周曉琳

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生常用“枯燥”、“抽象”、“難學(xué)”來評價(jià)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)效率低下.出現(xiàn)這一現(xiàn)象大多與教師的教學(xué)相關(guān)，不少教師的課堂教學(xué)，常常獨(dú)占課堂，忽視學(xué)生的主體地位，使得學(xué)生在課堂上不能表達(dá)自己的所思、所想，限制學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將課堂還給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值，以確保促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí).本文筆者以一道解析幾何題的教學(xué)為例，談?wù)勅绾螌⒄n堂還給學(xué)生，提升教學(xué)有效性的一些思考.

一、問題呈現(xiàn)

120°時(shí)，求證：（i）點(diǎn)P一定在經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓M上；（ii）PA=PB+PC.

二、教學(xué)過程

1.互動(dòng)交流，啟迪思維

師：若想證明一點(diǎn)在一定圓上，常用的方法有哪些？

生1：證明該點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

生2：證明該點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程.

師：還有其他方法嗎？

生3：證明凸四邊形的對角互補(bǔ).

師：非常好，生1和生2的方法本質(zhì)上是一致的，接下來請大家選擇適合自己的方案給出分析過程.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師將問題進(jìn)行拆分，首先讓學(xué)生思考證明一點(diǎn)在一定圓上的方法，以此降低思維難度，喚醒學(xué)生的原認(rèn)知，幫助學(xué)生探尋解題的突破口.

2.交流展示，拓寬視野

教學(xué)中，教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，并讓學(xué)生選擇適合自己的解題方案.幾分鐘后，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)形成解題思路，教師重視展示學(xué)生的解題方法.

師：誰來說一說，你是如何證明點(diǎn)P一定在經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓M上的呢？

師：很好，還有其他方法嗎？

生5：我是用生3的思路證明的.由β－α=120°可知，點(diǎn)P在x軸下方，如圖1，只需要證明∠BAC+∠BPC=180°即可.由已知可知∠BCP=α，∠CBP=180°－β.所以∠BPC=180°－（∠BCP+∠PBC）=180－（α+180°－β）=β－α=120°，又因?yàn)棣BC是正三角形，所以∠BAC=60°，所以∠BAC+∠BPC=180°，問題獲證.

師：很好，生4是將幾何問題代數(shù)化，根據(jù)已知將α、β轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，通過證明點(diǎn)P的坐標(biāo)適合圓的方程，證明了結(jié)論；生5直接運(yùn)用幾何法解決問題，通過“對角互補(bǔ)的四邊形一定是圓的內(nèi)接四邊形”這一性質(zhì)，證明了結(jié)論.這樣從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度解決問題，彰顯了數(shù)形結(jié)合的魅力.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師尊重學(xué)生、相信學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己喜歡的方式解決問題，充分體現(xiàn)了以生為本的教學(xué)理念.同時(shí)通過互動(dòng)交流，拓寬學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

3.小組合作，激發(fā)思維

經(jīng)歷以上自主探究過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)興致高漲，教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作的方式共同探究（ii）的解法.教師預(yù)留時(shí)間讓各小組充分交流，然后展示學(xué)生的交流成果.

師：如何證明PA=PB+PC？你想如何表示線段PA、PB、PC的長度呢？

生6：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式可以分別表示它們的長度.

生7：也可以將線段長度放在三角形中，運(yùn)用正、余弦定理表示.

師：大家都說得非常好，請各組結(jié)合上面的分析，給出具體解法.

（學(xué)生積極運(yùn)算、積極交流，課堂氛圍活躍）

師：很好，該方法思路簡單，易于理解，不過對運(yùn)算能力的要求較高，大家在計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心.還有其他方法嗎？

生11：我是將PA、PB、PC放在三角形中研究，利用正弦定理來處理.

生13：我是利用幾何法證明的.

如圖3，在線段PA上截取PD=PC.因?yàn)棣BC是正三角形，所以有∠ABC=60°.根據(jù)同弧所對圓周角相等，易證∠PAC=PBC，∠DPC=60°，又PD=PC，所以ΔDPC也為正三角形.所以DC=PC，∠PDC=60°，∠ADC=120°，又因?yàn)棣拢?120°，所以∠BPC=120°，∠BPC=∠ADC，圖3∠ACD=∠BCP，又AC=BC，DC=PC，所以ΔADCΔBPC，AD=PB，又PD=PC，所以PA=AD+PD=PB+PC.

師：能想到用初中所學(xué)的截長補(bǔ)短法來證明，非常棒.對于同一題目，從不同角度觀察，往往會(huì)得到不同的結(jié)果，在平時(shí)練習(xí)中，我們要嘗試從不同角度去分析，這樣往往可以獲得柳暗花明的效果.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師啟發(fā)學(xué)生以“長度的表示”這一核心知識點(diǎn)為抓手，尋求不同的解決方案.學(xué)生通過交流分別從代數(shù)、三角、幾何的角度解決了問題，充分展示了解題方法的多樣性.在此過程中，教師讓學(xué)生以小組為單位，通過相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，讓不同思維碰撞出火花，順利地突破了這一難點(diǎn)問題，促進(jìn)了學(xué)生解題能力的提升和思維能力的發(fā)展.

三、教學(xué)思考

在本案例教學(xué)中，教師相信學(xué)生，放手讓學(xué)生思考、交流、實(shí)踐，使課堂呈現(xiàn)了勃勃生機(jī)，讓學(xué)生充分體會(huì)了數(shù)學(xué)探究的興趣，使學(xué)生的自信心和實(shí)踐能力得到了有效的鍛煉，有利于發(fā)展學(xué)生的綜合能力和綜合素養(yǎng).

事實(shí)上，真正有效的課堂離不開學(xué)生的參與，教學(xué)中要提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生多參與活動(dòng)，而不是教師在講，學(xué)生在聽.教師要變“主宰”為“主導(dǎo)”，既要提供時(shí)間和空間讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，也要給予適時(shí)的指導(dǎo)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛，提升課堂教學(xué)效果.

總之，在課堂教學(xué)中，尤其在解題教學(xué)中，不應(yīng)該是直接講授，更多的應(yīng)該是啟發(fā)和點(diǎn)撥，將思考、展示、交流的空間還給學(xué)生，讓學(xué)生真正地走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，獲得可以持續(xù)學(xué)習(xí)的必備品格和關(guān)鍵能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).