李春林

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0074-08

（河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西）

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A=x|x2<4，B={x|y=lg（1-x）}，則A∩B=（）.

A.（-2，1］B.（1，2］C.（-2，1）D.（0，2）

2.復(fù)數(shù)z=cos2π3-isinπ3，則復(fù)數(shù)z3=（）.

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知平面向量a，b和實(shí)數(shù)λ，則“a=λb”是“a與b共線”的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)f（x）=（x+a-2）（x2+a-1）為奇函數(shù)，則f（a）的值是（）.

A.0B.-12C.12D.10

5.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=a2c上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）.

A.（0，22］B.（0，33］C.［22，1）D.［33，1）

6.已知圓C：x2+y2+2x-2y=0，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則滿足條件的直線l有（）條.

A.1B.2C.3D.4

7.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡稱ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成.已知OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=2，A1，A2，A3…為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為an，令bn=2an-2，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，則S120=（）.

A.8B.9C.10D.11

8.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)P（2，t），且tanα=2，則cos（α+π3）=（）.

A.32-36B.3-326C.36D.33

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是（）.

A.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10

C.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=3.937，根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)（x0.05=3.841），可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05

D.某校共有男女學(xué)生1 500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為100人的樣本，若樣本中男生有55人，則該校女生人數(shù)是675

10.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為81 ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為27 ppm.由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度y（ppm）與排氣時(shí)間t（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系y=f（t），其中f ′（t）f（t）=R（R為常數(shù)）.（注：［lnf（x）］′=f ′（x）f（x））若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm為正常，人就可以安全進(jìn)入車庫了，則（）.

A.R=-ln34B.R=e-13

C.排氣20分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫

D.排氣24分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫

11.已知函數(shù)f（x）=（x2-x+1）ex，則（）.

A.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f（x）在x=1處的切線方程為y=2ex-e

C.f（x）在［-1，1］上的值域?yàn)椋?e-1，e］

D.當(dāng)a<1時(shí)，方程f（x）=a有且僅有一解

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面，其中恰有兩個(gè)面平行的不同選法共有種（用數(shù)字作答）.

13.已知三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，且該三棱錐外接球的表面積為25π，且AB=3，AD=6，則三棱錐A-BCD的體積為.

14.將函數(shù)y=cos（2x+π3）的圖象向左平移φ個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則|φ|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c>b，AB·AC=20，△ABC的面積為103.

（1）求∠A；

（2）設(shè)點(diǎn)O為△ABC外心，且滿足OB·OC=-496，求a.

16.如圖3，四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面，且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

（1）求證：BD1∥平面C1EF；

（2）求點(diǎn)A1到平面C1EF的距離；

（3）邊BC上是否存在點(diǎn)M，使得直線A1M與平面C1EF所成的角的正弦值為32222，若存在，求出線段BM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由

17.已知函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx，f ′（x）為其導(dǎo)函數(shù).

（1）求f（x）在［-π，+

SymboleB@

）上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若f ′（x）≥ax+2-2cosx（a∈R）對(duì)x∈［-π，+

SymboleB@

）恒成立，求a的值.

18.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1-2Sn=1（n∈N*）.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列bn滿足bn=4an（an+1-1）（an+2-1），數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，n∈N*，都有m2-43m

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Γ：x2a2+y2b2=（a>b>0）的離心率為33，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為2（3+1）.

（1）求橢圓Γ的方程；

（2）已知A，B，C是橢圓Γ上的相異三點(diǎn)，并且A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若△ABC的面積為6，求

|AB|·|BC|的取值范圍.

參考答案

1.由題意得A=x|-2

故選C.

2.z=cos2π3-isinπ3=-12-32i，則

z2=（-12-32i）2=14+32i+34i2=-12+32i.

故z3=（-12+32i）·（-12-32i）=（-12）2-（-32i）2=14-34i2=14+34=1.

故選A

3.若a=λb，則a與b共線，可知充分性成立；

若a與b共線，例如a≠0，b=0，則a=λb不成立，可知必要性不成立；

所以“a=λb”是“a與b共線”的充分不必要條件.

故選A.

4.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x+a-2）（x2+a-1）為奇函數(shù)，

所以f（0）=0.

即（a-2）（a-1）=0.

即a=2或a=1.

顯然函數(shù)f（x）=（x+a-2）（x2+a-1）的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x（x2+1）.

從而有f（-x）=-x（x2+1）=-f（x）.

當(dāng)a=1時(shí)，有f（x）=x2（x-1），但f（-1）=-2≠-f（1）=0，所以a=2，即f（x）=x（x2+1）.

所以f（a）=f（2）=2×（22+1）=10.

故選D.

