柴巖 王如新 任生

摘 要：針對(duì)蜜獾算法存在的局部搜索能力不足、易陷入局部最優(yōu)值等問(wèn)題，提出一種雙種群協(xié)同演化的改進(jìn)蜜獾算法。在初始化階段采用Cubic混沌映射對(duì)種群進(jìn)行初始化，擴(kuò)大可行解的搜索范圍并提高種群的分布均衡性；引入融合黏菌算法和蜜獾算法的雙種群優(yōu)化機(jī)制，依托兩者的更新優(yōu)勢(shì)協(xié)同推進(jìn)個(gè)體逼近目標(biāo)位置，進(jìn)而提高整個(gè)算法的搜索效率和優(yōu)化性能；采用柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略對(duì)蜜獾種群最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)，以提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。通過(guò)評(píng)估單一策略的改進(jìn)有效性實(shí)驗(yàn)、與七種對(duì)比算法的不同高維實(shí)驗(yàn)以及Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，結(jié)果表明該算法具有良好的收斂精度和求解速度。最后將改進(jìn)算法應(yīng)用于壓縮彈簧設(shè)計(jì)和壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性及該算法的工程實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：蜜獾算法； Cubic混沌映射； 雙種群協(xié)同優(yōu)化； 柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)； 工程應(yīng)用

中圖分類號(hào)：TP301.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2024）03-014-0736-10

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.05.0293

Improved honey badger algorithm for dual population collaborative evolution

Chai Yan， Wang Ruxin， Ren Sheng

（College of Science， Liaoning Technical University， Fuxin Liaoning 125105， China）

Abstract：To address the weaknesses of the honey badger algorithm， specifically its limited capacity for local search and susceptibility to local optima， this paper proposed an enhanced version based on coevolution with two populations. This approach used Cubic chaotic mapping to initialize the population， thereby expanding the search space and improving its distribution. Moreover， it introduced a dual-population optimization mechanism that combined the slime mold algorithm with the honey ba-dger algorithm. By leveraging the strengths of both methods， the individuals could more effectively hone-in on the target location， resulting in improved search efficiency and optimization performance. To further improve the algorithms ability to escape local optima， it employed a Cauchy random reverse perturbation strategy to disturb the optimal position of the honey badger population. By means of the experiment of improving the effectiveness of a single strategy， different high-dimensional experiments with seven other algorithms and Wilcoxon rank-sum tests， experimental results demonstrate that the proposed algorithm has high convergence accuracy and fast solving times. Finally， this paper applied the improved algorithm to the design of compression springs and pressure vessels， which further confirmed the efficacy of improved strategy and the practical utility of the algorithm.

Key words：honey badger algorithm; Cubic chaotic mapping; double population cooperative optimization; Cauchy random reverse perturbation; engineering application

0 引言

隨著科技的不斷創(chuàng)新和發(fā)展，眾多工程問(wèn)題需要進(jìn)一步優(yōu)化求解。由于傳統(tǒng)優(yōu)化方法，如牛頓法［1］、梯度下降法［2］等存在易陷入局部最優(yōu)、增加時(shí)間復(fù)雜度等問(wèn)題，現(xiàn)已無(wú)法滿足實(shí)際需求。元啟發(fā)式算法利用仿生學(xué)或物理學(xué)現(xiàn)象來(lái)進(jìn)行優(yōu)化求解，因其框架簡(jiǎn)單且搜索策略具有較好的可擴(kuò)展性和魯棒性，所以在解決工程優(yōu)化問(wèn)題方面具有很大優(yōu)勢(shì)。目前元啟發(fā)式算法主要包括模擬退火算法（simulated annealing，SA）［3］、禁忌搜索算法（taboo search，TS）［4］、粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）［5］、灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）［6］、正余弦算法（sine cosine algorithm，SCA）［7］、變色龍算法（chameleon swarm algorithm，CSA）［8］、野狗優(yōu)化算法（dingo optimization algorithm，DOA）［9］、黏菌算法（slime mould algorithm，SMA）［10］等。其中群體智能算法采用多個(gè)個(gè)體并行搜索的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)分布式計(jì)算，適合處理大規(guī)模數(shù)據(jù)和高維問(wèn)題且具有較好的魯棒性，在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中具有一定優(yōu)勢(shì)。

