司政君

本文結(jié)合幾道高考試題，對三棱錐的一個簡單性質(zhì)在求錐體體積問題中的運用予以介紹.

預(yù)備知識

三角形一邊的中線將原三角形分成的兩個三角形的面積相等.

如圖，已知點D是△ABC的邊BC上的中點，則由三角形的面積公式易知S△ABD=S△ACD.

定理經(jīng)過一個三棱錐中沒有公共點的兩條棱中一條棱的中點和另外一條棱的平面，將該三棱錐截成體積相等的兩部分.

如圖，已知在三棱錐S-ABC中，點D是SA的中點，所以由預(yù)備知識得：S△ABD=S△BDS.設(shè)C到平面SAB的距離為h，則VS-BCD=VC-BDS=13S△BDSh，VA-BCD=VC-ABD=13S△ABDh，所以VS-BCD=VA-BCD.

下面就舉例來談?wù)勥@一性質(zhì)在求三棱錐的體積中的運用.

例1（2010陜西文18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點.

（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積V.

（Ⅰ）證明略 ；

（Ⅱ） 分析：如圖，連接AC，AE，CE，由矩形ABCD知三棱錐P-ABC的體積是四棱錐P-ABCD體積的12.由E為PB的中點知三棱錐E-ABC的體積是三棱錐P-ABC體積的12.于是，三棱錐E-ABC的體積V是四棱錐P-ABCD的體積的14.

解連接AC，AE，CE.由PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2， 知：AP=AB=2.

所以VP-ABCD=13SABCD·AP=13·22·2=43.

由矩形ABCD知VP-ABC=12VP-ABCD.又E為PB的中點，

所以VE-ABC=12VP-ABC=14VP-ABCD=14·43=13.

例2（2012全國課標理11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）.

A.26B.36C.23D.22

分析如圖，連接AO，BO.因為O是SC的中點，所以三棱錐S-ABC的體積是三棱錐O-ABC體積的2倍，于是求出三棱錐O-ABC的體積即可知道三棱錐S-ABC的體積.

解連接AO，BO，取AB的中點D，連接OD，CD，作OO′⊥CD，垂足為O′.

因為OA=OB=OC=1，△ABC是邊長為1的正三角形，

所以CO′=2312-（12）2=33.

所以O(shè)O′=12-（33）2=63.

又S△ABC=12·1·1·sin60°=34，

所以VS-ABC=2VO-ABC=2·13·34·63=26.

例3（2012遼寧文18）如圖，直三棱柱ABC=A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點.

（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；

（Ⅱ）求三棱錐A′-MNC的體積.

（Ⅰ）證明略 ；

（Ⅱ） 分析：如圖，連接BN，由M為A′B的中點知三棱錐A′-MNC的體積是棱錐A′-BNC 體積的12.

解連接BN.因為∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，所以BC=（2）2+（2）2=2.

又N為B′C′的中點，所以S△ABC=12·2·1=1，A′N=1，

因三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，

所以A′N⊥平面A′ACC′.所以由M為A′B的中點知

VA′-MNC=12VA′-BCN=12·13·1·1=16.

例4（2013年高考安徽（文））如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA=6.

（Ⅰ）證明： PC⊥BD.

（Ⅱ）若E為PA的中點，求三棱錐P-BCE的體積.

（Ⅰ）證明略.

（Ⅱ）分析：如圖，E為PA的中點，所以三棱錐P-BCE的體積是三棱錐P-ABC的體積的12.連接AC，則三棱錐P-ABC的體積是四棱錐P-ABCD的體積的12，于是三棱錐P-BCE的體積是四棱錐P-ABCD的體積的14.

解連接AC交BD于O，連接PO.因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，BO=DO.又PB=PD，所以BD⊥PO.又AB=AD=2，∠BAD=60°，所以BO=1.所以PO2=3，AO2=3.又PA2=6，所以PA2=PO2+AO2.所以AC⊥PO.所以PO⊥底面ABCD.又SABCD=AB·AD·sin∠BAD=2·2sin60°=23，E為PA的中點，所以VP-BCE=14VP-ABCD=14·13SABCD·PO=14·13·23·3=12.