林麗珊

本文為廣東省2023年度教育科學(xué)規(guī)劃課題《新五環(huán)漸進(jìn)式教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)的研究》（項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：2023YQJK020）部分研究成果.

在平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)教師課堂上所講的知識(shí)往往只是被動(dòng)地學(xué)習(xí)，不能靈活運(yùn)用.無(wú)論在課堂上還是課外，都很少有學(xué)生能主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.課堂上教師提問(wèn)題，學(xué)生答問(wèn)題的教學(xué)方式依然普遍，即使是進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，也是按照教師實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的教學(xué)意圖而交流，學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)往往也遵循老師的提問(wèn)意圖和思路，抑制了學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的興趣，影響了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

響應(yīng)新課標(biāo)，學(xué)生學(xué)習(xí)方式要向發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變重視了學(xué)生在教學(xué)中的主體地位，凸顯了培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的重要性.于是，筆者踐行新課標(biāo)理念，運(yùn)用“新五環(huán)漸進(jìn)式教學(xué)”，力求培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

1? 新五環(huán)漸進(jìn)式活動(dòng)過(guò)程

1.1? “一環(huán)”集思廣益，精準(zhǔn)集備

此環(huán)節(jié)組織學(xué)生小組在課前合作活動(dòng)，根據(jù)一到兩個(gè)星期所學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)、作業(yè)、練習(xí)中常錯(cuò)題等涉及的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)近階段存在的問(wèn)題，進(jìn)行小組“集備”，提出問(wèn)題.例如，某學(xué)習(xí)小組對(duì)廣州數(shù)學(xué)中考的一道問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，溯源到該題是人教版教材八上習(xí)題12.3復(fù)習(xí)鞏固中的第7題的基礎(chǔ)上命題的，由此開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).

圖1

首先，該學(xué)習(xí)小組成員組內(nèi)開(kāi)展原題剖析、問(wèn)題評(píng)析及一題多解活動(dòng).

（1）多思多解 剖析評(píng)析

學(xué)生小組在課余時(shí)間深入研究原題“如圖1，∠B=∠C=90°，E為BC中點(diǎn)，DE平分∠ADC.求證：AE是∠DAB的平分線.”探究多種解法，如：圖2

解法一：如圖2，過(guò)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，證明△DCE≌△DFE，得CE=EF，又由E為BC的中點(diǎn)得EF=EB，證得△AFE≌△ABE，得∠FAE=∠BAE，得證AE是∠DAB的平分線.

解法二：在AD上截取DG=DC，連接FG，證△DCE≌△DGE，再證得△AGE≌△ABE，得證AE是∠DAB的平分線.

圖3

解法三：如圖3，延長(zhǎng)DE、 AB相交于點(diǎn)H，證△DCE≌△HBE，得DE=HE，∠CDE=∠BHE，加上條件DE平分∠ADC，可證得AD=AH，又因DE=HE，得證AE是∠DAB的平分線.

問(wèn)題剖析：本題圖形簡(jiǎn)潔，題目信息量適中，綜合考查三角形全等、等腰三角形等核心知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生基于圖形的性質(zhì)或關(guān)系作圖，建立幾何直觀.解題關(guān)鍵是根據(jù)角相等或線段相等構(gòu)造全等三角形.

（2）不變條件? 深挖結(jié)論

小組在證明此題的過(guò)程中，由三角形全等發(fā)現(xiàn)了線段的數(shù)量關(guān)系，由雙角平分線及平行發(fā)現(xiàn)了∠AED=90°，根據(jù)∠AED=90°，還可以取AD中點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)共圓.從而給題目添加了兩個(gè)問(wèn)題：“（1）求證：AE⊥DE；（2）線段CD、AB、AD是否存在數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.”

圖4

學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：當(dāng)以AD為直徑畫(huà)一個(gè)圓O，又產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：圓O和直線BC相切嗎？引起小組成員積極思考.進(jìn)一步得出結(jié)論：如圖4，由半徑OE=OA及AE是角平分線，可證得∠OEB=90°，或證得OE∥AB，最終可得到OE⊥BC，又因OE是半徑，從而得證圓O和直線BC相切.

