè)計院，河南 周口 466000；2. 內(nèi)江師范學(xué)院地理與資源科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

自由設(shè)站法是目前測量實踐中，利用全站儀進行地形圖測量、施工放樣、變形監(jiān)測等測量工作的常用方法，其具有設(shè)站位置選擇靈活、工效高、精度高、控制點間不要求通視等優(yōu)點。國內(nèi)外學(xué)者圍繞自由設(shè)站方法開展了大量的基礎(chǔ)理論和應(yīng)用研究[1-5]。目前進行自由設(shè)站的數(shù)據(jù)處理時，通常采用經(jīng)典約束平差法，其以所有聯(lián)測的基準(zhǔn)點為固定點、所有水平方向和水平距離測量值為觀測值，并以設(shè)站點坐標(biāo)和定向角為待求參數(shù)進行求解。然而，由于測量誤差、平差模型等因素的影響，自由設(shè)站采用的基準(zhǔn)點坐標(biāo)會含有誤差，測站約束平差后其會以原始數(shù)據(jù)誤差[6]的形式影響設(shè)站點坐標(biāo)和定向角估值，進而影響碎部點坐標(biāo)。特別當(dāng)基準(zhǔn)點精度較低時，這種不利的影響將更為顯著。為此，本文在分析自由設(shè)站基本原理基礎(chǔ)上，基于部分變量誤差（partial errors-in-variables，Partial EIV） 模型平差理論和方法，以新的思路解決自由設(shè)站平差問題。

1 全站儀自由設(shè)站基本原理

全站儀自由設(shè)站外業(yè)觀測如圖1 所示，其中，P為設(shè)站點，A～E為基準(zhǔn)點（不少于2個），P1和P2為待測量碎部點。

圖1 全站儀自由設(shè)站外業(yè)觀測示意圖

目前進行自由設(shè)站測量數(shù)據(jù)處理時，將P 點坐標(biāo)XP、YP和測站的定向角φ作為待求參數(shù)，P 點觀測A～E 點的水平方向測量值LA～LE、距離測量值SA～SE為觀測值，A～E點坐標(biāo)XA、YA...XE、YE為固定值，由此建立自由設(shè)站平差問題的數(shù)學(xué)模型。

1）函數(shù)模型：

2）隨機模型：

式中，ΔφP為定向角改正數(shù)；為點P 的近似坐標(biāo)改正數(shù)；為點P 和點i 的近似坐標(biāo)較差；ρ″=206265 為常數(shù)；LPi和分別為Pi 的方向觀測值和近似方向值；SPi和分別為Pi的距離觀測值和近似距離值；D為觀測值的協(xié)方差陣；σ0為先驗單位權(quán)中誤差；Q為觀測值協(xié)因數(shù)陣；P為觀測值的權(quán)陣，可按照經(jīng)驗定權(quán)法并結(jié)合儀器標(biāo)稱精度確定。

根據(jù)最小二乘原理，由式（1）求解參數(shù)XP、YP、φ的估值?，再由P 點觀測碎部點P1、P2的水平方向和水平距離觀測值L1、L2、S1、S2，根據(jù)極坐標(biāo)原理可得到P1、P2點的坐標(biāo)：

式中，Xi、Yi為第i個碎部點坐標(biāo)，i=1,2。

由原始數(shù)據(jù)誤差理論[6]可知，以上基于經(jīng)典約束平差方法進行自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理，平差前后的基準(zhǔn)點坐標(biāo)不變，基準(zhǔn)點誤差會以原始數(shù)據(jù)誤差的形式影響設(shè)站點坐標(biāo)、測站定向角估值，并進一步傳遞至碎部點坐標(biāo)。當(dāng)設(shè)站采用的基準(zhǔn)點精度較低時，原始數(shù)據(jù)誤差給自由設(shè)站精度帶來的不利影響不容忽視。

為解決經(jīng)典約束平差模型難以顧及自由設(shè)站基準(zhǔn)點誤差的問題，本文探索以新的思路解決自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理問題。注意到圖1中，若以P為坐標(biāo)系原點，P觀測基準(zhǔn)點A的方向PA為x軸，x軸順時針旋轉(zhuǎn)90°方向為y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)P 點觀測的水平方向、水平距離觀測值可求得基準(zhǔn)點、碎部點在該站心坐標(biāo)系的平面坐標(biāo)。由基準(zhǔn)點在站心坐標(biāo)系、測量坐標(biāo)系下的2 套坐標(biāo)，可建立基準(zhǔn)點兩套坐標(biāo)間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平差模型，若建立的模型能夠準(zhǔn)確表達2個坐標(biāo)系之間的相對空間位置關(guān)系，便可根據(jù)求得的模型轉(zhuǎn)換參數(shù)求解得到設(shè)站點和碎部點在測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

