蔡海濤　陳智雄　曾月迪

[摘要]高中數(shù)學教學以培育學生的核心素養(yǎng)為目標，以學生為主體，關注學生的思維活動，構建“生”動教學．教師可從“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”等四個方面啟發(fā)學生“動”起來．發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

[關鍵詞]高中數(shù)學；“生”動教學；數(shù)學學科核心素養(yǎng)

問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020修訂）》明確指出：高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本．落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

課堂教學是提升學科核心素養(yǎng)的主陣地．而這個陣地的主角是學生.

章建躍博士指出：發(fā)展核心素養(yǎng)是把以人為本的教育理念落到實處．所以，指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學教學是以學生為主體的教學——“生”動教學．其中．“生”代表“學生”；“動”代表學生動腦、動手、動口等，“‘生動教學”是通過教師的引導，學生參與系列化的數(shù)學活動．掌握“四基”．提高“四能”．發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．而反映數(shù)學學科核心素養(yǎng)在于四個方面，分別是情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思．筆者從這四個方面談談教師引導學生“動”起來的策略．以期與同行交流．

核心素養(yǎng)下的“生”動教學

1．問題在情境中驅(qū)動

案例1 探究平面向量基本定理．

師生活動：問題導入，探究定理．

問題1 設向量e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2嗎？

問題2 設向量e1，e2是同一平面內(nèi)兩個共線的向量．你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2嗎？

問題3 我們知道，由向量共線的充要條件可得出：位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的非零向量表示．類比這個結論，平面內(nèi)任意向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個向量表示？

師：通過上節(jié)課的學習，同學們知道了向量的線性運算λe1+λe2的結果是一個向量．反之．平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)兩個不共線的向量表示呢？我們知道，已知兩個力可以求出它們的合力；反過來．一個力可以分解為兩個力．這種分解通常不是唯一的，事實上．這種力的分解．就反映出平面向量的關系，這節(jié)課我們從力的分解出發(fā)，研究刻畫平面向量之間的關系.

追問1：受力的分解的啟發(fā)，我們能不能作平行四邊形，將向量a分解為兩個向量．使向量a是這兩個向量的和呢？（探究分解的存在性，體會向量a的任意性．）

設e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量．a(chǎn)是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點O，作OA=e1，OB=e2，OC=a．將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問2：如果向量a是這一平面內(nèi)與e1，e2中的某一個向量共線的非零向量，你能用e1，e2表示a嗎？a是零向量呢？

師生總結得結論（存在性）：當e1，e2不共線時，平面內(nèi)任一向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示．

問題4（探究分解的唯一性）給定向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示，這種表示形式是唯一的嗎？

學生經(jīng)歷以上探究得到平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使向量a=λ1e1+λ2e2．

設計意圖 問題解決是數(shù)學教學的核心．教師以學生熟悉的物理知識為起點引入向量分解．再讓學生自主探究向量表示的存在性與唯一性．激發(fā)學生學習的主動性，教師依托情境設計問題，由問題驅(qū)動、激發(fā)學生觀察、思考、探究，讓學生思維一直處于“動”的狀態(tài)，從問題中抽象出研究的對象．完成“觀察一猜想一證明”定理的過程．在教師的引導下．學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界．發(fā)展了數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)．

2．技能在知識中舞動

案例2 探究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長的差異．

探究1 選取適當?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)．探究它們在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的增長差異．你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？

師生活動：學生自主探究，提出疑問．小組交流分析問題．解決問題．學生交流的問題大致如下：

①為什么探究的區(qū)間是[0，+∞）？

②以什么路徑進行探究？

③以函數(shù)y=2x和y=2x為例，利用信息技術列表畫圖，如何觀察數(shù)表和圖象？

④借助幾何畫板畫出函數(shù)y=2x和y=2x的圖象后．如何探究這兩個函數(shù)增長的差異？

⑤如何用數(shù)學符號語言準確表述函數(shù)y=ax（a>1）和y=kx（k>0）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的增長差異？

教師給予學生鼓勵和肯定后，整理學生探究的結論．

①從“數(shù)”的角度比較兩個函數(shù)增長方式以及變化速度的差異．“運算”是代數(shù)的一般觀念．在一般觀念的指導下，補充變化率△y/△x=y2-y1/x2-x1在教材中的表4.4-3的基礎上再列一表（表1），讓學生更清楚地觀察它們的變化趨勢.

②從“形”的角度比較兩個函數(shù)增長方式以及變化速度的差異．借助幾何畫板畫圖（如圖1所示）．引導學生觀察自變量的增加量相同時．只需要看函數(shù)值的增量△y即可.