群體智能優(yōu)化算法面臨的挑戰(zhàn)主要包括種群多樣性不足和收斂速度問(wèn)題。為應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，學(xué)者們進(jìn)行了相關(guān)研究并提出了多種解決方案：

a）在種群初始化階段，提出使用混沌映射，如Chebyshev［11］、tent［12］等來(lái)遍歷整個(gè)解空間，以增加種群的多樣性；同時(shí)，應(yīng)用Halton序列［13］、Sobol序列［14］等方法調(diào)控種群的空間分布；此外采用反向?qū)W習(xí)策略［15］也可以提高種群的多樣性。

b）在位置更新階段，董奕含等人［16］提出了局部-全局信息共享策略，通過(guò)共享全局最優(yōu)解的信息，使算法根據(jù)當(dāng)前位置附近的信息進(jìn)行更新和調(diào)整，然而該策略存在不同個(gè)體之間共享信息增加溝通成本的問(wèn)題；Wang等人［17］采用領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者策略，其中跟隨者會(huì)根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的位置和行為進(jìn)行更新，但是跟隨者受領(lǐng)導(dǎo)者局限性的影響，可能無(wú)法得到理想的結(jié)果。

c）在最優(yōu)位置處，有學(xué)者利用柯西變異因子［18］對(duì)最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)，然而這樣會(huì)增加搜索空間的復(fù)雜性，增加算法迭代次數(shù)；其次，階梯步進(jìn)策略［19］可以保證當(dāng)前優(yōu)勢(shì)個(gè)體加快向全局最優(yōu)前進(jìn)的趨勢(shì)，但會(huì)導(dǎo)致過(guò)早收斂；此外，采用黃金萊維飛行策略和t-分布擾動(dòng)策略來(lái)共同改進(jìn)發(fā)現(xiàn)者位置的更新，其中動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)的設(shè)置相比起簡(jiǎn)單且固定的參數(shù)設(shè)置方法需要更多的計(jì)算量。

雙種群協(xié)同策略［20］相較于以上策略，在位置更新和確定最優(yōu)位置處實(shí)現(xiàn)更高效的優(yōu)化。一方面，兩個(gè)種群之間的信息交流提供了種群間的合作機(jī)制，可以獲得更好的解；另一方面，種群之間的競(jìng)爭(zhēng)可以通過(guò)個(gè)體的適應(yīng)度評(píng)估來(lái)加快進(jìn)化進(jìn)程，使種群更快地收斂到全局最優(yōu)解。本文提出一種雙種群協(xié)同演化的改進(jìn)蜜獾算法（improved honey badger algorithm for dual population collaborative evolution，DPHBA）。首先引入Cubic混沌映射策略，Cubic混沌映射具有良好的隨機(jī)性和廣泛的分布性，能夠有效提高算法的全局搜索能力；其次，將黏菌算法融合到蜜獾算法中，不同種群分別進(jìn)行適應(yīng)性調(diào)整，通過(guò)協(xié)同共享和競(jìng)爭(zhēng)可以提高算法的搜索能力，并加速收斂速度；最后，引入柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略，有效避免算法陷入局部最優(yōu)解，并提高了全局搜索的效果。通過(guò)四組數(shù)值實(shí)驗(yàn)以及兩個(gè)工程應(yīng)用問(wèn)題驗(yàn)證了DPHBA的尋優(yōu)精度、收斂速度、穩(wěn)定性均取得較大提升。

1 蜜獾算法

蜜獾算法（honey badger algorithm，HBA）是Hashim等人［21］提出的一種新型群智能優(yōu)化算法，它以模仿蜜獾的覓食行為為基礎(chǔ)，旨在模擬蜜獾的兩種不同捕食行為，即挖掘和采蜜。前者依靠嗅覺(jué)以確定最佳的捕獲地點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)最佳的捕獲效果；后者則依靠導(dǎo)蜜鳥的指引來(lái)捕獲更多的獵物。

1.1 強(qiáng)度

蜜獾根據(jù)氣味去尋找食物，獵物氣味強(qiáng)度越大，表示距離蜜獾越近，搜索加速。強(qiáng)度的定義為

3.2 雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制

在蜜獾算法中，單一搜索模式限制了種群的搜索范圍，并且易發(fā)生早熟收斂的現(xiàn)象，主要是由于個(gè)體在尋優(yōu)過(guò)程中僅向最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行學(xué)習(xí)，一旦發(fā)現(xiàn)當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，所有的蜜獾都會(huì)向該方向搜索，導(dǎo)致算法探索的領(lǐng)域變小，難以找到更廣闊的搜索空間中潛在的最優(yōu)解，從而削弱了算法的全局尋優(yōu)能力。

