鄒 萌, 李耿華

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 重慶 400067)

0 引言

弱齊次函數(shù)是Gowda等[1]在研究變分不等式問題時提出的一類新的函數(shù),它是多項式函數(shù)的推廣,近年來引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,并取得了一定的研究成果[1-4].解的存在性、穩(wěn)定性及求解方法是優(yōu)化問題和變分不等式的重要內(nèi)容,許多文獻對其進行了研究[5-6].由于漸近錐和漸近函數(shù)可以處理無界集合和函數(shù),因而它們是優(yōu)化問題及變分不等式解的存在性、有界性和穩(wěn)定性研究的重要方法[7-18].

近年來,國內(nèi)外學(xué)者利用漸近函數(shù)和正則性條件研究了多項式優(yōu)化問題的解,并將其推廣到了弱齊次優(yōu)化問題.首先,Hieu等[10]利用多項式互補問題的正則性條件,證明了與多項式互補問題對應(yīng)的優(yōu)化問題的解集是非空緊的.隨后,該學(xué)者在文獻[11]中研究了多項式優(yōu)化問題的正則性條件,并建立了非空閉集上該問題的Frank-Wolfe型定理和Eaves型定理.進一步地,Hieu[4]改進了文獻[1-2]的弱齊次函數(shù),并研究了相應(yīng)的弱齊次優(yōu)化問題解集的非空性和有界性.另一方面,Liu等[12]利用漸近函數(shù)定義了強型和弱型的正則性條件,并用其研究了多項式向量優(yōu)化問題解的非空性、有界性和穩(wěn)定性.

受文獻[1,4,11-13]的啟發(fā),本文將研究文獻[4]中的這一類弱齊次向量優(yōu)化問題.首先,給出了該問題所對應(yīng)的強型和弱型正則性條件,并研究其性質(zhì).其次,借助正則性條件,在函數(shù)沒有凸性的假設(shè)下,研究了弱齊次向量優(yōu)化問題的(弱)Pareto有效解集的非空性和有界性.此外,我們提出了該問題解集非空有界性的一個新的充分性條件,并討論了它與強正則性條件的關(guān)系.

1 預(yù)備知識

設(shè)f=(f1,…,fs):ns是向量值函數(shù),K是n中的非空閉集,考慮如下向量優(yōu)化問題:

首先,回顧向量優(yōu)化問題幾種解的定義,漸近錐、弱齊次函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì).

注1顯然,Ss(K,f)?Sw(K,f).當s=1時,VOP(K,f)退化為問題

OP(K,f):Minx∈Kf(x).

上述問題的解集記為S(K,f).

定義3[16]設(shè)K是n中的非空子集,K的漸近錐定義為

K∞:=

顯然,K∞是閉錐;K有界當且僅當K∞={0};當K是非空閉凸集時,有K+K∞=K;特別地, ?∞=?.

定義4[4]設(shè)C是n中的一個閉錐,K是C中的一個無界閉集,h:C→是一個連續(xù)函數(shù).如果對所有的x∈C和λ>0都有h(λx)=λrh(x),那么稱h是r(≥0)階正齊次的.若函數(shù)f:C→在K上滿足f=g+h,其中h:C→是r階正齊次的,g:C→是連續(xù)的.當x∈K且‖x‖→∞時,有g(shù)(x)=o(‖x‖r),則稱f在K上是r階弱齊次的h是f在K上的漸近齊次函數(shù).

注2在上述定義中,漸近齊次函數(shù)h不一定是唯一的(參見文獻[4]的例2.1).

本文主要研究弱齊次向量優(yōu)化問題VOP(K,f),其中f=(f1,…,fs):ns在K上是連續(xù)的,且fi在K上是ri階弱齊次的(i=1,…,s),h=(h1,…,hs)是f在K上的漸近齊次向量值函數(shù).

下面,我們給出一個性質(zhì),說明f不同的漸近齊次向量函數(shù)在K∞上有相同的值.

hi(tkv)+gi(tkv)=fi(yk)=

下面介紹一個引理,它對研究問題VOP(K,f)的Pareto有效解的存在性具有重要作用.

