王星雨,耿顯亞

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

0 引言

G是具有頂點(diǎn)集合V(G)和邊集合E(G)的圖.令d(u)=dG(u),N(u)=NG(u)〔頂點(diǎn)u∈V(G)的鄰域集〕.如果V(G)=(v1,v2,…,vn),di=d(vi),1≤i≤n,則π=(d1,d2,…,dn)被稱為G的度序列.通常假設(shè)d1≥d2≥…≥dn,定義Γ(π)為度序列π的連通圖類.有n個(gè)頂點(diǎn)和(n+c-1)個(gè)邊的連通圖被稱為c圈圖.

近期,Gutman提出了一個(gè)幾何方法來(lái)解釋基于度的圖不變量[1],通過(guò)這種方法,介紹了Sombor指數(shù),定義為:

后期,這種圖不變性引起了廣泛注意,在一系列研究中確定了它的數(shù)學(xué)性質(zhì).

對(duì)原始Sombor指數(shù)進(jìn)行修改,使其變?yōu)楦话愕腟ombor指數(shù)[2-10],定義為:

其中α≠0是實(shí)數(shù).顯然SO0.5(G)=SO(G).

確定Γ(π)的元素和圖不變量是很重要的.一些這樣的研究已經(jīng)發(fā)表在相關(guān)文獻(xiàn)上[11-15].這些結(jié)果表明,在許多情況下,極值圖是BFS型的.

1 定理的證明

定義1[10]G是一個(gè)連通圖.G被稱為BFS圖,若V(G)中存在頂點(diǎn)v1v2…vn滿足:

(1)d(v1)≥d(v2)≥…≥d(vn)和h(v1)≤d(v2)≤…≤d(vn),h(vi)是vi到v1的距離.

(2) 令v∈N(u)N(w),z∈N(w)N(u)滿足h(v)=h(u)+1,h(z)=h(w)+1.如果uw,則vz.

定義2[14]對(duì)于一個(gè)給定的c圈度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,n≥3,如果G是一個(gè)BFS圖滿足{v1,v2,v3}構(gòu)成一個(gè)三角形,當(dāng)c≥1時(shí),則G被稱為特殊極圖.

定義3[10]給定度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,G被稱為連通圖類的k階精確極圖,如果G

定理2任意圈度序列,有:

(1)TM(π)是c=0時(shí)的精確極圖;

(2)UM(π)是c=1時(shí)的精確極圖;

(3)BM(π)是c=2時(shí)的精確極圖.

下面證明定理1、定理2.首先引入一個(gè)定義在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的對(duì)稱二元函數(shù)f(x,y),稱f(x,y)是遞增的(或遞減的),如果滿足

f(x1,x2)+f(y1,y2)≥(≤)f(y1,x2)+f(x1,y2),任意x1≥y1>0,x2≥y2>0,當(dāng)x1>y1,x2>y2時(shí),上式嚴(yán)格不等.

Wang[15]給出了將連通圖和對(duì)稱二元函數(shù)f(x,y)聯(lián)系在一起的連接函數(shù)

定理1和定理2的證明還需要引入兩個(gè)引理.

引理1[14]任意給定度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,在連通圖類Γ(π)中,存在一個(gè)特殊極BFS圖G,使得當(dāng)f(x,y)遞增時(shí),Mf(G)是最大的,當(dāng)f(x,y)遞減時(shí),Mf(G)是最小的.

引理2[14]給定c圈度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1.在連通圖類Γ(π)中

(1) 若c=0,當(dāng)f(x,y)遞增時(shí),TM(π)有最大Mf(G),當(dāng)f(x,y)遞減時(shí),TM(π)有最小Mf(G);

(2) 若c=1,當(dāng)f(x,y)遞增時(shí),UM(π)有最大Mf(G),當(dāng)f(x,y)遞減時(shí),UM(π)有最小Mf(G);

(3) 若c=2,當(dāng)f(x,y)遞增時(shí),BM(π)有最大Mf(G),當(dāng)f(x,y)遞減時(shí),BM(π)有最小Mf(G);

8月20日，由雷邦斯生物技術(shù)（北京）有限公司及雷邦斯集團(tuán)成員企業(yè)愛(ài)必施農(nóng)業(yè)技術(shù)（北京）有限公司主辦、中國(guó)農(nóng)資傳媒獨(dú)家策劃的世界橙油共享發(fā)布會(huì)暨微生物工藝提取活性腐殖酸發(fā)布會(huì)在北京舉行，雷邦斯生物技術(shù)（北京）有限公司總經(jīng)理冉峰、常務(wù)副總經(jīng)理褚暉，雷邦斯集團(tuán)企業(yè)、合作伙伴及多家行業(yè)媒體代表等出席活動(dòng)。發(fā)布會(huì)上，與會(huì)嘉賓就橙油的應(yīng)用與發(fā)展、微生物工藝提取活性腐殖酸的工藝和應(yīng)用優(yōu)勢(shì)等內(nèi)容進(jìn)行了分享和交流。

證明假設(shè)x1>y1,x2>y2,易得

(1) 當(dāng)0<α<1時(shí),因?yàn)閤1>y1,x2>y2,所以

引理3[13]π,π′是兩個(gè)c圈度序列,且π?π′,c∈{0,1,2}.在連通圖類Γ(π)和Γ(π′)中,G和G′分別有最大Mf(G)和Mf(G′),如果f(x,y)是好增函數(shù),則Mf(G)

由引理3可知,要證明定理3,只需要證明在α>1時(shí)f(x,y)是好增函數(shù).由命題1知,當(dāng)α>1時(shí)f(x,y)是非負(fù)增函數(shù).因?yàn)棣?1,有

又因?yàn)閔(x,y)對(duì)x單調(diào)遞增,且x1≥y1,所以

2 結(jié)論