2 顧及基準(zhǔn)點誤差的自由設(shè)站平差模型

以設(shè)站點P 為坐標(biāo)系原點，P 點至聯(lián)測的任一基準(zhǔn)點方向為X軸，X軸順時針旋轉(zhuǎn)90°方向為Y軸，建立站心坐標(biāo)系。根據(jù)P至各基準(zhǔn)點和碎部點的水平方向、水平距離觀測值，可求得基準(zhǔn)點、碎部點的站心坐標(biāo)系坐標(biāo)。要進一步得到設(shè)站點和碎部點的測量坐標(biāo)系下坐標(biāo)，必須找到站心坐標(biāo)系和測量坐標(biāo)系間的相對空間位置關(guān)系。為此，基于基準(zhǔn)點在站心坐標(biāo)和測量坐標(biāo)系下的2 套坐標(biāo)，建立2 個坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。

由于基準(zhǔn)點的建網(wǎng)測量與自由設(shè)站測量時可能采用不同的技術(shù)手段，因此，2 個坐標(biāo)系之間可能會存在一定的尺度差異。為此，建立能夠完整表達站心坐標(biāo)系與測量坐標(biāo)系之間存在的平移、旋轉(zhuǎn)和尺度差異關(guān)系的相似變換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型[7-8]：

式中，和分別為第i個基準(zhǔn)點的測量坐標(biāo)系坐標(biāo)和站心坐標(biāo)系坐標(biāo)，i=1,2,...,n；X0、Y0為平移參數(shù)；m為尺度因子；α為旋轉(zhuǎn)角。

令Z1=mcosα、Z2=msinα，并設(shè)

則式（4）可表示為線性模型：

式（5）的系數(shù)矩陣A由常數(shù)0、1以及基準(zhǔn)點的站心坐標(biāo)構(gòu)成。進一步考慮式（5）中的基準(zhǔn)點站心坐標(biāo)誤差，可得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Partial EIV模型

式中，為系數(shù)矩陣A的真值矩陣；el為l 對應(yīng)的隨機誤差向量；EA為A對應(yīng)的改正數(shù)矩陣，其固定值對應(yīng)部分為0，相同隨機元素對應(yīng)的改正數(shù)相同。

將式（6）看作非線性Gauss-Helmert 模型[9]，并將EA中隨機量作為待求參數(shù)，則式（6）可表示為：

式中，為a的真值向量；EA為系數(shù)矩陣A對應(yīng)的改正數(shù)矩陣；觀測值為 ；待求參數(shù)為。

采用高斯-牛頓法迭代方法對式（7）求解[9]。設(shè)第i 次迭代后，參數(shù)X的估值為X(i)，eAs的估值為eAs(i)，將式（7）右端在()X(i)，eAs(i)處用泰勒級數(shù)展開并取至一階項

式中，δX為X(i)的微小改正值；R為與X(i)、EA的有關(guān)的矩陣，滿足ReAs=EAX(i)。

以式（9）為目標(biāo)函數(shù)：

對各變量求偏導(dǎo)且令導(dǎo)數(shù)等于0，可得：

以參數(shù)的最小二乘解為初值，根據(jù)式（10）、式（11）進行迭代計算，直至<ε （ε 為小的常數(shù)）時迭代結(jié)束。由此得到測量坐標(biāo)系和站心坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)估值和。

進一步計算尺度因子m、旋轉(zhuǎn)角α的平差值：

式中，arctan(x)為對x求反正切。

則設(shè)站點、碎部點在測量坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

從以上自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理過程可以看出，相較于經(jīng)典的約束平差法，所建立的平差模型，給系數(shù)矩陣引入誤差向量，考慮了觀測誤差對自由設(shè)站平差的影響；以基準(zhǔn)點的測量坐標(biāo)系坐標(biāo)為觀測值，能夠顧及到基準(zhǔn)點誤差的影響。為敘述方便，稱以上方法為顧及基準(zhǔn)點誤差的自由設(shè)站平差法（free stationing adjustment considering the datum point errors， 簡稱FSA-CDPE）。