引理1[20]設(shè)λ∈int和G(x0)={x∈K|fi(x)≤fi(x0),i=1,2,…,s}.若x′∈S(Gx0,g),則x′∈Ss(K,f).

接下來,討論強型和弱型正則性條件的性質(zhì).

和

(1)

將上述不等式兩邊同時除以‖xk‖ri,當k→+∞時,有

(2)

注4性質(zhì)2-4將文獻[12]中多項式向量優(yōu)化問題正則性條件的性質(zhì)推廣到了弱齊次向量優(yōu)化問題中.

2 問題VOP(K,f)解集的非空性和有界性

本節(jié)旨在研究問題VOP(K,f)Pareto有效解集的非空性和弱Pareto有效解集的有界性.首先,給出了問題VOP(K,f)Pareto有效解存在的充分性條件.

定理1假設(shè)下列條件之一成立:

(ii)?i0∈{1,…,s}使得

則Ss(K,f)是非空的.

fi(xk)≤fi(x0),?i=1,…,s.

將上述不等式兩邊同時除以‖xk‖ri,當k→+∞時,有

(3)

顯然,式(3)與

和

矛盾.故Gx0是緊的.由Weierstrass定理可知,S(Gx0,gλ)≠?.由于S(Gx0,gλ)?Ss(K,f)(由引理1可得),所以Ss(K,f)≠?.

注5定理1將文獻[12]定理5.1的結(jié)論推廣到了弱齊次向量優(yōu)化問題中.此外,還提出了問題VOP(K,f)Pareto有效解存在的一個新的充分性條件(iii).

例1向量值函數(shù)f=(f1,f2),其中

K={(x1,x2)∈2|x2≥x1≥0}.

顯然,

由于

{(x1,x2)∈K|x1=0,x2≥0}?SS(K,f),

故SS(K,f)是無界的.

下面,我們討論問題VOP(K,f)弱Pareto有效解存在的必要性條件.

(4)

fi0(xk)-fi0(x0)≥0.

下面,我們將給出問題VOP(K,f)Pareto有效解存在性和弱Pareto有效解集有界性的一個充分性條件.

fiyk(y)-fiyk(yk)≥0.

由定理3和性質(zhì)4(i)可得下述推論.

下面給出一個例子來說明定理3和推論1.

例2向量值函數(shù)f=(f1,f2),其中

K={(x1,x2)∈2|0≤x1-1≤3,x2-x1≥0}.

Ss(K,f)={(1,1)},

Sw(K,f)={(x1,x2)∈2|1≤x1≤4,x2=1},

故定理3和推論1成立.

下面,給出問題VOP(K,f)解集非空性與有界性的一個新的充分性條件,它比定理3中的條件弱.

定理4若函數(shù)f滿足下列條件

則Ss(K,f)非空且Sw(K,f)有界.

證明由定理1可知,Ss(K,f)是非空的.下證有界性.我們先證明

(5)

因此,式(5)成立.又因為Ss(K,f)≠?,所以將式(5)結(jié)合條件(ii)可得,[Sw(K,f)]∞={0}.故Sw(K,f)是有界的.

注8定理4的條件(i)來源于文獻[13].一方面,由性質(zhì)4易知

最后,給出一個例子來說明定理4.

K={(x1,x2)∈2|x1≥1,1≤x2≤4}.

K∞={(x1,x2)∈2|x1≥0,x2=0},

因而

且

可知定理3條件不成立.

3 總結(jié)

本文研究一類目標函數(shù)是弱齊次的非凸向量優(yōu)化問題.首先,給出了問題VOP(K,f)所對應(yīng)的強型和弱型正則性條件,并研究其性質(zhì).隨后,借助正則性條件,在函數(shù)沒有凸性的假設(shè)下,研究了弱齊次向量優(yōu)化問題的(弱)Pareto有效解集的非空性和有界性.此外,我們還提出了該問題解集非空有界性的一個新的充分性條件,并說明了該條件弱于定理3中的條件.