5.如圖4所示，設(shè)P（a2c，m），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

由線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2得

|PF2|=|F1F2|.

即（a2c-c）2+m2＝2c.

得m2＝4c2-（a2c-c）2＝-a4c2＋2a2＋3c2≥0.

即3c4＋2a2c2-a4≥0.

得3e4＋2e2-1≥0.

解得e2≥13.

又0＜e＜1，所以33≤e＜1.

故選D.

6.由圓C：（x+1）2+（y-1）2=2，

則圓心C（-1，1），半徑r=2.

若截距為0，設(shè)l：y=kx，則

|1+k|1+k2=2.

解得k=1.此時(shí)l：y=x.

若截距不為0，設(shè)l：xa+ya=1，則

|a|2=2.

解得a=±2.

此時(shí)l：x+y±2=0.

綜上，如圖5，共有3條滿足條件的直線l.

故選C

7.由OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=2，

可得OA2=22，OA3=23，…，OAn=2n.

故an=OAn+OAn+1+AnAn+1=2n+2n+1+2.

所以bn=2an-2=1n+n+1=n+1-n.

所以前n項(xiàng)和Sn=b1+b2+…+bn=2-1+3-2+…+n+1-n=n+1-1.

所以S120=120+1-1=10.

故選C.

8.由題意，tanα=2=t2，解得t=2，則P（2，2）.

所以角α的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P′（33，63）.

所以sinα=63，cosα=33.

所以cos（α+π3）=cosαcosπ3-sinαsinπ3=33×12-63×32=3-326.

故選B.

9.對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大，反之兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，當(dāng)-1≤r<0時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)r越大，|r|則越小，線性相關(guān)性越弱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16是從小到大排列的，由8×75%=6，則第75百分位數(shù)為第6項(xiàng)數(shù)據(jù)與第7項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)9+112=10，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：因?yàn)棣?=3.937>3.841=x0.05，所以有95%的把握可判斷分類變量X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，設(shè)該校女生人數(shù)是x，則由分層抽樣的比例分配方式，得1001 500=100-55x，解得x=675，故選項(xiàng)D正確.

故選BCD.

10.由題意可設(shè)f（t）=abt（ab≠0），

則f ′（t）=abtlnb，此時(shí)f ′（t）f（t）=lnb=R為常數(shù).

由81=ab4，27=ab8， 得13=b4.

則4lnb=ln13=-ln3.

即lnb=-ln34.

所以R=-ln34.

故A正確，B錯(cuò)誤.

把b4=13代入ab4=81，得a=243.

又b=（13）14，所以f（t）=243×（13）t4.

由243×（13）t4≤0.5，得t≥20+4log32.

由于log32∈（0，1），故排氣24分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫，則C錯(cuò)誤，D正確.

故選AD.

11.因?yàn)閒（x）=（x2-x+1）ex定義域?yàn)镽，且f ′（x）=（x2+x）ex=x（x+1）ex，

令f ′（x）>0，解得x<-1或x>0.

令f ′（x）<0，解得-1

所以f（x）在（-

SymboleB@

，-1），（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減.

則f（x）在x=-1處取得極大值，在x=0處取得極小值，即f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；

又f（1）=e，f ′（1）=2e，所以f（x）在x=1處的切線方程為y-e=2e（x-1），即y=2ex-e，故B正確；

因?yàn)閒（-1）=3e-1>1，f（0）=1，f（1）=e，所以f（x）在［-1，1］上的值域?yàn)椋?，e］，故C錯(cuò)誤；

方程f（x）=a的解，即為y=f（x）與y=a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

因?yàn)閤2-x+1=（x-12）2+34≥34，ex>0，

所以f（x）=（x2-x+1）ex>0恒成立.

所以當(dāng)a≤0時(shí)，y=f（x）與y=a沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

故選AB

12.從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面有C36=6×5×43×2×1=20種，若其中有三個(gè)面彼此相鄰，則當(dāng)且僅當(dāng)這三個(gè)面都交于這顆骰子的同一個(gè)頂點(diǎn)，而骰子一共有8個(gè)頂點(diǎn)，所以其中有三個(gè)面彼此相鄰的有8種，所以由間接法可知恰有兩個(gè)面平行的不同選法共有20-8=12種.

13.因?yàn)槿忮FA-BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖6所示的長方體，則長方體的體對(duì)角線等于三棱錐外接球的直徑.

因?yàn)槿忮F外接球的表面積為25π，

所以4πR2=25π，得R=52.

所以AB2+AD2+AC2=（2R）2=25.

即3+6+AC2=（2R）2=25，解得AC=4.

所以VA-BCD=VD-ABC=13S△ABC·AD=13×12×3×4×6=22.

