黃旭冉 林卓然 張芳銘 許佳敏 鞏子坤

【作者簡介】黃旭冉，小學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育；林卓然，中學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué)；張芳銘，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育；許佳敏，中學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué)；鞏子坤（通訊作者），教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的理論與實(shí)踐。

【基金項(xiàng)目】2023年度浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究”（23NDJC265YB）；2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升路徑研究”（2023GH005）

【摘 要】凸顯角本質(zhì)的“角的初步認(rèn)識”單元整體教學(xué)路徑分為三個(gè)課時(shí)。本文研究第三課時(shí)，即鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑。文章通過教學(xué)實(shí)踐與研討，得到完善的學(xué)習(xí)路徑：由轉(zhuǎn)動(dòng)引入銳角、直角和鈍角，動(dòng)靜結(jié)合比較角的大小，鞏固角本質(zhì)；通過分類活動(dòng)認(rèn)識直角、銳角和鈍角，并呈現(xiàn)不同開口方向的直角，體會(huì)直角的特殊性；轉(zhuǎn)動(dòng)活動(dòng)角，運(yùn)用角本質(zhì)進(jìn)一步感受銳角、直角和鈍角之間的大小關(guān)系。由此，提出教學(xué)建議：用“轉(zhuǎn)動(dòng)”一以貫之直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)；借助分類活動(dòng)，展示不同開口方向的直角，感受直角的特殊性。

【關(guān)鍵詞】角的本質(zhì)；角的分類；學(xué)習(xí)路徑；直角；銳角；鈍角

一、研究緣起

為解決當(dāng)前“角的初步認(rèn)識”教學(xué)中未凸顯角本質(zhì)的問題，本研究提出了凸顯角本質(zhì)的“角的初步認(rèn)識”單元整體教學(xué)，共分為“初識角的概念”“體驗(yàn)、認(rèn)識角本質(zhì)”“鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)”三個(gè)課時(shí)。第一課時(shí)“初識角的概念”借助分類和動(dòng)手創(chuàng)造，幫助學(xué)生認(rèn)識角的特征，掌握角的概念（第一課時(shí)的研究文章刊載于本刊2024年第3期）；第二課時(shí)“體驗(yàn)、認(rèn)識角本質(zhì)”設(shè)置了動(dòng)靜結(jié)合的角的大小比較任務(wù)，通過關(guān)注“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”，幫助學(xué)生體驗(yàn)、認(rèn)識角本質(zhì)（第二課時(shí)的研究文章刊載于本刊2024年第4期）。在認(rèn)識了角的概念，體驗(yàn)了角的本質(zhì)后，如何運(yùn)用角本質(zhì)來認(rèn)識具體的角，是本文要回答的問題。筆者在先前研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出本文的研究問題：如何運(yùn)用角本質(zhì)實(shí)現(xiàn)對角的分類（認(rèn)識直角、銳角和鈍角）？如何圍繞角本質(zhì)的鞏固與運(yùn)用構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑？

二、研究設(shè)計(jì)

我們繼續(xù)在YH小學(xué)二年級的甲、乙兩個(gè)班中開展教學(xué)實(shí)踐，由教師W按照本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行備課、授課。研究方法與研究流程同“初識角的概念”“體驗(yàn)、認(rèn)識角本質(zhì)”，不再贅述。以下主要介紹后測問卷及數(shù)據(jù)處理。

后測題目一共有5道小題（如圖1）。對于給出的“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”、“邊長的長短”或“開口的方向”不同的5組角，學(xué)生首先需要判斷這些角屬于哪類角（銳角、直角、鈍角），然后對角的大小進(jìn)行比較。

教師對學(xué)生的作答情況進(jìn)行賦分，正確記1分，錯(cuò)誤記0分，最后統(tǒng)計(jì)總分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)施

為探究得到完善的學(xué)習(xí)路徑，本研究經(jīng)歷了多次教學(xué)設(shè)計(jì)、兩次教學(xué)實(shí)踐及多次教學(xué)研討。限于篇幅，本文只呈現(xiàn)在乙班開展的優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C2，如圖2所示。

其中，任務(wù)1包含2個(gè)子任務(wù)。

子任務(wù)1.1：慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)停車桿，整體感受角的大小變化。

在第二課時(shí)“體驗(yàn)、認(rèn)識角本質(zhì)”中，停車桿模型是體現(xiàn)角本質(zhì)為“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”的良好載體，可以沿用。但需要注意的是，相較于真實(shí)的停車桿，此時(shí)的模型更類似于由停車桿模型抽象得到的“轉(zhuǎn)動(dòng)模型”，轉(zhuǎn)動(dòng)的幅度由直角擴(kuò)大到平角，這樣才會(huì)在旋轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)銳角、直角和鈍角。教師緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)停車桿，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)、連續(xù)的過程中整體感受角的大小變化，對角的本質(zhì)進(jìn)行再認(rèn)識與復(fù)習(xí)。同時(shí)，也將銳角、直角和鈍角置于一個(gè)整體結(jié)構(gòu)中，以便后續(xù)引入。

