吳 理， 李自成，2， 羅敬崴， 劉曾杉， 申啟俊

（1.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院， 四川 樂山 614000； 2.核工業(yè)西南物理研究院， 四川 成都 610000）

0 引言

時域分析法利用對系統(tǒng)的微分方程式及時間傳遞函數(shù)，進(jìn)行拉普拉斯轉(zhuǎn)換求得系統(tǒng)實(shí)際輸出的表達(dá)式。根據(jù)給出的信息可以計(jì)算得出控制器的時間響應(yīng),然后再利用響應(yīng)圖來解析控制器的特性。但是在這中間的處理過程中需要較大的運(yùn)算量，而且既耗時又費(fèi)腦。根軌跡分析法理解控制系統(tǒng)的圖解方法更加便捷，于是就需要利用MATLAB 軟件分析控制的性能指標(biāo)，并通過繪制系統(tǒng)的階躍信號響應(yīng)曲線圖與根軌跡簡潔直觀的顯示出來。使用SimuLink 對系統(tǒng)進(jìn)行建模與仿真避免在實(shí)際工程應(yīng)用中產(chǎn)生問題。

1 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)

線性系統(tǒng)的時域分析法在自動控制系統(tǒng)中，對于線性定?？刂葡到y(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律與特點(diǎn)，可利用時域分析法去分析控制系統(tǒng)的性能。通過微分方程便可以求出系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。

數(shù)學(xué)模型對任何系統(tǒng)進(jìn)行分析都需要先進(jìn)行建立，系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是針對各變量間相互作用和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)描述。在自動控制系統(tǒng)中，建立這種模型是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。MATLAB 提供了多種工具和函數(shù)，用于創(chuàng)建控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，包括傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益和狀態(tài)空間模型。這些模型有助于理解系統(tǒng)特性，選擇合適的控制策略，并優(yōu)化系統(tǒng)性能。

本文只對傳遞函數(shù)模型進(jìn)行研究，某輸入輸出分別用U（t）、Y（t）來表示，并且它是單輸入單輸出系統(tǒng)，其線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型則為：

MATLAB 控制工具箱中提供了tf（）函數(shù)，該函數(shù)允許使用多項(xiàng)式系數(shù)來表示分子和分母，從而建立傳遞函數(shù)。這個功能有助于快速構(gòu)建控制系統(tǒng)模型，以便進(jìn)行進(jìn)一步的分析和設(shè)計(jì)，其常用的調(diào)用格式為：

用MTALB 表示傳遞函數(shù)：

根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)求出傳遞函數(shù)模型的程序如下：

運(yùn)行結(jié)果如下：

二階控制系統(tǒng)是以二階微分方程表示的控制系統(tǒng)，其中包括二個儲能單元。電能在二個單元間傳遞，使其產(chǎn)生來回振蕩的趨勢。當(dāng)阻尼值比較小時，系統(tǒng)就產(chǎn)生振蕩特性。因此二階系統(tǒng)在控制工程中運(yùn)用很普遍，如電磁技術(shù)中的RLC 控制系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)中的彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)，同時，在一定條件下的許多高階系統(tǒng)，可以類似為二階系統(tǒng)來研究。因此本文選擇二階系統(tǒng)展開研究。

以二階系統(tǒng)為例介紹動態(tài)性能指標(biāo)，二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要有：上升時間tr、峰值時間tp、最大超調(diào)量Mp，延遲時間td、、調(diào)節(jié)時間ts。

典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。

圖1 典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：ξ為系統(tǒng)的阻尼比；ωn為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率為系統(tǒng)振蕩周期。

使用MATLAB 繪制出頻率ωn=3，阻尼比ξ=0，0.2，0.4，…，1.0，2.0 時的單位階躍響應(yīng)曲線圖，程序如下：

如圖2 所示，從圖中分析可以得出：

圖2 不同阻尼的階躍響應(yīng)曲線圖

ξ=0 時，系統(tǒng)為無阻尼狀態(tài)，響應(yīng)曲線等幅振蕩。

0＜ξ＜1 時，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，阻尼比越大，響應(yīng)曲線振蕩減小，超調(diào)量也呈減小趨勢，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也越好。

