摘要：采用數(shù)學(xué)分析方法得出樓面均布荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。然后通過積分方法推導(dǎo)出單跨圓弧形曲梁典型部位上的剪力、扭矩和彎矩。進一步運用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求出圓弧形曲梁彎矩傳遞系數(shù)，利用分層總和法計算包含圓弧形曲梁和直梁的框架在豎向荷載作用下梁柱端部內(nèi)力。算例分析表明采用上述方法計算出的梁柱內(nèi)力符合工程精度要求。

關(guān)鍵詞：圓弧形曲梁； 框架結(jié)構(gòu)； 樓面荷載； 彎矩傳遞系數(shù)； 分層總和法

中圖分類號：TU323.3文獻標志碼：A

0引言

對框架結(jié)構(gòu)的建筑，設(shè)計人員通常希望結(jié)構(gòu)體系比較規(guī)則，開間和進深相等的等跨結(jié)構(gòu)體系經(jīng)常采用。但是，有時為追求美觀，轉(zhuǎn)角處一般做成弧形。在盡量不改變原有結(jié)構(gòu)體系的條件下，通常去掉一個角柱，將原本與該角柱相連的兩根柱子直接用圓弧形曲梁連接。如果曲梁跨度不大，則中間一般不再另設(shè)柱子。于是，便形成如圖1所示的結(jié)構(gòu)體系。

此類結(jié)構(gòu)形式總體比較規(guī)則，符合抗震的要求，但轉(zhuǎn)角處的梁和柱內(nèi)力計算卻比較復(fù)雜。到目前為止，現(xiàn)行建筑結(jié)構(gòu)計算手冊缺乏該種結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算公式，給結(jié)構(gòu)設(shè)計帶來一定困難。設(shè)計人員要么仍按規(guī)則結(jié)構(gòu)體系進行計算，要么憑借經(jīng)驗進行估算，或借助結(jié)構(gòu)分析軟件進行分析，而沒有一種相對簡便的理論計算方法。

關(guān)于曲梁內(nèi)力的計算，很多業(yè)內(nèi)人士進行了研究。程翔云等［1］提出了一種在均布線荷載作用下將曲梁轉(zhuǎn)化為直梁的算法，徐皖生等［2］探討了不等跨連續(xù)曲梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算，任宜春［3］、董新梅等［4］討論了帶直梁段的單跨圓弧形曲梁在垂直荷載作用下的內(nèi)力，蔣純志等［5］將傳遞函數(shù)方法運用于單跨曲梁的內(nèi)力和變形計算。葉康生［6］、王佳佳等［7］深入分析了曲梁在彎曲平面內(nèi)的受力問題。劉志等［8］采用多種有限元軟件對某混凝土弧形梁結(jié)構(gòu)進行了受力分析。由于樓面?zhèn)鬟f到曲梁上的荷載十分不規(guī)則，造成曲梁內(nèi)力狀態(tài)相對復(fù)雜，迄今為止，關(guān)于樓面荷載作用下框架結(jié)構(gòu)中圓弧形曲梁的內(nèi)力還沒有人研究。本文通過數(shù)學(xué)和力學(xué)推導(dǎo)，給出一種樓面荷載作用下圓弧形曲梁內(nèi)力的計算方法，以供參考。

1曲梁荷載分布

要計算圓弧形曲梁的內(nèi)力，首先應(yīng)計算樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布。樓面?zhèn)鬟f到圓弧形曲梁上的荷載，既不是集中力，也不是均布荷載，須通過數(shù)學(xué)分析確定其分布函數(shù)。取圖2所示的梁板單元進行分析。

樓面荷載通常簡化為均布面荷載，設(shè)其大小為q，直梁長為l。建立如圖3所示的直角坐標系。根據(jù)樓面荷載沿最短路線傳遞到梁上的原則［9］，可以大致確定樓面荷載傳遞的分區(qū)曲線如圖3所示。