學(xué)習(xí)小組在原條件的基礎(chǔ)上證得相關(guān)結(jié)論，還發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，產(chǎn)生了疑問(wèn)，并嚴(yán)謹(jǐn)證明猜想的正確性，在小組合作交流學(xué)習(xí)中培養(yǎng)了問(wèn)題意識(shí).

1.2? “二環(huán)”師生合作，精心二備

（1）添磚加瓦 創(chuàng)新問(wèn)題

圖5

通過(guò)“一環(huán)”小組交流的基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生學(xué)習(xí)小組一起再次研究問(wèn)題，激發(fā)新靈感，引導(dǎo)學(xué)生深入思維.如添加條件，在原圖基礎(chǔ)上添加新的幾何元素，創(chuàng)造新問(wèn)題1：“如圖5，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD.作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE，若CD＝2，AB＝4，點(diǎn)M，N分別是線段DE，線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=4，H為AD的中點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，求HP的最小值??? .”

（2）立足基礎(chǔ)? 二次創(chuàng)問(wèn)

教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，抓住問(wèn)題本質(zhì)：由角平分線得到角相等的基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，嘗試尋求再次發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.學(xué)生小組通過(guò)積極嘗試，積極地去研學(xué)關(guān)于“角相等”的相關(guān)問(wèn)題，攻克相關(guān)廣州數(shù)學(xué)中考問(wèn)題，還借助了幾何畫(huà)板輔助驗(yàn)證.最終，從軸對(duì)稱(chēng)入手去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，圖6并提出新問(wèn)題2：“如圖6，已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=2，AD=6，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)得到△AB＇E.（1）如圖7，當(dāng)點(diǎn)B＇落在線段AD上時(shí)，求證：DE平分∠ADC.（2）連接BB＇交AE點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上移動(dòng)時(shí)，求CF的最小值.”

圖7

學(xué)生利用軸對(duì)稱(chēng)提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，獲得滿(mǎn)滿(mǎn)的成就感.教師再次引導(dǎo)：圖形的變化除了軸對(duì)稱(chēng)、平移、選擇.大家不妨嘗試通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)提出問(wèn)題.

該小組經(jīng)過(guò)對(duì)前兩次綜合練習(xí)后面三題的研究，提出新問(wèn)題3：”如圖7，已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，

圖8

圖9

AB=3，CD=1，∠DAB=60°，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求證：DE平分∠ADC.（2）以AE為邊向左構(gòu)造等邊△AEF.①如圖8，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求DF的長(zhǎng)；②如圖9，在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，求DF+DE的最小值.”

此環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生的新靈感，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，提出新問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1.3? “三環(huán)”自主探究，合作求真

（1）合作探究 助力提升

本環(huán)節(jié)以生為本，給予學(xué)生平臺(tái)，在課堂上，同學(xué)自主互動(dòng)交流學(xué)習(xí)，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，提煉通法，力求深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力.

學(xué)習(xí)小組成員PPT呈現(xiàn)他們小組“新問(wèn)題1”.

圖10

小組學(xué)生1指出：首先，抓住關(guān)鍵條件AD＝AB+CD及DE是∠ADC的平分線，在AD上截取DG=DC，或者過(guò)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，

圖11

證三角形全等，最終可證得AE⊥DE.則點(diǎn)P是Rt△MEN斜邊上的中點(diǎn)，所以PE=12MN=2，而AD=AB+DC=6，在Rt△ADE中，HE=12AD=3.即點(diǎn)P的軌跡在以E為圓心，PE為半徑的圓上，如圖10，連接HE、PE，則HP≥HE-PE，如圖11，當(dāng)且僅當(dāng)E、P、H共線時(shí)，HP最短，此時(shí)HP=HE-PE=1.

學(xué)生2：我們?cè)谠瓎?wèn)題圖形基礎(chǔ)上，添加定值動(dòng)線段，考查了知識(shí)點(diǎn)：①截長(zhǎng)補(bǔ)短，②直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，③定點(diǎn)定長(zhǎng)尋找軌跡圓，④圓外一點(diǎn)與圓心連線尋找最小值.