教師播放微視頻讓學生進一步理解“指數(shù)爆炸”，指出指數(shù)函數(shù)的“爆炸”增長源自指數(shù)運算的性質(zhì)．

師生活動：舉例說明“指數(shù)爆炸”與生活有廣泛聯(lián)系.

①“1.01365≈37.78，0.gg365≈0.3”揭示“積跬步以至千里．積怠惰以至深淵”；

②“1.02365≈1377.41.1.01365≈37.78”揭示“多百分之一的努力．得千份收獲”；

③“1.01219×0.98146≈0.46”揭示“三天打魚兩天曬網(wǎng)．終將一無所獲”．

探究2 選取適當?shù)膶?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的增長差異，并描述一下對數(shù)函數(shù)增長的特點．

探究3 類比探究1的過程，①畫出函數(shù)y=2x，y=lgx，y=2x的圖象，并比較它們的增長差異；②比較函數(shù)y=kx（k>0），y=logax（a>1），y=bx（b>1）的增長差異；③討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.

師生活動：學生類比“探究1”，自主探究．提出疑問，小組交流分析問題．然后概括表達．進而解決問題．教師及時給予肯定與鼓勵．

設計意圖 “不同函數(shù)增長的差異”處于人教A版必修第一冊（2019年版）教材中的“第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”的“指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”內(nèi)容之后．“函數(shù)的應用”內(nèi)容之前．學生利用一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等知識，通過自主探究理解不同函數(shù)增長的差異，提升了抽象概括、推理論證和運算求解等能力.

學生在教師的引導下自主完成“探究1”，充分經(jīng)歷規(guī)劃研究思路（從特殊到一般），思考函數(shù)的選擇、圖象的繪制、函數(shù)的調(diào)整、信息技術的應用等，積累“如何研究”的活動經(jīng)驗；在“探究1”的基礎上完成“探究2”和“探究3”，進一步提煉研究方法；通過作圖、觀察、實踐，在“探索一質(zhì)疑一反思”的過程中歸納認識幾種不同函數(shù)圖象的基本特征，訓練觀察、分析、歸納的能力，感悟函數(shù)與方程、特殊到一般和數(shù)形結合等數(shù)學思想．

數(shù)學探究活動是數(shù)學內(nèi)容的主線之一．這條主線能幫助學生更好地掌握知識技能．更能幫助學生學會數(shù)學的思考與實踐．是學生發(fā)展學科素養(yǎng)的有效載體．三個探究活動是在學生掌握一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等陳述性知識的基礎上．通過實際操作．獲得活動經(jīng)驗．理解并掌握程序性知識與技能（不同函數(shù)增長的差異）．在探究的過程中可以讓學生充分暴露自己的困惑，以自主探究、小組討論、師生討論等形式對疑難問題進行解答．在教學中，教師關注學生思維發(fā)生和發(fā)展的過程．引導學生學會用數(shù)學的思維思考世界，提升學生的數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．

3．思維在表達中跳動

案例3 復數(shù)的三角表示式．

本案例是人教A版必修第二冊（2019年版）教材的新增內(nèi)容，屬于選學范疇．高考不作要求．教學中首先讓學生自主閱讀教材；接著由第1組和第2組學生設計“概念引入”問題．第3組和第4組學生設計“概念厘清”問題．第5組和第6組學生設計“概念應用”問題，第7組和第8組學生設計“概念深化”問題；然后把各小組提出的問題分享全班學生討論．教師做總結點評．

活動1 概念引入．

問題串1：復數(shù)的概念及其幾何意義是什么？

①復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與復平面的點Z（a，b）和向量OZ=（a，b）三者是如何對應的？

②你能在復平面內(nèi)用平面向量表示復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）嗎？

問題串2：向量可以由大小和方向唯一確定．能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)？如何表示？

①向量的大小可以用復數(shù)的模來刻畫，向量的方向呢？

②若角θ的頂點在坐標原點，始邊在實軸非負半軸上．如何表示角θ終邊上一點的坐標？

③你能用向量的模r和角θ表示復數(shù)z嗎？

④以上研究的角θ的終邊均在第一象限，得到z=r（cosθ+isinθ）．這個式子是否具有一般性？當角θ的終邊在其他象限或者實軸、虛軸上時，這個式子還成立嗎？

活動2 概念厘清．

問題串3：閱讀教材中的復數(shù)三角形式的概念．

①如何理解定義“任何一個復數(shù)z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）的形式”中的“任何”“都”？

②復數(shù)三角形式中的r表示什么？范圍為多少？

③復數(shù)的輻角θ是如何引入的？范圍為多少？

④復數(shù)i的輻角θ是多少？復數(shù)θ的輻角θ是多少？

⑤表示復數(shù)i的輻角之間有什么關系？

⑥由于復數(shù)的輻角有無限多個值，因此應用不方便，為了使任一非零復數(shù)有唯一的輻角．有必要規(guī)定輻角的范圍，取多少合適？

⑦復數(shù)i的輻角的主值是多少？

問題串4：復數(shù)-1／2（sinπ／3+cosπ／3）的表示是三角形式嗎？

①觀察復數(shù)的三角形式，試分析其結構特點.