14.將函數(shù)y=cos（2x+π3）的圖象向左平移φ個(gè)單位長度后，得到函數(shù)y=cos［2（x+φ）+π3］=cos（2x+2φ+π3）的圖象.

因?yàn)閳D象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以2φ+π3=kπ，k∈Z.

則φ=kπ2-π6，k∈Z.

令k=0，得|φ|的最小值為π6.

15.（1）由AB·AC=20，得bccosA=20.

所以S△ABC=103.即12bcsinA=103.

兩式相除，得tanA=3.

又0°

所以∠A=60°.

（2）因?yàn)镺為外心，故∠BOC=2∠A=120°，

OB·OC=|OB|2×（-12）=-496.

解得|OB|=73.

由正弦定理可知：asinA=2R=143，即a=7.

16.（1）因?yàn)镺1O⊥平面ABCD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，OF，OO1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閭?cè)棱所在的直線與上下底面中心的連線O1O所成的角為45°，則B（2，2，0），D1（-1，-1，2），C1（-1，1，2），F(xiàn)（0，2，0），E（-2，0，0），A1（1，-1，2）.

所以BD1=（-3，-3，2），C1E=（-1，-1，-2），EF=（2，2，0）.

設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），

則n·EF=x+y=0，n·C1E=x+y+2z=0.

令x=1，則n=（1，-1，0）.

因?yàn)锽D1=（-3，-3，2），

所以n·BD1=0.

所以n⊥BD1.

又因?yàn)锽D1平面C1EF，

所以BD1∥平面C1EF.

（2）由（1）知，A1E=（-3，1，-2）.

所以點(diǎn)A1到平面C1EF的距離為

d=|A1E·n||n|=|-4|2=22.

（3）假設(shè)邊BC上存在點(diǎn)M（x，2，0）滿足條件，

x∈［-2，2］，

則A1M=（x-1，3，-2）.

設(shè)直線A1M與平面C1EF所成角為θ，

由題意可得sinθ=|cos〈A1M，n〉|=|A1M·n||A1M|·|n|=|x-4|2·x2-2x+12=32222.

化簡，得x2-35x+34=0.

則x=1或x=34（舍去）.

即存在點(diǎn)M符合題意，此時(shí)BM=1.

17.（1）由題知f ′（x）=ex+2sin（x-π4），

①當(dāng)-π≤x<-3π4時(shí)，-5π4≤x-π4<-π，

所以2sin（x-π4）>0，ex>0，則f ′（x）>0.

所以f（x）在［-π，-34π）單調(diào)遞增.

②當(dāng)-3π4≤x<-π2時(shí)，則-π≤x-π4<-3π4.

設(shè)g（x）=f ′（x）=ex+2sin（x-π4），則

g′（x）=ex+2cos（x-π4），

且ex<1，-2≤2cos（x-π4）<-1，則g′（x）<0.

所以g（x）在［-34π，-π2）單調(diào)遞減.

又g（-34π）=e-34π>0，g（-π2）=e-π2-1<0，

故存在x0∈（-34π，-π2），使得g（x0）=0，即f ′（x0）=0，

且在（-34π，x0）上，f ′（x0）>0，在（x0，-π2）上，f ′（x）<0，

所以f（x）在［-34π，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，-π2）上單調(diào)遞減.

③當(dāng)-π2≤x<0時(shí)，則-3π4≤x-π4<-π4.

所以-2≤2sin（x-π4）≤-1.

又ex<1，所以f ′（x）<0.

故f（x）在［-π2，0）上單調(diào)遞減.

④當(dāng)0≤x<π4時(shí)，則-π4≤x-π4<0.

所以-1≤2sin（x-π4）<0.

又ex≥1，所以f ′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

所以f（x）在［0，π4）上單調(diào)遞增.

⑤當(dāng)x≥π4時(shí)，則x-π4≥0，

ex≥eπ4>e>2，2sin（x-π4）≥-2.

所以f ′（x）>0，f（x）在［π4，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

綜上所述，f（x）在［-π，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，0）上單調(diào)遞減，在［0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

所以f（x）在［-π，+

SymboleB@

）上僅有2個(gè)極值點(diǎn).

（2）當(dāng)x≥-π時(shí)，f ′（x）≥ax+2-2cosx（a∈R）恒成立，

即ex+sinx+cosx-ax-2≥0（a∈R）.

令φ（x）=ex+cosx+sinx-ax-2，

若φ（x）≥0對(duì)x∈［-π，+

SymboleB@

）恒成立，

由φ（0）=e0+cos0-2=0，φ（x）≥0=φ（0），

所以當(dāng)x=0時(shí)，φ（x）取得最小值.