3 實驗設(shè)計與結(jié)果分析

為了評估FSA-CDPE方法進行自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理的可行性和有效性，基于某建筑工程的放樣測量實際，設(shè)計全站儀自由設(shè)站仿真實驗。外業(yè)觀測如圖2所示，采用自由設(shè)站方法進行碎部點放樣，其中，A～D為基準(zhǔn)點，P 為設(shè)站點，P1和P2為待測量碎部點。

圖2 全站儀自由設(shè)站法測量

設(shè)站點P 至各基準(zhǔn)點、碎部點的方位角和距離為方向、距離觀測值模擬真值，分別如表1、2所示。

表1 各點測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)真值

表2 觀測值模擬真值

利用隨機數(shù)發(fā)生器，首先給P 至各基準(zhǔn)點、碎部點的觀測值添加觀測誤差，其中，添加的方向觀測值中誤差為±1.0″ ，距離觀測值固定誤差為±1.0 mm、比例誤差為±1.5 ppm，各基準(zhǔn)點、碎部點均觀測2 個測回。再往基準(zhǔn)點A～D的X、Y的坐標(biāo)中分別添加5種不同中誤差σ大小的正態(tài)分布隨機誤差，具體方案為：①u=0、σ=1.0 mm；②u=0、σ=2.0 mm；③u=0、σ=3.0mm；④u=0、σ=4.0mm；⑤u=0、σ=5.0mm。

分別采用經(jīng)典約束平差法、FSA-CDPE 法進行自由設(shè)站平差，并用平差后的設(shè)站點和碎部點坐標(biāo)真誤差平方和M評定平差結(jié)果的整體準(zhǔn)確度（M 越小，自由設(shè)站平差結(jié)果準(zhǔn)確度越高），用點位真誤差TP衡量設(shè)站點和碎部點的平差結(jié)果準(zhǔn)確度。

設(shè)碎部點和設(shè)站點個數(shù)共計為k，M可采用下式求解：

式中，為碎部點或設(shè)站點的平差值；、為碎部點或設(shè)站點的真值。

TP的計算公式為：

5種方案的實驗結(jié)果如表3所示。

表3 各實驗方案結(jié)果

表3 中，Max_TP、Min_TP分別為平差后設(shè)站點、碎部點的點位真誤差最大值和最小值。從表3 的實驗結(jié)果可以看出，無論是采用約束平差法還是FSA-CDPE 法，隨著給基準(zhǔn)點坐標(biāo)添加誤差值的變大，坐標(biāo)真誤差平方和M逐漸變大，設(shè)站點和碎部點的點位真誤差也呈增大趨勢。此外，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給基準(zhǔn)點添加的誤差較小時，采用約束平差方法和FSA-CDPE 方法的自由設(shè)站平差結(jié)果相當(dāng)，如方案1、2 中，2 種方法的坐標(biāo)真誤差平方和M 和點位真誤差均相差較小；隨著往基準(zhǔn)點中添加誤差量級變大，2 種方法的平差效果差異明顯，如方案5 中，約束平差結(jié)果的坐標(biāo)真誤差平差和M為32.1、最大和最小點位真誤差為3.8 和2.7，而FSA-CDPE 方法的M 值為26.1、點位真誤差最大值3.6、最小值1.0。

通過以上分析可以得出，較大的基準(zhǔn)點誤差會給自由設(shè)站平差結(jié)果的精確度帶來不利影響；FSA-CDPE 方法用于自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理是可行且有效的，當(dāng)基準(zhǔn)點精度較高時，其與經(jīng)典約束平差方法結(jié)果相當(dāng)；但當(dāng)基準(zhǔn)點精度較低時，其平差結(jié)果較約束平差方法更優(yōu)。

4 結(jié)語

通過初步的理論和實驗分析，可以得到以下結(jié)論：

1）進行自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)兼顧基準(zhǔn)點誤差的影響。否則當(dāng)基準(zhǔn)點誤差較大時，其會給平差結(jié)果帶來較大的不利影響。

2）FSA-CDPE方法與經(jīng)典約束平差法進行自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理，當(dāng)基準(zhǔn)點的精度較高時，2 種方法的結(jié)果相當(dāng)；基準(zhǔn)點精度較低時，前種方法較后種方法得到的結(jié)果更優(yōu)。

3）FSA-CDPE方法用于自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理是可行且有效的，其平差模型同時考慮了全站儀測量誤差和基準(zhǔn)點誤差的影響，理論上是嚴(yán)密的，為全站儀自由設(shè)站數(shù)據(jù)處理提供了一種新的思路和有效方法。