ξ=1 時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，響應(yīng)曲線呈單調(diào)上升趨勢，沒有超調(diào)量。系統(tǒng)穩(wěn)定性好

ξ＞1 時，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，響應(yīng)曲線呈緩慢上升趨勢，沒有超調(diào)量。系統(tǒng)穩(wěn)定性好。

2 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

負(fù)半平面左側(cè)全是該系統(tǒng)的微分方程的特征方程的根，或者系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都不位于右半平面，是一個線性控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定的充要條件。

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

在MATLAB 控制工具箱中提供了roots()函數(shù)，可用于直接計(jì)算多項(xiàng)式根，其常用的調(diào)用格式為：

應(yīng)用roots()函數(shù)求解特征根時，如果特征多項(xiàng)式中缺少某次冪的項(xiàng)，那么在使用這個函數(shù)時，需要在對應(yīng)的位置添加上系數(shù)0。

根據(jù)特征多項(xiàng)式，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要求其特征根。程序如下：

運(yùn)行后，其特征根如下：

通過上面的特征根的值可以看出只有負(fù)實(shí)部的特征根，故此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

MATLAB 除了利用上面的求出特征根的方式來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性還可以使用零極點(diǎn)圖來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

程序如下：

運(yùn)行后，零極點(diǎn)即增益的值如下：

零極點(diǎn)如圖3 所示。

圖3 零極點(diǎn)圖

3 控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的性能指標(biāo)

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

對于這個二階系統(tǒng)的節(jié)約響應(yīng)進(jìn)行評估，使用MATLAB LTI Viewer 工具箱可以便于直觀地研究系統(tǒng)性能指標(biāo)，具體操作步驟如下。

在MATLAB 程序中建立二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)模型G。

在MATLAB 控制工具箱中提供了step()函數(shù)，可用于直接繪制動態(tài)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖，其常用的調(diào)用格式如下：

完整程序代碼如下：

在命令行界面輸入ltiview，即可啟動LTI Viewer工具箱。

在“File”菜單中，選擇“Import”，然后再導(dǎo)入系統(tǒng)數(shù)據(jù)對話框中[2]，將上面創(chuàng)建的傳遞函數(shù)模型導(dǎo)入工作區(qū)域，從而獲得系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖展示。

在”File”的下拉菜單中選擇“Page Setup”選項(xiàng)，可以對系統(tǒng)仿真時的打印輸出和顯示界面進(jìn)行設(shè)置。

從圖4 中可以得出在2.21 s 時，響應(yīng)曲線達(dá)到頂峰，隨后時間延長，曲線逐漸下降。繼續(xù)增加時間，曲線呈現(xiàn)波動上升和下降的趨勢，最終在3.4 s 時穩(wěn)定。通過在曲線上右鍵單擊，可以獲得系統(tǒng)的性能指標(biāo)：上升時間為tr=1.04 s，峰值時間為tp=2.21 s，ts=3.4 s。這表明，利用MATLAB 可以迅速、準(zhǔn)確地從響應(yīng)曲線中提取性能指標(biāo)。

圖4 階躍響應(yīng)曲線

4 Simulink 建模與仿真

Simulink 是MATLAB 核心組件之一，它能提供動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真及進(jìn)行分析。無需人來編寫大量代碼，只需要使用鼠標(biāo)的操作，便可輕松地構(gòu)建出復(fù)雜的系統(tǒng)。

Simulink 具有廣泛的應(yīng)用范圍，其結(jié)構(gòu)和流程清晰，仿真精確并且符合現(xiàn)實(shí)規(guī)律，具有高效能和敏捷性等優(yōu)點(diǎn)。因此，Simulink 已在控制理論復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。同時，Simulink 可以和許多第三方軟件和硬件配合使用