由于黏菌算法和蜜獾算法產(chǎn)生新個(gè)體的方式不同，決定了它們?cè)趯?yōu)時(shí)的效果也不同，黏菌算法對(duì)多峰函數(shù)和高維函數(shù)的搜索能力較強(qiáng)，蜜獾算法對(duì)連續(xù)函數(shù)和離散函數(shù)的搜索能力較強(qiáng)，兩者皆能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找到全局最優(yōu)解。所以本文將其各自優(yōu)勢(shì)相融合，提出了一種雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制，將種群劃分為兩部分。第一部分采用黏菌算法更新個(gè)體位置，第二部分采用蜜獾算法更新個(gè)體位置。該算法通過(guò)同時(shí)演化兩個(gè)種群，不僅能夠維持種群的多樣性，還能夠提高算法的收斂速度。在計(jì)算復(fù)雜度可承受的情況下，該算法具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力。在更新過(guò)程中，個(gè)體之間相互交換信息、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使得全局最優(yōu)解更容易被搜索到，進(jìn)而提高算法的搜索效率和準(zhǔn)確度。個(gè)體之間不僅有合作，還存在一定的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，以促進(jìn)算法更好地演化。種群之間的競(jìng)爭(zhēng)主要表現(xiàn)在個(gè)體的選擇上，每次更新結(jié)束后，僅保留適應(yīng)度最好的個(gè)體，并將其作為下一次迭代的最優(yōu)個(gè)體，其中最優(yōu)個(gè)體可能來(lái)自于前者，也可能來(lái)自于后者。種群之間會(huì)相互影響來(lái)避免算法陷入局部最優(yōu)解，使得搜索空間更加廣闊，持續(xù)保留適應(yīng)度較高的個(gè)體，并更快地逼近全局最優(yōu)解。

雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制的偽代碼如下所示。

3.3 柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略

為了增強(qiáng)算法在局部尋優(yōu)時(shí)的多樣性，同時(shí)提高種群逼近最優(yōu)位置的速度，本文引入了柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略來(lái)交互擾動(dòng)當(dāng)前最優(yōu)解，以增加搜索空間的多樣性和隨機(jī)性。具體來(lái)說(shuō)，在種群尋優(yōu)的過(guò)程中，會(huì)通過(guò)隨機(jī)概率發(fā)生柯西學(xué)習(xí)變異和隨機(jī)反向?qū)W習(xí)的交互擾動(dòng)產(chǎn)生新的擾動(dòng)解進(jìn)行后續(xù)搜索，從而避免算法陷入局部最優(yōu)解，并保證了算法的全局搜索能力。

柯西變異［18］具有突變幅度大、保持種群多樣性和適應(yīng)不同問(wèn)題的特性，從而能夠防止種群過(guò)早陷入局部最優(yōu)解，并且縮短到達(dá)最優(yōu)位置的時(shí)間。因此，將柯西變異算子引入HBA算法中，利用其強(qiáng)大的擾動(dòng)能力來(lái)調(diào)控當(dāng)前最優(yōu)解。具體表達(dá)式如下：

3.5 時(shí)間復(fù)雜度

時(shí)間復(fù)雜度是評(píng)估算法優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一，它反映了算法所需的計(jì)算資源，通常以輸入規(guī)模為函數(shù)的增長(zhǎng)率來(lái)衡量。本文將對(duì)HBA和DPHBA的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行比較分析。

在HBA中，假設(shè)種群規(guī)模為N，搜索維度為D，最大迭代次數(shù)為T，適應(yīng)度函數(shù)為f（x）。設(shè)在種群初始化階段的時(shí)間復(fù)雜度為O（N），更新種群位置的時(shí)間復(fù)雜度為O（TN），局部搜索階段的時(shí)間復(fù)雜度為O（TND）。標(biāo)準(zhǔn)HBA算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（N）+O（TN）+O（TND）=O（TND）。

基于本文策略改進(jìn)的 DPHBA，引入Cubic混沌映射初始化種群，未對(duì)全局探索階段的更新公式進(jìn)行改進(jìn)，所以此階段時(shí)間復(fù)雜度為O（N）。在全局搜索階段引入雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制，此方法可以在全局搜索階段中起到加速收斂和提高全局最優(yōu)解發(fā)現(xiàn)概率的作用，只是改變了種群的分配和算法的執(zhí)行方式，并沒(méi)有改變算法本身的復(fù)雜度，此階段的時(shí)間復(fù)雜度為O（TN）。引入柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略中執(zhí)行貪婪原則增加的O（T）計(jì)算量在同數(shù)量級(jí)下變化，其余環(huán)節(jié)復(fù)雜度同HBA算法，所以該階段時(shí)間復(fù)雜度為O（TND）。所以，DPHBA 總的時(shí)間復(fù)雜度為O（N）+O（TN）+O（TND）=O（TND）。

