許衛(wèi)華

2023年3月江蘇省八市和浙江省9+1聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三第二次調(diào)研測(cè)試的第21題是一道頗具探究?jī)r(jià)值的優(yōu)質(zhì)試題，本文在對(duì)該題進(jìn)行解答的基礎(chǔ)上，對(duì)試題進(jìn)行推廣探究，進(jìn)而得到相應(yīng)的結(jié)論.

1試題呈現(xiàn)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1的離心率為22，焦距為2，過(guò)E的左焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與E相交于A，B兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=-2相交于點(diǎn)M.

（1）若M（-2，-1），求證：|MA|·|BF|=|MB|·|AF|；

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m與E相交于C，D兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=-2相交于點(diǎn)N，求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值.

2解法探究

分析1：由題意設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與E的方程聯(lián)立，消元、整理得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理整體代入、“設(shè)而不求”求解.

解法1：（1）設(shè)E的焦距為2c（0

令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），由x22+y2=1，y=x+1得3x2+4x=0.

下面從三個(gè)視角進(jìn)行等式證明.

證法1：由3x2+4x=0，解得x=-43或x=0.

不妨設(shè)x1=-43，x2=0，所以A（-43，-13），B（0，1）.

因此|MA|·|BF|=（-43+2）2+（-13+1）2·（-1-0）2+（0-1）2=223×2=43，|MB|·|AF|=（0+2）2+（2+1）2·（-1+43）2+（0+43）2=22×23=43.

從而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

證法2：同證法1知A（-43，-13），B（0，1）.

因此|MA|·|BF|=2|x1-（-2）|·2|-1-x2|=2|x1+2|·|x2+1|=2×|0+2|·|-43+1|=43；同理|MB|·|AF|=2|x1+1|·|x2+2|=2×|-43+1|·|0+2|=43.

從而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

證法3：由3x2+4x=0，得x1+x2=-43，x1x2=0.

因此|MA|·|BF|=2|x1+2|·|x2+1|=2|x1x2+2x2+2|=2|x1x2+x1+x2+x2+2|=2|0-43+x2+2|=2|x2+23|，同理|MB|·|AF|=2|x1x2+2x1+x2+2|=2|x1x2+2（x1+x2）-x2+2|=2|0-83-x2+2|=2|x2+23|.從而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

（2）由題設(shè)可知，直線(xiàn)l的斜率存在，且不為0.設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k（x+1），則直線(xiàn)m的方程為y=-1k（x+1），其中k≠0.

由x22+y2=1，y=k（x+1），整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有△=16k4-4（2k2+1）（2k2-2）>0，x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2.

由于M（-2，-k），因此1|MA|+1|MB|=11+k2|x1+2|+11+k2|x2+2|.

又x1>-2，x2>-2，故1|MA|+1|MB|=11+k2（1x1+2+1x2+2）=11+k2·x1+x2+4x1x2+2（x1+x2）+4=11+k2·4k21+2k2+42k2-21+2k2-8k21+2k2+4=11+k2·4k2+4k2+2=21+k2.同理1|NC|+1|ND|=21+（1k）2=2|k|1+K2.

從而1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND=11+k2+2|k|1+k2=2（1+|k|）1+k2=2k2+1+2|k|k2+1≤22（k2+1）k2+1=22，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=1，即k=±1時(shí)等號(hào)成立.故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值為22.

分析2：由題意知F是E的左焦點(diǎn)，而直線(xiàn)x=-2是E的左準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)l與m均過(guò)點(diǎn)F.

解法2：（1）x=-2是橢圓E的左準(zhǔn)線(xiàn)，離心率e=ca=22. 如圖1，左準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K；過(guò)點(diǎn)A作左準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為G，過(guò)點(diǎn)B作左準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H.

設(shè)l的傾斜角為α，則由橢圓第二定義，得|AF||AG|=|AF||MA|cosα=e，|BF||BH|=|BF||MB|cosα=e，從而得|AF||MA|cosα=|BF||MB|cosα，故|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為A1，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為B1，則|AG|=|A1K|=|FK|-|A1F|=1-|AF|cosα，|BH|=|B1K|=|FK|+|B1F|=1+|BF|cosα. 由橢圓第二定義得|AF||AG|=e，∴|AF||AG|=22，即2|AF|=|AG|，所以2|AF|=1-|AF|cosα，從而|AF|=12+cosα，故|AG|=22+cosα.

于是|AM|=|AG|cosα=22cosα+cos2α.同理|BM|=22cosα-cos2α.

故1|MA|+1|MB|=2cosα.

由于l⊥m，因此直線(xiàn)l與x軸夾角為π2-α，則1|MC|+1|MD|=2cos（π2-α）=2sinα.

所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|=2cosα+2sinα=22sin（α+π4≤22.

故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|最大值為22.

3推廣探究

下面我們僅對(duì)上述聯(lián)考題的第（2）小題的結(jié)論進(jìn)行推廣探究：能否將第（2）小題結(jié)論推廣到一般橢圓的情形？

結(jié)論1 過(guò)橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左焦點(diǎn)F（-c，0）（c>0）的直線(xiàn)l與E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=-a2c相交于點(diǎn)M；過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m與E相交于C，D兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=-a2c相交于點(diǎn)N，則1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值為22cb2.

簡(jiǎn)證：按試題解析2的過(guò)程來(lái)證明.由圖1可知，設(shè)|FK|=p，則p=a2c-c=b2c.所以|AG|=|A1K|=p-|A1F|=p-|AF|cosα，|BH|=|B1k|=p+|B1F|=p+|BF|cosα.

由橢圓第二定義，得|AF||AG|=e，所以1e|AF|=|AG|，即1e|AF|=p-|AF|cosα，所以|AF|=p1e+cosα=ep1+ecosα，所以|AG|=p1+ecosα，所以|AM|=|AG|cosα=pcosα+ecos2α.

同理可得|BM|=pcosα-ecos2α.所以1|MA|+1|MB|=cosα+ecos2αp+cosα-ecos2αp=2cosαp.

因?yàn)閘⊥m，所以直線(xiàn)m與x軸夾角為π2-α，同理1|MC|+1|MD|=2co（π2-α）p=2sinαp.

所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|=2cosαp+2sinαp=2p（sinα+cosα）=22pα+π4≤22p=22cb.故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值為22cb2.相應(yīng)地，我們有下面的結(jié)論2.

結(jié)論2 過(guò)橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0）（c>0）的直線(xiàn)l與E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=a2c相交于點(diǎn)M；過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的垂線(xiàn)m與E相交于C，D兩點(diǎn)，與直線(xiàn)x=a2c相交于點(diǎn)N，則1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值為22cb2.