直線1的方程為式（1）。

y=x（1）

設(shè)曲線3的方程為式（2）。

y=f（x）（2）

在曲線上任取一點（x，y），根據(jù)樓面苛載的傳遞規(guī)則可得如式（3）。

l-x2+y2=y（3）

由上式可得出該曲線的方程為式（4）。

y=l2-x22l（4）

同理可得曲線2的方程為式（5）。

y=l2-2lx（5）

設(shè)曲梁上任一點與原點之連線與x軸夾角為θ，則該直線方程為式（6）。

y=tanθ·x（6）

為求解上述直線與曲線3的交點，將上式變形后代入方程（4）中得式（7）。

y=l2-12lcot2θ·y2（7）

求解上述方程得式（8）。

y=cot2θ+1-1cot2θl（8）

進而可得曲梁靠近x軸半段各點的線荷載密度p為式（9）。

p=cot2θ+1-1cot2θql，θ∈0，π4（9）

上式變形后得式（10）。

p=sinθcos2θ+1-1cos2θql，θ∈0，π4（10）

相應(yīng)可得出曲梁靠近y軸半段各點的線荷載密度見式（11）。

p=cosθsin2θ+1-1sin2θql，θ∈π4，π2（11）

2樓面荷載作用下曲梁內(nèi)力

求出了樓面荷載在梁上的分布之后，則可以進一步求出相關(guān)構(gòu)件的內(nèi)力。內(nèi)力計算簡圖如圖4所示。

2.1曲梁端部剪力

作為對稱結(jié)構(gòu)，在小變形的情況下，曲梁兩端的軸力可忽略不計，剪力、彎矩和扭矩大小相等。采用積分法計算曲梁端部剪力V時，可取半結(jié)構(gòu)進行分析，見式（12）。

V=∫π2π4pldθ=π4+2-2ql2（12）

2.2曲梁端部扭矩

在框架結(jié)構(gòu)中，直梁的扭矩通常忽略不計。但是對曲梁而言，扭矩的值相對較大，不可忽略。同樣取半結(jié)構(gòu)，采用積分方法計算分析曲梁端部扭矩T，見式（13）。

工程結(jié)構(gòu)潘樹華： 樓面荷載作用下圓弧形曲梁內(nèi)力

T=∫π2π4pl（1-sinθ）ldθ=π4+22-2+ln1+22ql3（13）

2.3曲梁端部彎矩

曲梁的彎矩也沒有統(tǒng)一的計算公式，須采用積分方法進行計算。同樣取半結(jié)構(gòu)計算曲梁端部彎矩M，見式（14）。

M=∫π2π4plcosθldθ=3-322-π4ql3（14）

3彎矩傳遞系數(shù)

計算豎向荷載作用下框架結(jié)構(gòu)梁柱的內(nèi)力，通常采用分層總和法［9］，須計算梁柱的彎矩傳遞系數(shù)。對于直梁和柱，彎矩傳遞系數(shù)容易確定。對于曲梁的彎矩傳遞系數(shù)，須采用結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方法進行具體研究［10］。

研究曲梁的彎矩傳遞系數(shù)，應(yīng)選取整個曲梁進行分析，并假設(shè)曲梁兩端均不能抵抗彎矩，只能抵抗扭矩和剪力。

首先求曲梁在荷載作用下的支反力。解除右側(cè)的抗扭約束，代之以扭矩Tr，取曲梁任一點右側(cè)截面進行分析，基本體系及其受力圖如圖5所示。

如圖5左圖所示，在曲梁內(nèi)任一點，由左邊的彎矩Ml導(dǎo)致的彎矩和扭矩分別為式（15）。

ml=Mlsinθ

tl=Ml（1-cosθ）（15）

如圖5右圖所示，在曲梁內(nèi)任一點，由右邊的扭矩所導(dǎo)致的彎矩和扭矩分別為式（16）。

mr=0

tr=-Tr（16）

綜合采用疊加法和單位荷載法［11］，可求出曲梁右端的的扭轉(zhuǎn)角φ見式（17）。

φ=∫π20Ml（1-cosθ）ldθ-∫π20TrldθGIP=π2-1Mll-π2TrlGIP（17）

式中：GIP為圓弧形曲梁的抗扭剛度，單位（kN·m2）。

根據(jù)曲梁右端的位移協(xié)調(diào)條件見式（18）。

φ=0（18）

聯(lián)解上述兩式可得式（19）。

Tr=1-2πMl（19）

求出曲梁在彎矩Ml作用下右端的扭矩之后，便可進一步利用疊加法求出曲梁在彎矩作用下左右兩端的轉(zhuǎn)角。

在曲梁左端作用一單位彎矩，則在曲梁內(nèi)任一點所產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為式（20）。