綜上所述，本文算法與標(biāo)準(zhǔn)的HBA算法的時(shí)間復(fù)雜度一致，改進(jìn)后的算法并沒(méi)有使原算法的運(yùn)行時(shí)間增加。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

為檢驗(yàn)DPHBA求解性能的優(yōu)越性，共設(shè)計(jì)了四組實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)1探究各策略對(duì)HBA性能改進(jìn)的有效性；實(shí)驗(yàn)2是在不同高維情形下與智能算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了DPHBA優(yōu)越的尋優(yōu)精度和優(yōu)良的收斂速度；實(shí)驗(yàn)3是不同高維情形下DPHBA與智能算法收斂曲線對(duì)比分析；實(shí)驗(yàn)4是Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。使用20個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)DPHBA進(jìn)行性能測(cè)試。通過(guò)使用單峰測(cè)試函數(shù)F1～F6評(píng)估算法的局部性能，并確定它的收斂速度；使用多峰測(cè)試函數(shù)F7～F11評(píng)估算法的全局搜索能力以及跳出局部性能；F12～F20是固定維測(cè)試函數(shù)，可用于評(píng)估算法平衡探索與開發(fā)能力之間的表現(xiàn)。通過(guò)以上三種不同的測(cè)試函數(shù)對(duì)算法的求解和開發(fā)能力進(jìn)行有效的評(píng)估。

為保證仿真實(shí)驗(yàn)控制變量原則，本文使用的所有算法種群數(shù)設(shè)置為N=30，最大迭代次數(shù)T=500，單峰和多峰函數(shù)D=30/100/500/1000。為避免單次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行的隨機(jī)性造成的誤差，將每組實(shí)驗(yàn)迭代運(yùn)行30次，以30次統(tǒng)計(jì)結(jié)果的平均值（mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（std）、最小值（min）、最大值（max）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)?；鶞?zhǔn)測(cè)試函數(shù)具體信息如表1所示，各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

4.2 不同策略的改進(jìn)有效性分析

為驗(yàn)證三種改進(jìn)策略對(duì)蜜獾算法性能提升的有效性，本文設(shè)置僅融合Cubic混沌映射策略的改進(jìn)蜜獾算法為HBA-1，僅融合黏菌算法的改進(jìn)蜜獾算法為HBA-2，僅融合柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略的改進(jìn)蜜獾算法為HBA-3。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置同4.1節(jié)，并對(duì)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行30次尋優(yōu)處理，其結(jié)果的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最小值、最大值對(duì)比如表3所示，表中加粗?jǐn)?shù)字表示每個(gè)函數(shù)各指標(biāo)的最優(yōu)值。

由表3可知，本文提出的Cubic混沌映射初始化種群、雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制、柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略對(duì)標(biāo)準(zhǔn)蜜獾算法的尋優(yōu)性能提升均有一定幫助，并且有利于提升種群整體質(zhì)量。

HBA-1在各測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)良好，其中在函數(shù)F1～F3上精度提高了10個(gè)數(shù)量級(jí)，且在復(fù)雜多峰函數(shù)和固定維度函數(shù)上的表現(xiàn)更優(yōu)于簡(jiǎn)單的單峰函數(shù)；在函數(shù)F7、F9上各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到了最優(yōu)值，體現(xiàn)出了Cubic混沌映射生成的隨機(jī)序列具有高度的隨機(jī)性；在函數(shù)F12上各指標(biāo)達(dá)到理論最優(yōu)值，可以幫助算法跳出局部最優(yōu)解，從而更快地收斂到全局最優(yōu)解；在函數(shù)F13～F20上最小值達(dá)到理論最優(yōu)值，說(shuō)明HBA-1具有更高的搜索效率和更快的收斂速度。

