蔣青松 葉國芳

在三角函數(shù)y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的圖象中，其單調(diào)性在對(duì)稱軸處發(fā)生轉(zhuǎn)折，如果我們?cè)诮忸}中能巧妙利用對(duì)稱軸，找到一些相等或不等關(guān)系，能使問題迎刃而解，達(dá)到速解目的.現(xiàn)舉幾例，供大家參考.

例1? 已知函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）（0<φ<π）的圖像關(guān)于x=2π3對(duì)稱，則（? ）.

A.f（x）在0，5π12上單調(diào)遞減

B.f（x）在－π12，11π12上有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=7π6是y=f（x）的對(duì)稱軸D.直線y=－3x－12是y=f（x）的切線

解：直線x=kπk∈Z是y=f（x）的對(duì)稱軸，故有2·2π3+φ=kπ，又0<φ<π，故取φ=2π3，所以f（x）=cos2x+2π3.令z=2x+2π3，因?yàn)閤∈0，5π12，則z∈2π3，3π2，此時(shí)y=cosz不單調(diào)，故A錯(cuò)； 當(dāng)x∈－π12，11π12，則z∈π2，5π2，此時(shí)y=cosz有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；當(dāng)x=7π6時(shí)，f（x）=cos2·7π6+2π3=cos3π=－1，直線x=7π6是y=f（x）的對(duì)稱軸，故C正確；當(dāng)y=－3x－12時(shí)，可令f′（x）=－2sin2x+2π3=－3，解得x=kπ或x=－π6+kπk∈Z.取x=0，則f0=cos2·0+2π3=－12，此時(shí)取x=0時(shí)的切線方程是y－－12=－3x－0，即y=－3x－12，故D正確.綜上選BCD.

評(píng)注： 本題利用已知條件和余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=kπk∈Z求得φ=2π3，從而進(jìn)一步確定f（x）的具體解析式，使得問題得以破解.這里，對(duì)稱軸x=kπ起到了舉足輕重的地位.

例2? 函數(shù)f（x）=sinωx+π4ω>0在0，π2內(nèi)有唯一零點(diǎn)的充分條件是（? ?）.

A.f（x）的最小正周期為π

B.f（x）在0，π2內(nèi)單調(diào)

C.f（x）在0，π2內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸

D.f（x）在0，π2內(nèi)的值域?yàn)椋?，1

解： f（x）的最小正周期為π時(shí)，ω=2，故易驗(yàn)證f（x）=sin2x+π4在0，π2內(nèi)有唯一零點(diǎn).所以選A;而對(duì)于BCD，注意到f0=22，作出f（x）在x>0上的圖象，設(shè)x=x0是函數(shù)f（x）=sinωx+π4ω>0，x>0的圖象最靠近y軸的對(duì)稱軸，若f（x）在0，π2內(nèi)單調(diào)，則有 x0>π2，故沒有零點(diǎn)，不能選B;若f（x）在0，π2內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸，則有 x0<π2

評(píng)注：對(duì)于選項(xiàng)BCD，由于引進(jìn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=x0使得圖象的增減性以及圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一目了然，達(dá)到速解的效果.

圖1

例3? 如圖1，已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π2）的圖象，f（x1）=f（x2）=－32，則（? ）.

A.ω=π6????? B.φ=π6

C.fx1+x2=1D.cosπ6x2－x1=34

圖2

解：由圖2可得f0=1，f52=0， 分別代入函數(shù)f（x）=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π2） 得φ=π6，ω=π3，故選B不能選A； 令x0=x1+x22，則x=x0是函數(shù)f（x）=2sinπ3x+π6的圖象的對(duì)稱軸，故fx0=2sinπ3x0+π6=－2，所以sinπ3x0+π6=－1，從而cosπ3x0+π6=0，f（x1+x2）=2sinπ3x1+x2+π6=2sin2π3x0+π6=2sin2π3x0+π12=4sinπ3x0+π12cosπ3x0+π12=4sinπ3x0+π6－π12cosπ3x0+π6－π12 =4sinπ3x0+π6cosπ12－cosπ3x0+π6sinπ12·cosπ3x0+π6cosπ12+sinπ3x0+π6sinπ12，又sinπ3x0+π6=－1，cosπ3x0+π6=0，所以上式變?yōu)閒x1+x2=4－1cosπ12－00－1sinπ12=4sinπ12cosπ12=2sinπ6=1，所以fx1+x2=1，故選C；又由已知f（x1）+f（x2）=－3，故2sinπ3x1+π6+sinπ3x2+π6=－3，運(yùn)用和化積，得2×2sinπ3·x1+x22+π6cosπ3·x1－x22=－3，

2×2sinπ3·x0+π6cosπ6·x1－x2=－3，又sinπ3x0+π6=－1，所以上式變?yōu)閏osπ6·x1－x2=34，故選D.綜上，選BCD.

評(píng)注：對(duì)于選項(xiàng)CD，由于引進(jìn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=x0，使得未知的x1+x2，轉(zhuǎn)化為已知的f（x0）=2sinπ3x0+π6=－2，然后運(yùn)用角的變換得解.

上述3例中，例1的函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是可以具體求得的，而例2與例3的函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是虛擬的、假設(shè)的，但所起的作用是關(guān)鍵的因而后面兩例的難度稍大.從中可以看到，在解一些三角題時(shí)，其函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是一個(gè)及其重要的考慮因素，有時(shí)能達(dá)到速解的目的.