用MATLAB 仿真與分析控制系統(tǒng)的步驟如下：

1）建立模型并確定仿真的輸入輸出參數(shù)；

2）設(shè)置仿真參數(shù)；

3）進(jìn)行動態(tài)仿真并檢查輸出結(jié)果。

在此，使用Step 模塊產(chǎn)生單位階躍信號，比較環(huán)節(jié)采用Sum 求和模塊，使用TransferFun 模塊構(gòu)造雙擊模塊打開對話框設(shè)置Numerator 分子參數(shù)［35］，Denominator 分母參數(shù)［1 2 0］，校正環(huán)節(jié)也使用TransferFun 模塊進(jìn)行相對應(yīng)的設(shè)置，使用Bus Creator 模塊將三個輸出信號合并成一個信號這樣就可以在一個圖像下顯示出三個信號，方便進(jìn)行比較觀察，輸出階躍響應(yīng)用Scope 示波器模塊，仿真模型如圖5 所示。

圖5 SimuLink 仿真圖

運(yùn)行仿真前需要設(shè)置好仿真參數(shù)，顯示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線需要雙擊Scope 模塊。如圖6 所示。

圖6 Scope 顯示波形圖

5 根軌跡分析

控制系統(tǒng)的快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性等問題，主要根據(jù)s 平面上系統(tǒng)的特征根的分布情況來判定，但是直接求取高階系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)很不容易，根軌跡法作為一種圖解法，它不直接求解[1]。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s 平面上的分布。然而，對于高階系統(tǒng)，特別是在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時，確定閉環(huán)極點(diǎn)是一個具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，尤其是在系統(tǒng)分析或設(shè)計(jì)時，特征根的變化受到某些參數(shù)的影響，采用直接求根的方法就顯得十分繁瑣，難以實(shí)際應(yīng)用。繪制系統(tǒng)的根軌跡可以通過自動控制原理的基本規(guī)則來進(jìn)行粗略的繪制。

繪制根軌跡步驟如下：極點(diǎn)和零點(diǎn)；起點(diǎn)和重點(diǎn)；實(shí)軸區(qū)域的根軌跡；漸近線；分離點(diǎn)；入射角和出射角；虛軸交點(diǎn)。

上述幾條規(guī)則雖然是人工繪制根軌跡的繪制步驟，但是人工繪圖極為麻煩，正確率差，計(jì)算步驟較多，計(jì)算量大。并且在傳遞函數(shù)中的零極點(diǎn)如果發(fā)生改變，根軌跡的圖也會隨之改變，又得重新繪制圖形。此時直接在MATLAB 軟件的命令行中輸入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，使用MATLAB 控制工具箱中的rlocus()函數(shù)，只需要編寫幾行代碼繪制出根軌跡圖的優(yōu)勢就凸顯出來了[3]。其常用的調(diào)用格式如下：

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

用MATLAB 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。

完整的程序代碼如下：

運(yùn)行結(jié)果如圖7 所示。

圖7 根軌跡圖

6 結(jié)語

傳統(tǒng)的人工計(jì)算方法求解階躍信號響應(yīng)，穩(wěn)定性、性能指標(biāo)、穩(wěn)態(tài)誤差等這些問題計(jì)算非常的繁瑣，本文根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)編寫MATLAB 程序，便可以非常簡單得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖形，利用函數(shù)不需要人來進(jìn)行計(jì)算便能判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并根據(jù)圖形分析控制系統(tǒng)的性能順便得到系統(tǒng)的性能指標(biāo)，使用Simulink 建模與仿真不需要實(shí)物，在系統(tǒng)中直接使用拖放式操作，方便簡單地建立起直觀的仿真模型。直接在電腦上就能進(jìn)行分析，還可以看出利用Matlab可以更加形象生動的表現(xiàn)了系統(tǒng)的各種特性，并且加快了分析速度。