子任務(wù)1.2：截取停車桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中形成的角，進(jìn)行大小排序，并說明理由。

將停車桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的動(dòng)態(tài)角截取下來形成靜態(tài)角，分別為2個(gè)銳角、1個(gè)直角、2個(gè)鈍角（如圖3），并進(jìn)行大小排序。學(xué)生結(jié)合動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)過程，對截取下來的靜態(tài)角進(jìn)行大小排序，動(dòng)靜結(jié)合，以此鞏固對角本質(zhì)的認(rèn)識。

任務(wù)2包含3個(gè)子任務(wù)。

子任務(wù)2.1：對圖3中的5個(gè)角進(jìn)行分類，并說一說分類的理由。

為引入直角，教師最早設(shè)計(jì)的環(huán)節(jié)是請學(xué)生直接思考哪個(gè)角最特殊。但學(xué)生心中對“特殊”的理解是千差萬別的，回答因人而異。因此，這樣的問題設(shè)計(jì)顯然缺乏指向性。在第一課時(shí)“初識角的概念”中，學(xué)生通過分類活動(dòng)，提煉出角的特征。優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑C2也設(shè)計(jì)了圖形的分類活動(dòng)，通過辨別圖形特征，幫助學(xué)生初步形成對不同角的認(rèn)知。學(xué)生通過對停車桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中截取下來的角進(jìn)行分類，能夠體會(huì)到直角是銳角與鈍角的分界線，以此凸顯直角的特殊性。

在分類過程中，學(xué)生主要給出了三種分法：①②、③④⑤；①②③、④⑤；①②、③、④⑤。通過分析、比較這三種分類情況，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注產(chǎn)生分歧的源頭，即③號角，并針對其特殊性展開討論。子任務(wù)2.1的課堂實(shí)錄如下。

師：比較這三種分類情況，它們有什么不同？

生：對③號角的分類不一樣。

師：為什么會(huì)不一樣？

生：它最特殊。

師：特殊在哪里？

生：①、②號角是向里倒的，④、⑤號角是向外倒的，只有③號角是直直地站著。

師：③號角就是我們今天要學(xué)習(xí)的直角。

在學(xué)生認(rèn)識直角并感受其特殊性后，教師引出銳角和鈍角的概念：像①②這樣，比直角小的角叫銳角；像④⑤這樣，比直角大的角叫鈍角。

子任務(wù)2.2：尋找教室中的直角。

學(xué)生在教室的各處（如黑板、書柜、窗框、粉筆盒等）可以找到符合直角特征的角。由此，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，同時(shí)搭建抽象概念與現(xiàn)實(shí)具體的橋梁，加深學(xué)生對直角的認(rèn)識。

子任務(wù)2.3：利用銳角和鈍角的學(xué)具，感受它們?yōu)楹稳绱嗣?/p>

教師利用硬紙板制作的銳角和鈍角學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生通過觸覺體驗(yàn)，感受銳角和鈍角為何如此命名，由此加深對銳角和鈍角的認(rèn)識。銳角摸起來是尖銳的，賦以“銳”字；鈍角摸起來不是尖銳的，賦以“銳”的反義詞——“鈍”字。

任務(wù)3：制作活動(dòng)角，并轉(zhuǎn)動(dòng)角的其中一邊。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，說一說角的大小變化，并思考此時(shí)是銳角、直角，還是鈍角。

任務(wù)3需要同桌兩人合作完成。首先，兩人共同利用小棒制作活動(dòng)角。其次，一人將活動(dòng)角的一邊固定并緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)另一邊，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)停止時(shí)，另一人需要說出此時(shí)的角相較于上一刻的角的大小變化情況，以及此時(shí)的角是銳角、直角，還是鈍角。重復(fù)若干次后，雙方交換。這樣“制作動(dòng)態(tài)角、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)態(tài)角、感知?jiǎng)討B(tài)角”的活動(dòng)過程，是學(xué)生體驗(yàn)與思考的過程，即運(yùn)用角本質(zhì)理解銳角、直角和鈍角之間的大小關(guān)系，并體會(huì)大小不同的銳角和鈍角。

綜上，任務(wù)1主要由“轉(zhuǎn)動(dòng)”鞏固對角本質(zhì)的理解并引入不同類型的角；任務(wù)2通過對任務(wù)1的素材進(jìn)行分類，先認(rèn)識特殊角——直角，再通過比較認(rèn)識銳角和鈍角；任務(wù)3通過轉(zhuǎn)動(dòng)活動(dòng)角，并運(yùn)用角本質(zhì)進(jìn)一步感知銳角、直角和鈍角之間的大小關(guān)系。由此，“轉(zhuǎn)動(dòng)”貫穿直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)了學(xué)生對角本質(zhì)、角特征的系統(tǒng)理解。同時(shí)，直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)過程也與角本質(zhì)的鞏固、運(yùn)用過程此呼彼應(yīng)，相得益彰。