教師及時(shí)評(píng)價(jià)：該小組通過(guò)給問(wèn)題中的條件“添磚加瓦”，提出問(wèn)題，和大家一起分析并解決問(wèn)題，提升思維.他們清晰地闡述問(wèn)題，抓住關(guān)鍵點(diǎn)及嚴(yán)謹(jǐn)證明，還小結(jié)了考查知識(shí)點(diǎn).其他小組有沒(méi)有問(wèn)題要提出呢？

學(xué)生3舉手提問(wèn)：我想問(wèn)的是，說(shuō)點(diǎn)P的軌跡在以E為圓心，PE為半徑的圓上，那它的運(yùn)動(dòng)軌跡是可以在整個(gè)圓，還是部分圓??？是在圓弧上哪個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)點(diǎn)呢？

該學(xué)生的提出新的問(wèn)題引起大家再一次陷入思考.

（2）借助技術(shù) 疑起思通

小組學(xué)生4：首先，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB于點(diǎn)K，勾股定理求得DH=42，圖12由CB=DK=42，在前面我們證全等得出點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得CE=BE=，勾股定理求得DE=23＜4，而AE＞4，而MN=4，即MN＜AE，MN＞DE，即M可以移動(dòng)到與E重合，但N不能移動(dòng)到與E重合，我們借助幾何畫(huà)板拉動(dòng)點(diǎn)P生成軌跡，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12中的那段圓弧.當(dāng)點(diǎn)M與D重合時(shí)，Rt△MEN中NE=，即PE=NE=PN，∠PEN=60°.進(jìn)一步，我們進(jìn)一步，還能算出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧的長(zhǎng)呢.

圖13

學(xué)生3：我明白了.還可以把MN=4改為MN=23，即MN=DE的話，點(diǎn)N就能與E重合啦，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧所對(duì)圓心角則為90°（如圖13）呢，也是很有特殊性.

師：很好，善于借助幾何畫(huà)板輔助解決問(wèn)題，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn).善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并分析解決問(wèn)題，好樣的.

（3）抓住關(guān)鍵 思維萬(wàn)變 圖14

學(xué)習(xí)小組繼續(xù)展示他們的“新問(wèn)題2”，繼續(xù)和大家進(jìn)行思維風(fēng)暴.

小組成員5：（1）由折疊可知AB＇=AB=4，∠AB＇E=∠B=90°，得∠DB＇E=∠C=90°，DB＇=AD-AB＇=2，則DB＇=DC，證得Rt△EDB＇≌Rt△EDC（HL），得∠EDB＇=∠EDC，得證DE平分∠ADC.（2）如圖14，由折疊可知BB＇⊥AE，∴∠AFB=90°，∴點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接OF、OC，則CF≥CO-OF，當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF取最小值，為CO-OF，證四邊形ADCO為平行四邊形，∴CO=AD=6，∴CO-OF=4，即CF的最小值為4.

小組成員6：新問(wèn)題2從對(duì)稱(chēng)變換的角度切入，重點(diǎn)考查對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接被折痕垂直，有直角后結(jié)合輔助圓軌跡求最值.

師：很棒，該小組善于抓住關(guān)鍵點(diǎn)“角相等”去作軸對(duì)稱(chēng)圖形，深入研究問(wèn)題.而且，通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的不同，得到特殊的情況（1），其實(shí)就是點(diǎn)E在特殊位置，即在BC中點(diǎn)時(shí)，再到（2），點(diǎn)E的移動(dòng)帶動(dòng)折痕AE的變化，并抓住軸對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)，即對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，就如此問(wèn)題中的BB＇⊥AE，從而產(chǎn)生圓軌跡問(wèn)題.

接著，學(xué)習(xí)小組繼續(xù)展示他們的“新問(wèn)題3”，與大家共同分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，將課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)引入深度思維.

圖15

小組成員7：（1）如圖15，作DH⊥AB于點(diǎn)H，可求得AH=AB-CD=2，∴AD=1，AH=4，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)P，證△DCE≌△PBE，∴AP=AB+CD=4，∠CDE=∠BPE，∴AD=AB，∴∠ADE=∠BPE，∴∠ADE=∠CDE，∴DE平分∠ADC.