HBA-2的指標(biāo)值在標(biāo)準(zhǔn)HBA的基礎(chǔ)上提升多至數(shù)百個(gè)單位，且相對(duì)于HBA-1、HBA-3，其精度優(yōu)勢(shì)突出。在函數(shù)F1和F3上達(dá)到了理論最優(yōu)值，這表明采用融合黏菌算法的蜜獾算法提升了HBA的全局搜索性能，且符合在前期主要進(jìn)行全局探索、在后期則主要進(jìn)行局部開發(fā)的優(yōu)化規(guī)律；在函數(shù)F4上HBA-2的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到理論最優(yōu)值，意味著算法搜索結(jié)果的波動(dòng)性較小，反映了HBA-2相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)HBA算法的搜索結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性更佳;在函數(shù)F7～F9上達(dá)到理論最優(yōu)值，說(shuō)明HBA-2相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)HBA有著更好的全局搜索能力和避免局部最優(yōu)的能力；在函數(shù)F12～F20上HBA-2的最小值達(dá)到理論最優(yōu)值，說(shuō)明HBA-2具有更高的搜索效率和更快的收斂速度；在函數(shù)F15～F20上HBA-2的最大值優(yōu)于其他對(duì)比算法，說(shuō)明雙種群協(xié)調(diào)機(jī)制具有多樣性并行搜索和分布式求解的特點(diǎn)，在尋找最優(yōu)解時(shí)具有較快的收斂速度。同時(shí)，HBA-2與DPHBA的收斂精度相對(duì)接近，雙種群協(xié)調(diào)機(jī)制能夠有效地避免算法陷入局部最優(yōu)解，從而增強(qiáng)了算法的魯棒性和可靠性，也證明了該策略在算法精度提高中有著顯著貢獻(xiàn)。

HBA-3 相較標(biāo)準(zhǔn)HBA的尋優(yōu)能力明顯增強(qiáng)，在函數(shù)F1、F3、F5上標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到最優(yōu)值，在函數(shù)F7～F9上各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到理論最優(yōu)值，同時(shí)在函數(shù)F13～F20上最小值達(dá)到理論最優(yōu)值，說(shuō)明HBA-3具有更好的魯棒性和泛化能力，同時(shí)具有較強(qiáng)的搜索能力和潛力。證實(shí)了柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略在算法協(xié)調(diào)全局與局部搜索能力中的重要作用，以幫助更好地預(yù)測(cè)改進(jìn)算法在實(shí)際應(yīng)用中的表現(xiàn)，反映出利用柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略對(duì)提升算法尋優(yōu)有著積極影響。

DPHBA的指標(biāo)值在各基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上均優(yōu)于HBA，特別地，在函數(shù)F1～F4、F7～F11以及F14、F15、F18～F20上，DPHBA均可收斂到全局最優(yōu)值，說(shuō)明可以在最短時(shí)間內(nèi)找到多數(shù)單多峰函數(shù)和固定維函數(shù)的最小值，并將其收斂到0點(diǎn)。同時(shí)說(shuō)明DPHBA具有最優(yōu)的收斂精度和魯棒性，從而綜合證明了三種改進(jìn)策略對(duì)標(biāo)準(zhǔn)HBA算法的改進(jìn)有效。

4.3 不同算法的尋優(yōu)精度分析

為驗(yàn)證DPHBA優(yōu)越的尋優(yōu)性能，對(duì)比分析DPHBA與PSO、WOA［27］、BOA［28］、SMA、HBA、IHBA［11］、IIHBA［18］在測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)情況。實(shí)驗(yàn)種群規(guī)模N和最大迭代次數(shù)T分別為30、500，單峰、多峰測(cè)試函數(shù)維度分別設(shè)置為100、500、1 000，固定維度函數(shù)的維度參照表1，各算法的其他參數(shù)設(shè)置同原文獻(xiàn)。30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的單、多峰測(cè)試函數(shù)結(jié)果如表4所示，固定維度函數(shù)結(jié)果如表5所示。

縱向分析表4可知，DPHBA相對(duì)于其他七種對(duì)比算法各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)均表現(xiàn)最優(yōu)，甚至在單峰測(cè)試函數(shù)上30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均最優(yōu)值指標(biāo)均已經(jīng)高出其他對(duì)比算法數(shù)十個(gè)乃至上百個(gè)數(shù)量級(jí)，其中在函數(shù)F1～F4上，DPHBA的各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到理論最優(yōu)值，反映了本文算法優(yōu)異的收斂精度和良好的穩(wěn)定性；對(duì)于單峰函數(shù)F5和F6，DPHBA只有標(biāo)準(zhǔn)差未能達(dá)到最優(yōu)值，但仍優(yōu)于對(duì)比算法，并在平均收斂精度方面高于HBA。對(duì)于復(fù)雜多峰測(cè)試函數(shù)，其解空間通常非常大且充滿峰值和局部最小值，DPHBA的尋優(yōu)能力同樣突出。其中，在函數(shù)F7～F11上各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到理論最優(yōu)值；對(duì)于多峰函數(shù)F10和F11，DPHBA雖未達(dá)到理論最優(yōu)值，但是各項(xiàng)指標(biāo)均已經(jīng)高出其他對(duì)比算法數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)。說(shuō)明DPHBA能夠有效地搜索整個(gè)空間，并在其中快速找到全局最優(yōu)解而不會(huì)被卡在局部最優(yōu)解中。