（二）學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)效果與分析

如前文所述，本研究首先在甲班開展了假想的學(xué)習(xí)路徑C1的教學(xué)，結(jié)合專家建議與甲班后測情況，繼而在乙班開展了優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C2的教學(xué)。以下對甲、乙兩個(gè)班的后測情況進(jìn)行定量分析，并結(jié)合典型回答，驗(yàn)證學(xué)習(xí)路徑得到了改進(jìn)。甲、乙兩個(gè)班的得分情況如圖4所示。

比較甲、乙兩個(gè)班的成績，發(fā)現(xiàn)乙班學(xué)生在T1、T4和T5上的正確率均高于甲班，在T2和T3上的正確率與甲班保持相等。對甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的后測得分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。通過分析整體得分可以發(fā)現(xiàn)，乙班學(xué)生比較角大小和辨析三類角的正確率顯著提高，對角本質(zhì)的認(rèn)識更加深刻。通過分析T1、T2和T3得分可以發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生均能意識到“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”是影響角大小的本質(zhì)因素，以及排除“開口的方向”這一非本質(zhì)因素。在特殊情況下（如T3，兩個(gè)角均為直角），也能排除“邊長的長短”這一非本質(zhì)因素。兩個(gè)班在這方面的認(rèn)知水平不存在顯著性差異。通過分析T4得分與T5得分可以發(fā)現(xiàn)，乙班學(xué)生相較于甲班更能在一般情況下排除“邊長的長短”這一非本質(zhì)因素（如圖5），并且對于銳角、直角和鈍角的概念區(qū)分更加清晰（如圖6）。由此說明，優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C2能有效幫助學(xué)生認(rèn)識直角、銳角和鈍角，并鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)。

需要注意的是，優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C2仍存在可完善之處。直角是認(rèn)識銳角和鈍角的基礎(chǔ)，因此，學(xué)生對直角特殊性的感受顯得尤為重要。學(xué)生將直角特殊性理解為“直直的”，但實(shí)際上，直角的“直”體現(xiàn)在一條邊與另一條邊的位置關(guān)系是垂直的，即相對位置的“直”。然而學(xué)生對于相對位置關(guān)系的感受較弱，因此，對直角特殊性的理解容易存在偏差。教師可以通過以下任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)直角的“直”是相對位置的“直”。首先，教師展示開口方向不同的若干個(gè)直角（如圖7），詢問學(xué)生這些是否是直角。其次，教師將直角的開口方向統(tǒng)一，詢問學(xué)生調(diào)整方向后的角是否還是原來的角，以及這些角是否是直角。這樣的概念性變式，即變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征［1］，將有利于學(xué)生對直角特殊性的體會(huì)。

據(jù)此修改得到完善的學(xué)習(xí)路徑C3。由于實(shí)施優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑C2在很大程度上滿足了預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，且最終完善的學(xué)習(xí)路徑C3與C2相差不大，故不再詳述。

四、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

本研究通過多次教學(xué)設(shè)計(jì)、兩次教學(xué)實(shí)踐及多次教學(xué)研討，最終得到了完善的“鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)”學(xué)習(xí)路徑：首先從停車桿的轉(zhuǎn)動(dòng)出發(fā)，讓學(xué)生鞏固對角本質(zhì)的理解，引出不同類型的角；其次通過分類和比較得到直角、銳角和鈍角；最后通過制作活動(dòng)角，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中親身經(jīng)歷角的變化。研究表明，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑能有效幫助學(xué)生鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對角的正確分類（認(rèn)識直角、銳角和鈍角）。

（二）建議

1.用“轉(zhuǎn)動(dòng)”一以貫之直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)

“轉(zhuǎn)動(dòng)”體現(xiàn)了角的本質(zhì)，因此，可以用“轉(zhuǎn)動(dòng)”一以貫之直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)，使得直角、銳角和鈍角的學(xué)習(xí)過程整體化、本質(zhì)化。如在停車桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，截取出銳角、直角和鈍角的素材；通過動(dòng)靜結(jié)合進(jìn)行大小排序，為后續(xù)分類活動(dòng)認(rèn)識直角、銳角和鈍角做鋪墊；通過轉(zhuǎn)動(dòng)活動(dòng)角，進(jìn)一步感知銳角、直角和鈍角的大小關(guān)系。

2.借助分類活動(dòng)，展示不同開口方向的直角，感受直角的特殊性

分類思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它具有培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考、發(fā)展學(xué)生良好思維品質(zhì)等作用。［2］因此，分類活動(dòng)是認(rèn)識圖形特征的重要手段。首先，教師可以通過分類活動(dòng)，對比銳角的“向里倒”和鈍角的“向外倒”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)直角的“直”。其次，教師通過展示不同開口方向、看似不“直”的直角，經(jīng)由開口方向的調(diào)整重新變“直”，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)直角的“直”在于一條邊相對于另一條邊的“直”。由此，學(xué)生由淺入深地感受直角的特殊性。

參考文獻(xiàn)：

［1］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等. 變式教學(xué)研究（續(xù)）［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（2）：6-10，23.

［2］姚美芳. 分類在認(rèn)識圖形中的教育價(jià)值［J］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（6）：9-11.

（責(zé)任編輯：羅小熒）