馬林剛

數(shù)學是問題的學科，提出問題、解決問題在解題的過程中往往起著關(guān)鍵作用，通過提出問題、解決問題，架設(shè)起已知和未知之間的橋梁.同樣一個問題，從不同的角度進行分析、聯(lián)想，建立不同的解題思路，會提出不同的問題，但落腳點都是解決問題.在教學中鼓勵學生展示思考的成果，教師和學生一起提出問題、解決問題.不僅提高了學生的思維水平、表達能力，還豐富了學生解題體驗，拓寬了解決問題的內(nèi)涵，提升對數(shù)學問題的認知.本文以教學中處理一道習題的過程為例，談提出好的問題在解決問題中的作用.

問題 （2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川預賽試題第5題）已知函數(shù)f：{1，2，…，10}→{1，2，3，4，5}，且對一切k=1，2，…，9，有|f（k+1）－f（k）|≥3.則符合條件的函數(shù)f的個數(shù)為 .

分析：老師布置此題目作為課后思考題，給了學生充足的時間思考.講解之初，由老師拋磚引玉.

一道看似很簡單考察函數(shù)的定義的題目，似乎用列舉就可以輕而易舉的解決.但實際操作起來卻發(fā)現(xiàn)很復雜，容易算錯.

講解之前教師提出三個問題：

（1）怎樣化繁為簡，研究出問題的本質(zhì)，得到準確的答案？

（2）哪些數(shù)學解題思想在主導著解決問題的方向？

（3）此問題還可以怎樣變形？

首先，直接列舉：

雖然發(fā)現(xiàn)到了一些對解題有作用的性質(zhì)：（1）f（x）≠3.若f（x）=3，f（x-1）或f（x+1）沒有解.（集合{1，2，3，4，5}中最大的元素為5，最小的元素為1，|3－1|=|5－3|=2<3）f（x）的可能取值只能是集合{1，2，4，5}中的4個元素；（2）函數(shù)值隨著自變量的改變呈現(xiàn)類似于周期性的性質(zhì)；（3）考慮對題目做“退化”處理，研究f：{1，2，…，5}→{1，2，3，4，5}，或者研究f：{1，2，…，4}→{1，2，3，4，5}.

其次，教師再次提出問題：退化處理后發(fā)現(xiàn)解決確定函數(shù)的過程就是確定定義域內(nèi)每個元素的象.但是題目要求并不是求出這些函數(shù)，而是求出符合條件的函數(shù)的個數(shù)，是否可以把這個周期性用得更寬泛？

這時想到的是從f（1）→f（5），f（5）→f（10）結(jié)果不夠理想.于是列出表格：

繼續(xù)進行討論：當f（1）=1時，f（4）有2種時候等于4，有3種時候等于5；

當f（1）=2時，f（4）有1種時候等于4，有2種時候等于5；當f（1）=4時，f（4）有2種時候等于1，有1種時候等于2；當f（1）=5時，f（4）有3種時候等于1，有2種時候等于2.

繼而得到： f（4）會出現(xiàn)5次1，3次2，3次4，5次5.對于f（7）而言，f（4）=1會產(chǎn)生5×2次4，5×3次5；f（4）=2會產(chǎn)生3×1次4，3×2次5；f（4）=4會產(chǎn)生3×2次1，3×1次2；f（4）=5會產(chǎn)生5×3次1，5×2次2.共有21次f（7）=1，13次f（7）=2，13次f（7）=4，21次f（7）=5.對于從f（7）到f（10），f（7）=1得到f（10）有21×5種情況，f（7）=2得到f（10）有13×2種情況，f（7）=4得到f（10）有13×3種情況，f（7）=5得到f（10）有21×5種情況.共計288種情況.

教師：這是本人的做法，解答比較繁雜，自己覺得成功之處在于分三步走，先退化到簡單情形，本來想兩步解決，但列舉時發(fā)現(xiàn)可以分三次走更輕松.個人覺得沒有把題目蘊含的本質(zhì)搞清楚，只看到了問題的一面.對題目的本質(zhì)局限在函數(shù)的定義，沒有找到更好的數(shù)學模型.