圖16

（2）①如圖16，由（1）知CB=DH=23，在AD上截AQ=AB，則△ABQ為等邊三角形，證得△ABC≌△AQF，則FQ=CB=23，∴DF=FQ2+QD2=13.

圖17

②如圖17，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)K，使得AK=AD，則△ADK為等邊三角形，證△ADF≌△AKE，則EK=DF，∴DF+DE=EK+DE≥DK，∵DK=AD=4，∴DF+DE的最小值為4.

小組成員6：新問(wèn)題3是從旋轉(zhuǎn)變換的角度切入，主要考查等邊三角形的常用處理手段，最后利用變換思想改變線段位置，從而解決兩動(dòng)線段動(dòng)點(diǎn)不在一起的最值問(wèn)題.

師：新問(wèn)題3小組將問(wèn)題提升為旋轉(zhuǎn)背景的問(wèn)題，從（1）到（2）的①，再到（2）的②，由易到難，可以是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題.大家今天這節(jié)課能積極思考，真正深度學(xué)習(xí).

1.4? “四環(huán)”分享交流，反思提升

課后小組評(píng)價(jià)和反思，提高自我評(píng)價(jià)能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問(wèn)題意識(shí)和對(duì)學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)的精神.

教師發(fā)揮好及時(shí)點(diǎn)撥、總結(jié)、拓展、調(diào)控和激勵(lì)作用.引導(dǎo)學(xué)生互相欣賞、相互鼓勵(lì)，積極創(chuàng)造團(tuán)結(jié)和諧的展示氛圍.課堂交流活動(dòng)后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，進(jìn)行小組自評(píng)與互評(píng)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

小組反思：我們小組分工合作，通過(guò)書(shū)本、近期練習(xí)、中考題，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，尋找突破口，提出新問(wèn)題，一起探究問(wèn)題，制作PPT，再三修改的過(guò)程中，學(xué)習(xí)到了許多，充實(shí)了彼此，團(tuán)隊(duì)意識(shí)增強(qiáng)了，也體會(huì)到了身為老師的不容易.而講臺(tái)下認(rèn)真聽(tīng)講的同學(xué)們則表示獲益良多，對(duì)知識(shí)點(diǎn)有了更加深入的學(xué)習(xí).教師適時(shí)總結(jié)，肯定我們的成果展示，全班報(bào)以熱烈的掌聲，激勵(lì)了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

1.5? “五環(huán)”雙減分層，精準(zhǔn)鞏固

最后，響應(yīng)“雙減”，根據(jù)課堂學(xué)習(xí)反饋，有針對(duì)性地布置練習(xí)作業(yè)，鞏固所學(xué)，還通過(guò)智慧課堂的課后AI自主學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)個(gè)性化練習(xí)，實(shí)施分層作業(yè).

2? 活動(dòng)思考

2.1? 環(huán)環(huán)相扣，培問(wèn)題意識(shí)

通過(guò)五環(huán)漸進(jìn)式學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生小組合作，一環(huán)生生積極學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、，二環(huán)師生合作提出問(wèn)題，三環(huán)合作探究分析和解決問(wèn)題，四環(huán)反思提升，五環(huán)鞏固內(nèi)化，環(huán)環(huán)相扣，思維品質(zhì)得到了創(chuàng)新和發(fā)展，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí).

2.2? 五環(huán)漸進(jìn)，提核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)可以是從課前到課中到課后的五環(huán)漸進(jìn)式活動(dòng)過(guò)程，在每個(gè)環(huán)節(jié)中激發(fā)學(xué)生學(xué)生自主探究，合作探索，提高自我認(rèn)識(shí)，發(fā)展反思能力樹(shù)立自立、自信良好品質(zhì)，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)提高自身創(chuàng)新素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］張文海.“一題一課”：讓高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)走向素養(yǎng)落實(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（7）：30-34.

［3］李居之，宋慶.關(guān)于一道奧地利數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的探究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2020（12）：55-58.