魏敏敏　趙仁育

摘要： 通過引入循環(huán)純phantom態(tài)射的概念， 給出循環(huán)純phantom態(tài)射的一些等價刻畫， 證明每個R-模都有核為循環(huán)純內(nèi)射模的滿的循環(huán)純phantom覆蓋， 并討論循環(huán)純phantom預(yù)覆蓋在環(huán)變換下的傳遞性.

關(guān)鍵詞： 循環(huán)純; 循環(huán)純phantom態(tài)射; 預(yù)覆蓋

中圖分類號： O153.3文獻標(biāo)志碼： A文章編號： 1671-5489（2024）02-0249-07

Cyclic Pure Phantom Morphisms

WEI Minmin， ZHAO Renyu

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By introducing the notion of cyclic pure phantom morphisms， we gave? some equivalent characterizations of cyclic pure phantom morphisms，? proved that every R-module had an epic cyclic pure phantom cover with the kernel cyclic pure injective modules， and discussed the transitivity of cyclic pure phantom precover under change of rings.

Keywords： cyclic pure; cyclic pure phantom morphism; precover

Phantom態(tài)射起源于拓撲學(xué)中關(guān)于CW-復(fù)形間的態(tài)射研究. 文獻［1］在三角范疇中引入了phantom態(tài)射的概念， 文獻［2-5］將phantom態(tài)射理論推廣到了有限群環(huán)的穩(wěn)定模范疇中; 文獻［6］將phantom態(tài)射的概念拓展到任意結(jié)合環(huán)R上的R-模范疇中. 如果對每個（有限表示）左R-模A， Abel群同態(tài)Tor1（f，A）： Tor1（M，A）→Tor1（N，A）是零同態(tài)， 則一個右R-模同態(tài)f： M→N稱為phantom態(tài)射. Phantom態(tài)射可視為是平坦模的態(tài)射， 由于其在理想逼近理論［7］中具有重要作用， 因此近年來得到廣泛關(guān)注［8-12］.

Phantom態(tài)射與純性有密切的關(guān)系. 作為純性的推廣， 文獻［13］引入了循環(huán)純的概念; 文獻［14-15］研究了循環(huán)純內(nèi)射模和循環(huán)純投射模; 文獻［16］研究了循環(huán)純平坦模. 受上述研究結(jié)果的啟發(fā)， 本文引入并研究循環(huán)純phantom態(tài)射.

1 預(yù)備知識

本文中R是有單位元的結(jié)合環(huán)， 所涉及的模均為酉模. 用Mod-R表示右R-模范疇. 將HomR（M，N）和MRN分別簡記為Hom（M，N）和MN; 將Ext1R（M，N）和TorR1（M，N）分別簡記為Ext1（M，N）和Tor1（M，N）. 用Mor-R表示所有右R-模同態(tài)的范疇， 即其中的對象是所有的右R-同態(tài)f： M→N， 對象f： M1→N1到對象g： M2→N2的態(tài)射是一對右R-同態(tài)（α1，α2）， 使得下圖可交換：

如果P1和P2是投射右R-模且P是可裂單態(tài)射， 則Mor-R中的對象P： P1→P2稱為投射對象. 對偶地， 如果E1和E2是內(nèi)射右R-模且E是可裂滿態(tài)射， 則Mor-R中的對象E： E1→E2稱為內(nèi)射對象［9，17］.

參考文獻

［1］NEEMAN A. The Brown Representability Theorem and Phantomless Triangulated Categories ［J］. Journal of Algebra， 1992， 151（1）： 118-155.

［2］BENSON D J. Phantom Maps and Purity in Modular Representation Theory. Ⅲ ［J］. Journal of Algebra， 2002， 248（2）： 747-754.

［3］BENSON D J， GNACADJA G P. Phantom Maps and Purity in Modular Representation Theory. Ⅰ ［J］. Fundamenta Mathematicae， 1999， 162（1/2）： 37-91.

［4］BENSON D J， GNACADJA G P. Phantom Maps and Purity in Modular Representation Theory. Ⅱ ［J］. Algebras and Representation Theory， 2001， 4（4）： 395-404.

［5］GNACADJA G P. Phantom Maps in the Stable Module Category ［J］. Journal of Algebra， 1998， 201（2）： 686-702.

［6］HERZOG I. The Phantom Cover of a Module ［J］. Advances in Mathematics， 2007， 215（1）： 220-249.

［7］FU X H， GUIL ASENSIO P A， HERZOG I， et al. Ideal Approximation Theory ［J］. Advances in Mathematics， 2013， 244： 750-790.

［8］MAO L X. Precovers and Preenvelopes by Phantom and Ext-Phantom Morphisms ［J］. Communications in Algebra， 2016， 44（4）： 1704-1721.

［9］MAO L X. RD-Phantom and RD-Ext-Phantom Morphisms ［J］. Filomat， 2018， 32（8）： 2883-2895.

［10］MAO L X. Neat-Phantom and Clean-Cophantom Morphisms ［J］. Journal of Algebra and Its Applications， 2021， 20（9）： 2150172-1-2150172-24.

［11］MAO L X. Higher Phantom Morphisms with Respect to a Subfunctor of Ext ［J］. Algebras and Representation Theory， 2019， 22（2）： 407-424.

［12］張春霞， 唐強玲. （n，d）-phantom與（n，d）-Ext-phantom態(tài)射 ［J］. 山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2023， 58（2）： 79-87. （ZHANG C X， TANG Q L. On （n，d）-Phantom and （n，d）-Ext-Phantom Morphisms ［J］. Journal of Shandong University （Natural Science）， 2023， 58（2）： 79-87.）

［13］HOCHSTER M. Cyclic Purity versus Purity in Excellent Noetherian Rings ［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1977， 231（2）： 463-488.

［14］DIVAANI-AAZAR K， ESMKHANI M A， TOUSI M. A Criterion for Rings Which Are Locally Valuation Rings ［J］. Colloquium Mathematicum， 2009， 116（2）： 153-164.

［15］DIVAANI-AAZAR K， ESMKHANI M A， TOUSI M. Some Criteria of Cyclically Pure Injective Modules ［J］. Journal of Algebra， 2006， 304（1）： 367-381.

［16］MAO L X. Modules with Respect to Cyclic Purity ［J］. Mathematica Scandinavica， 2011， 108（2）： 177-197.

［17］ESTRADA S， GUIL ASENSIO P A， OZBEK F. Covering Ideals of Morphisms and Module Representations of the Quiver A2［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2014， 218（10）： 1953-1963.

［18］ENOEHS E E， OYONARTE L. Covers， Envelopes and Cotorsion Theories ［M］. New York： Nova Science Publishers， 2002： 1-113.

［19］CRIVEI S， PREST M， TORRECILLAS B. Covers in Finitely Accessible Categories ［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 2010， 138（4）： 1213-1221.

［20］ROTMAN J J. An Introduction to Homological Algebra [M]. New York： Academic Press， 1979： 1-376.

［21］XUE W M. On Almost Excellent Extensions ［J］. Algebra Colloquium， 1996， 3（2）： 125-134.

（責(zé)任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2023-06-12.

第一作者簡介： 魏敏敏（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事環(huán)的同調(diào)理論的研究， E-mail： 18419376042@163.com.

通信作者簡介： 趙仁育（1977—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事環(huán)的同調(diào)理論的研究， E-mail： zhaory@nwnu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 11861055; 12061061）.