橫向分析表4可知，當(dāng)函數(shù)的維度增加時(shí)，算法的搜索精度也會(huì)相應(yīng)地減少，這是由于維度的擴(kuò)大會(huì)導(dǎo)致種群的搜索范圍擴(kuò)大，從而影響算法的搜索準(zhǔn)確性。但無(wú)論在100 D、500 D還是1000 D的高維實(shí)驗(yàn)中，DPHBA受維度升高的影響最小，仍然具有明顯的精度優(yōu)勢(shì)，特別是在求解函數(shù)F1～F4、F7、F9時(shí)各項(xiàng)指標(biāo)皆為理論最小值，始終保持各項(xiàng)指標(biāo)最優(yōu)的情形，對(duì)其他單峰和多峰函數(shù)尋優(yōu)時(shí)的平均收斂精度也仍優(yōu)于對(duì)比算法，表明DPHBA擁有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力，證明了DPHBA卓越的尋優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)力和優(yōu)異的高維問(wèn)題適用性，并且在高維標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。

表5中，對(duì)于固定維度測(cè)試函數(shù)，DPHBA基本都能收斂到理論值附近，尤其在測(cè)試函數(shù)F12、F13、F16上各項(xiàng)指標(biāo)表現(xiàn)最優(yōu)，且在各函數(shù)上的最小值表現(xiàn)最佳，高出標(biāo)準(zhǔn)HBA數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)，表明DPHBA具有較強(qiáng)的搜索能力和潛力，在解決該測(cè)試函數(shù)問(wèn)題時(shí)更有效或更準(zhǔn)確，并提供了可能獲得更優(yōu)解決方案的機(jī)會(huì)。在函數(shù)F12、F13、F16上DPHBA的標(biāo)準(zhǔn)差較對(duì)比算法表現(xiàn)更好，意味著算法搜索結(jié)果的波動(dòng)性較小，反映了DPHBA搜索結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性，并且說(shuō)明DPHBA相較于標(biāo)準(zhǔn)HBA具有更好的全局搜索能力和收斂性。

分析表4可知，100 D中WOA的平均運(yùn)行時(shí)間最短，500 D和1000 D中BOA的平均運(yùn)行時(shí)間最短。分析表5可知，WOA的平均運(yùn)行時(shí)間最短，這是由于WOA和BOA結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，其中WOA主要包含更新“引領(lǐng)者”位置和更新“隨從者”位置兩個(gè)步驟，這種簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)使得算法減少了計(jì)算的復(fù)雜性，從而降低了運(yùn)行時(shí)間；同時(shí)BOA控制參數(shù)少且易于實(shí)現(xiàn)，能夠加速搜索過(guò)程并減少搜索空間，以快速收斂到較優(yōu)解從而減少運(yùn)行時(shí)間。而本文提出的DPHBA相較原始HBA能夠在一定程度上減少運(yùn)行時(shí)間。

4.4 不同算法的收斂曲線分析

為更加直觀地觀測(cè)各算法的收斂速度、尋優(yōu)穩(wěn)定性和局部最優(yōu)逃逸能力等情況，對(duì)各算法的收斂情況進(jìn)行可視化，在D=100情況下的10個(gè)單多峰函數(shù)和2個(gè)固定維度函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次的收斂曲線對(duì)比如圖3所示。其中單峰函數(shù)選用F1、F3、F4、F5、F6，多峰函數(shù)選用F9、F10、F11、F12、F13，固定維度函數(shù)選用F14、F18。