m=sinθ

t=2π-cosθ（20）

進而可求出曲梁左端的轉(zhuǎn)角為式（21）。

φl=MlEI∫π20sin2θldθ+MlGIP∫π202π-cosθ2ldθ

=π4EI+π2－84πGIPMll（21）

式中：EI為圓弧形曲梁的抗彎剛度，單位（kN·m2）。

若在曲梁右端作用一單位彎矩，采用同樣的方法，可求得在曲梁內(nèi)任一點所產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為式（22）。

m=cosθ

t=sinθ-2π（22）

進而可求出曲梁右端的轉(zhuǎn)角為式（23）。

φr=MlEI∫π20sinθcosθldθ+MlGIP∫π20Ml2π-cosθsinθ-2πl(wèi)dθ

=12EI+4-π2πGIPMll（23）

框架結(jié)構(gòu)中，直梁彎矩傳遞系數(shù)為兩端簡支梁一端受彎矩作用時，不受力端和受力端所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角之比。據(jù)此，可求出圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數(shù)k：

k=φrφl（24）

4算例分析

某3層框架結(jié)構(gòu)平面布置如圖1所示。底層層高為4 500 mm，二、三層層高均為3600 mm。直梁長度全部為6 000 mm。柱截面尺寸均為400 mm×400 mm，直梁、曲梁截面尺寸均為250 mm×600 mm。一、二層恒載為3.0 kN/m2，三層恒載為6.0 kN/m2。

計算出底層柱的線剛度為4.74×105E，二、三層柱的線剛度5.93×105E，直梁的線剛度為7.5×105E。

對于框架梁而言，線剛度可理解為懸壁梁自由端受集中力作用時，固定端彎矩與自由端轉(zhuǎn)角2倍的比值［12］。據(jù)此，求出圓弧形曲梁的線剛度為3.53×105E。

對于混凝土結(jié)構(gòu)，G取0.43E，可算出梁的抗扭剛度GIP為0.50EI。

將以上參數(shù)代入上述公式中，便可運用分層總和法計算該框架結(jié)構(gòu)在樓面恒載作用下各梁端的彎矩MJ。在對該框架結(jié)構(gòu)進行手算的同時，采用PKPM軟件中的TAT—8模塊計算出該框架結(jié)構(gòu)在樓面荷載作用下的梁端彎矩MP。此處僅取曲梁端部和緊靠曲梁受影響比較大的直梁端部（如圖1中1、2、3、4四點）的彎矩進行比較，計算及比較結(jié)果如表1、表2和表3所示。

從以上計算結(jié)果可以看出，采用前述計算方法得出的梁端彎矩與采用PKPM軟件得出的梁端彎矩之間的最大誤差不超過10%，與分層總和法本身的誤差處于同一水平，滿足結(jié)構(gòu)工程的精度要求。

5結(jié)論

（1）基于樓面荷載分布原則，通過數(shù)學(xué)分析，得出了樓面荷載在圓弧形曲梁上的分布公式。

（2）得出了單跨圓弧形曲梁在樓面荷載作用下梁端剪力、扭矩及彎矩的計算公式。

（3）得出了采用分層總和法計算框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力時圓弧形曲梁的彎矩傳遞系數(shù)。

（4）在工程設(shè)計過程中，對樓面荷載作用下的曲梁內(nèi)力，設(shè)計人員要么憑借經(jīng)驗進行估算，要么借助于結(jié)構(gòu)分析軟件進行分析。本文給出了一種簡化的理論計算方法，算例分析表明，其結(jié)果誤差和分層總和法的誤差處于同一水平，滿足結(jié)構(gòu)工程精度要求。

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［作者簡介］潘樹華（1982—），男，碩士，審計師，從事建筑結(jié)構(gòu)、工程審計等方面的工作和研究。