由φ′（x）=ex-sinx+cosx-a，

則x=0為函數(shù)φ（x）的極小值點(diǎn)，故φ′（0）=2-a=0，解得a=2.

下面證明：當(dāng)a=2時(shí)，x=0為函數(shù)φ（x）的最小值點(diǎn).

φ′（x）=ex-sinx+cosx-2，

令h（x）=ex-sinx+cosx-2，

則h′（x）=ex-cosx-sinx=f（x）.

由（1）可知，f（x）在［-π，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，0）上單調(diào)遞減，在［0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

又f（-π）=e-π+1>0，且f（0）=0，

所以當(dāng)x≥-π時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=0，則f（x）≥0恒成立.

即h′（x）≥0在［-π，+

SymboleB@

）上恒成立.

所以h（x）即φ′（x）在［-π，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

又φ′（0）=0，

所以當(dāng)-π≤x<0時(shí)，φ′（x）<0，當(dāng)x>0時(shí)，φ′（x）>0，

所以函數(shù)φ（x）在［-π，0）上單調(diào)遞減，在（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

所以φ（x）≥φ（0）=0，即ex+sinx+cosx-2x-2≥0恒成立，符合題意.

綜上所述，a=2.

18.（1）一方面：因?yàn)镾n+1-2Sn=1（n∈N*），

所以Sn+2-2Sn+1=Sn+1-2Sn=1（n∈N*）.

所以Sn+2-Sn+1=2（Sn+1-Sn）（n∈N*）.

即an+2=2an+1（n∈N*）.

另一方面：當(dāng)n=1時(shí)，有S2-2S1=1，即a2-a1=1，且a1=1，所以此時(shí)a2=2a1.

結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1=1，公比為q=2的等比數(shù)列.

故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1×2n-1=2n-1.

（2）由（1）可知an=2n-1.

又由題意

bn=4an（an+1-1）（an+2-1）

=2×2n（2n-1）（2n+1-1）

=2×（12n-1-12n+1-1），

數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為

Tn=2×（121-1-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1）=2×（1-12n+1-1）.

又n∈N*，都有m2-43m

m2-43m<（Tn）min.

而y1=2n+1-1關(guān)于n單調(diào)遞增，

所以y2=12n+1-1關(guān)于n單調(diào)遞減，y3=Tn=2×（1-12n+1-1）關(guān)于n單調(diào)遞增.

所以當(dāng)n=1時(shí)，有

（Tn）min=T1=2×（1-122-1）=43.

因此m2-43m<（Tn）min=43.

即（m+23）（m-2）<0.

解得-23

綜上所述，m的取值范圍為（-23，2）.

19.（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則由ca=33，得

a=3c，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為2a+2c=2（3+1）c.

所以2（3+1）c=2（3+1），

解得c=1.

從而a=3，b2=a2-c2=2.

所以橢圓的方程為x23+y22=1.

（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，由題意知m≠0.

將y=kx+m代入方程x23+y22=1中，整理，得

（2+3k2）x2+6km+3（m2-2）=0.

此時(shí)有Δ=36k2m2-12（2+3k2）（m2-2）>0，

即3k2+2>m2.（*）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有

x1+x2=-6km2+3k2，x1x2=3（m2-2）2+3k2.

所以AB=1+k2|x1-x2|

=（1+k2）［（x1+x2）2-4x1x2］

=1+k2·263k2+2-m22+3k2.

又A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則C（-x1，-y1）.

所以點(diǎn)C到直線AB的距離

h=|k（-x1）+y1+m|1+k2=|k（-x1）+（kx1+m）+m|1+k2

=2|m|1+k2.

所以△ABC的面積

S=121+k2263k2+2-m22+3k2×|2m|1+k2=6.

整理，得3k2+2=2m2，符合（*）式.

又x1+x22=-3km2+3k2=-3km2m2=-3k2m，

y1+y22=k·x1+x22+m=k（-3k2m）+m=1m，

所以弦AB的中點(diǎn)為M（-3k2m，1m）.

從而BC=2OM=29k24m2+1m2=2（3-1m2），

AB=1+k2|x1-x2|

=1+k2·263k2+2-m22+3k2

=261+2（m2-1）3·m22m2

=62m2+13m2，

所以AB·BC=62m2+13m2·2（3-1m2）

=2（2+1m2）（3-1m2）.

因?yàn)?k2+2=2m2，所以m2≥1.

所以6≤（2+1m2）（3-1m2）≤254.

所以26≤AB·BC≤5.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，△ABC為直角三角形，AB·BC=2S=26.

綜上，|AB|·|BC|的取值范圍為［26，5］.

［責(zé)任編輯：李璟］