從圖3可以看出，相較于對(duì)比算法，DPHBA的迭代趨勢(shì)表現(xiàn)更優(yōu)，并且能夠以更快的收斂速度實(shí)現(xiàn)優(yōu)化研究。由圖3（a）～（c）可見，DPHBA收斂曲線大致呈現(xiàn)冪函數(shù)下降，表明DPHBA在單峰函數(shù)上以勻速或勻加速進(jìn)行迭代搜索，表現(xiàn)出強(qiáng)健的搜索穩(wěn)定性，且算法的收斂速度較標(biāo)準(zhǔn)HBA增快了數(shù)倍，其效果源自于引入的柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略，其目的是以當(dāng)前解為基礎(chǔ)，對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行擾動(dòng)處理并進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)控，加速了算法收斂效率；同時(shí)圖3（d）（e）在迭代次數(shù)超過(guò)1/2就可以有效地捕捉到多峰函數(shù)的全局最佳解，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他算法，從而使得求解多峰函數(shù)變得更加容易、有效。各算法在求解多峰函數(shù)時(shí)，面對(duì)復(fù)雜的多極值測(cè)試函數(shù)，雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制對(duì)算法的擾動(dòng)成功率大大提升，特別是在函數(shù)F10、F12、F13上的擾動(dòng)效果非常明顯，使得算法快速收斂到函數(shù)理論值附近。圖3（a）為求解固定函數(shù)的平均收斂曲線，各算法均出現(xiàn)了不同程度的停滯現(xiàn)象，而DPHBA具有顯著的優(yōu)勢(shì)，不僅可以有效克服局部極值區(qū)的限制迅速?gòu)某跏茧A段開始搜索，而且在最終階段的收斂精度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他算法，表明其具備卓越的全局搜索能力。

綜上所述，不同算法在各測(cè)試函數(shù)上的動(dòng)態(tài)尋優(yōu)進(jìn)程不同且以DPHBA的尋優(yōu)性能和收斂速度表現(xiàn)最優(yōu)。

4.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

選取11個(gè)維度D=100的單峰和多峰函數(shù)以及9個(gè)固定維度函數(shù)進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，進(jìn)一步比較DPHBA與對(duì)比算法的運(yùn)行效果。其中，顯著性水平設(shè)置為0.05，將所有算法的結(jié)果運(yùn)行30次。當(dāng)檢驗(yàn)的p＞0.05時(shí)，說(shuō)明兩種算法的運(yùn)行結(jié)果沒(méi)有顯著差異；否則，兩種算法運(yùn)行結(jié)果存在顯著差異。表6為DPHBA與對(duì)比算法的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果。其中：“NaN”表示無(wú)法進(jìn)行顯著性差異判 ，“+/=/-”表示DPHBA和對(duì)比算法之間性能的“優(yōu)于/相當(dāng)/劣于”。由表6可以看出，絕大多數(shù)的p都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，可以證明經(jīng)過(guò)對(duì)DPHBA的優(yōu)化，其結(jié)果表現(xiàn)出了顯著的優(yōu)勢(shì)，且其統(tǒng)計(jì)學(xué)意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其他對(duì)比算法。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的雙種群協(xié)同演化的改進(jìn)蜜獾算法的收斂速度、求解精度和魯棒性都有明顯提升。

5 DPHBA算法的工程應(yīng)用分析

為驗(yàn)證DPHBA在實(shí)際工程應(yīng)用中的性能，選取了壓縮彈簧設(shè)計(jì)和壓力容器設(shè)計(jì)兩種經(jīng)典的工程優(yōu)化問(wèn)題，并且與其他七種算法進(jìn)行對(duì)比，證明了DPHBA在實(shí)際工程應(yīng)用的優(yōu)越性以及前景。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為500，獨(dú)立運(yùn)行30次。

5.1 壓縮彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題

壓縮彈簧設(shè)計(jì)是最小約束優(yōu)化問(wèn)題，其目的主要是減輕彈簧的重量。該優(yōu)化問(wèn)題根據(jù)最小撓度、剪切應(yīng)力、振蕩頻率以及外徑限制四個(gè)約束條件來(lái)設(shè)計(jì)三個(gè)變量，即彈簧金屬絲直徑d（x1）、彈簧圈平均直徑D（x2）以及彈簧有效圈數(shù)N（x3）。

該問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述如下所示。

目標(biāo)函數(shù)：

f（x）=（x3+2）x2x21

決策變量取值范圍：

0.05≤x1≤20.25≤x2≤1.32≤x3≤15

約束條件：

g1（x）=1-x32x371875x41≤0g2（x）=4x22-x1x212566（x2x31-x41）+15108x21-1≤0g3（x）=1-140.45x1x22x3≤0g4（x）=x1+x21.5-1≤0