教師提出問題：本題還可以做什么樣的推廣和拓展？

學生甲：我先證明一個引理：從左至右m個位置（m≥2n+1），n個相同的元素放在m個位置，要求這n個元素互不相鄰，有Cnm－n+1種放法.

因為n個元素要占用n個位置且不相鄰，所以需要用m－n個座位來隔開這n個元素，于是出現(xiàn)m－n+1個空格（因為兩端各有1個，中間有m－n－1個），n個元素在這m－n+1個空格種選擇，因為不分彼此，所以有Cnm－n+1種放法.

這對于本題有什么作用呢？我們先來看一種特殊情形：5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 .

現(xiàn)在5的位置可以用4替換，1的位置可以用2替換，但是相鄰的兩個數(shù)不能同時被替換，那樣就不滿足|f（k+1）－f（k）|≥3.而 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 的情況與之類似，故總的對應有2（C010－0+1+C110－1+1+C210－2+1+C310－3+1+C410－4+1+C510－5+1）=2（C011+C110+C29+C38+C47+C56）個.

教師：甲同學的解答重在建立了一種可靠的模型，比我的做法簡單很多，值得借鑒，把不熟悉的問題通過建立模型轉(zhuǎn)化到熟悉的場景下解決是常用的方法.給甲同學掌聲鼓勵.

教師再次提出問題：（1）可以用有限歸納的方法來討論嗎？（2）如果用有限歸納的方法討論是不是不嚴謹？（3）怎么處理這個不嚴謹?shù)膯栴}？

我發(fā)現(xiàn)乙同學的做法很有趣，他回答了問題（1），下面請乙同學在黑板上板書講解.

乙同學：我也是列舉了一個樹狀圖，不過是以對應的種數(shù)來列的，結(jié)果好象出現(xiàn)了斐波那契數(shù)列.首先：確立如右的對應，建立這樣的對應是基于1和5有相同的屬性，就是對應的元素可以有兩種情形，如f（k）=1，則f（k+1）=4或者5；f（k）=5，則f（k+1）=1或者2；而如果f（k）=2，則f（k+1）=5；f（k）=4，則f（k+1）=1.于是A→B或A，而B→A.

經(jīng)過有限歸納，我猜想：接下來是

當f（1）=1或者2時，情況一樣，也是144種，所以共有288個對應.如下所示.

教師：乙同學做得很棒，如果能夠給后面的推導有個更加嚴格的說明就好了.有沒有同學想好的？

丙同學：還是針對黑板上的情況，我們分析f（k）=ak，{an}滿足斐波那契數(shù)列，就是要滿足：①a1=a2=1，②n≥2時，an+1=an+an－1.顯然①滿足，對于②，f（k－1）出現(xiàn)了x個A，y個B，即an-1=x+y.則f（k）出現(xiàn)了x+y個A，x個B，即an=（x+y）+x；于是f（k+1）出現(xiàn)了x+（x+y）個A，x+y個B，即an+1=x+（x+y）+（x+y）=3x+2y=an－1+an.

教師：謝謝丙同學給出了相對嚴格的證明.乙同學借助斐波那契數(shù)列的模型解決了問題，丙同學的分析也很科學.本題的求解中對于條件的簡化與假設(shè)都是值得學習的，這就是去偽存真，抓住本質(zhì)的過程.希望同學多思考，多總結(jié)，多交流，把學習數(shù)學、深化問題解決越做越好.感謝三位同學的精彩分析.

課后記：縱觀三種做法，乙同學的做法在得到丙同學的嚴格證明后不失為最接近本質(zhì)的做法，甲同學借助的排列組合知識值得肯定，只有老師的做法顯得不夠精巧，說明同學們的思維非常開放而又靈活，值得表揚.合理聯(lián)想，建立契合題目的數(shù)學模型，是今后解決問題中應該有意考慮的問題.