表7列出了DPHBA與對(duì)比算法求解壓縮彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中加粗字體表示最優(yōu)值。

根據(jù)表7的數(shù)據(jù)，DPHBA的平均值、最優(yōu)值、最小值和最大值均為最低，表明本文提出的改進(jìn)策略比HBA具有更強(qiáng)的搜索能力，為實(shí)際應(yīng)用提供了可靠依據(jù)，可以有效地解決壓縮彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題，從而證明了DPHBA在解決這類工程問(wèn)題方面表現(xiàn)出色。

圖4展示了各算法的收斂曲線，可以看到DPHBA的收斂速度和尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于其他算法， 并且在算法初期的全局搜索能力和后期的局部搜索能力上均具有明顯優(yōu)勢(shì)。與HBA相比，DPHBA由于引入柯西變異，種群跳出局部最優(yōu)能力增強(qiáng)，引入雙種群協(xié)同優(yōu)化機(jī)制，算法的尋優(yōu)速度大幅度增加。通過(guò)對(duì)收斂曲線的分析，DPHBA在很大程度上改善了HBA的缺陷，并且提升了尋優(yōu)精度，在維持原有的優(yōu)勢(shì)下提升了算法的性能。

5.2 壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題

壓力容器設(shè)計(jì)是經(jīng)典的工程優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)降低壓力容器的耗材來(lái)降低控制工程成本，其中四個(gè)設(shè)計(jì)變量分別為外殼厚度Ts（x3）、封頭厚度Th（x4）、內(nèi)半徑R（x1）以及容器長(zhǎng)度L（x2，不包括頭部），其中Ts和Th為0.625的整數(shù)倍，R和L為連續(xù)變量。具體數(shù)學(xué)模型如下。

目標(biāo)函數(shù)：

min f（x）=0.6224x1x3x4+1.7781x2x23+3.1661x21x4+19.84x21x3

約束條件：

g1（x）=-x1+0.0193x3≤0g2（x）=-x2+0.00954x3≤0g3（x）=-πx23x4-43πx23+1296000≤0g4（x）=x4-240≤0

邊界約束：

0≤x1≤99，0≤x2≤99，10≤x3≤200，10≤x4≤200

表8列出了DPHBA與對(duì)比算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中加粗字?jǐn)?shù)字表示最優(yōu)值。

根據(jù)表8的數(shù)據(jù)，DPHBA的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最小值、最大值都為最低，顯示出將SMA和HBA的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合并采用柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略，使得算法的搜索效率得到極大的改善，從而使其在處理復(fù)雜的工程設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)能夠發(fā)揮出最佳效果。

通過(guò)觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，DPHBA的收斂速度和準(zhǔn)確率都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他算法，這表明在引入HBA的改良策略后，其收斂能力和準(zhǔn)確率都大大提升。此外，通過(guò)改善初始化種群的方式能夠提升種群的多樣性和遍歷能力，從而使得生成的初始值更接近全局最優(yōu)。經(jīng)過(guò)SMA和HBA的綜合運(yùn)用，該算法的收斂速度大大提高，采用交叉操作能夠更加準(zhǔn)確地找到局部最優(yōu)解，從而為工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域的求解帶來(lái)更多的可能性。

6 結(jié)束語(yǔ)

為了解決原始HBA在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，本文提出雙種群協(xié)同演化的改進(jìn)蜜獾算法。引入了Cubic混沌映射初始化蜜獾種群，使得個(gè)體分布更加均勻；同時(shí)提出了雙種群協(xié)同演化機(jī)制充分發(fā)揮不同算法的優(yōu)點(diǎn)，提高了整個(gè)算法的搜索效率和優(yōu)化性能；另外，柯西隨機(jī)反向擾動(dòng)策略的引入也增加了算法的魯棒性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的DPHBA的不同改進(jìn)策略均取得了顯著有效的效果，并且具有更高的競(jìng)爭(zhēng)力。求解工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明該算法具有較好的應(yīng)用潛力，能夠提供優(yōu)秀的解決方案，在工程設(shè)計(jì)等復(fù)雜問(wèn)題求解中具有廣泛的應(yīng)用前景。今后將進(jìn)一步拓寬DPHBA的應(yīng)用領(lǐng)域，著重于數(shù)據(jù)挖掘、圖像處理、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等方面，這將為DPHBA在實(shí)際應(yīng)用中的推廣和進(jìn)一步研究提供更加廣闊的空間。

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