②復數(shù)-1、2（sinπ／3+icosπ／3）如何轉(zhuǎn)化成三角形式？

③復數(shù)的非三角形式轉(zhuǎn)化成復數(shù)的三角形式的關鍵是什么？

活動3 概念應用．

問題串5：你能在復平面中畫出復數(shù)1／2、根號下3／2i對應的向量并轉(zhuǎn)化成三角形式嗎？

①你能指出復數(shù)cosπ+isinπ的模和一個輻角嗎？畫出該復數(shù)對應的向量并轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式．

②你能指出復數(shù)6cos11、6π+isin11/6π的模和一個輻角嗎？畫出該復數(shù)對應的向量并轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式．

③歸納總結復數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的互化方法．

④兩個用代數(shù)形式表示的復數(shù)相等的條件是什么？兩個用三角形式表示的復數(shù)相等的條件是什么？

活動4 概念深化.

問題串6：回顧復數(shù)的三角形式的研究過程．并說說研究方法.

①復數(shù)的三角形式的結構特征是什么？輻角和輻角主值的概念和特點是什么？

②復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

③你在知識、能力、思想上有怎樣的收獲？

設計意圖本節(jié)課教師提供了研究數(shù)學概念的四個流程：概念引入、概念厘清、概念應用、概念深化，引導學生自主學習，完成四個學習活動，讓學生真正“動”起來，成為課堂的主人.

在學習活動中，學生自主探究，小組內(nèi)合作交流提煉問題．小組間分享學習經(jīng)驗．生生互動的形式多樣且深入，教師關注學生用數(shù)學語言表達．學生表達的方式豐富多樣．有小組內(nèi)討論的口頭表達．有回答問題時的書面表達，有表示復數(shù)時的圖形表達．多種表達方式展示了對抽象概念的理解．呈現(xiàn)了個人的思維觀點和情感．

表達過程也是學生思維跳動的過程，概念的研究體現(xiàn)了思維的邏輯性．概念的厘清體現(xiàn)了思維的批判性．概念的應用和深化體現(xiàn)了思維的客觀性．據(jù)此．學生對所學知識的加工、判斷、質(zhì)疑、建構．達到了對知識的深層認知.

表達是一種外顯呈現(xiàn)，思維促進理解內(nèi)化．教師引導學生有條理地表達．學會用數(shù)學的語言表達世界．從而發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

4．反思在交流中觸動

案例4如何得到敏感性問題的誠實反應．

本案例是人教A版必修第二冊（2019年版）教材中的“閱讀與思考”欄目的內(nèi)容．教師布置學生課外完成．并對學生提出了如下要求.

①成立項目小組，確定研討目標；

②小組成員查閱有關資料，進行討論交流；

③分工合作，明確責任；

④撰寫報告，討論交流，可以用編試題、寫小論文、做PPT等方式展示獲得的成果．

根據(jù)上述要求．每一個小組要完成以下工作.

①確定主題．如：設計一份敏感性問題的調(diào)查問卷；命制一道以“敏感性問題的誠實反應”為知識載體的試題等．

②開題報告．小組成員先查閱一些資料．然后小組成員線下交流或利用網(wǎng)上資源線上交流．制成一份開題報告，各小組在課堂上組織開題交流，讓每一個小組派一名代表進行陳述．教師和學生可以提出疑問．

如有的小組擬設計一份敏感性問題的調(diào)查問卷，教師和同學追問：如何理解教材中某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況的調(diào)查問卷設計的兩個問題？這兩個問題的巧妙之處在哪里．可以用其他問題替換嗎？調(diào)查過程中可能產(chǎn)生誤差的原因有哪些？

還有的小組擬命制一道以“敏感性問題的誠實反應”為知識載體的試題，網(wǎng)上查詢到的材料有：

（莆田市2017-2018學年下學期高一質(zhì)檢第16題）2018年足球世界杯賽在俄羅斯舉行．某校為了解該校學生熬夜看球賽的情況．對隨機抽出的400名學生進行調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個問題．問題1：你的座號是否為奇數(shù)？問題2：在世界杯期間你是否熬夜看球賽？要求被調(diào)查者投擲一枚硬幣，如果正面朝上，就回答問題1．否則就回答問題2．且只需回答“是”或“否”．由于被調(diào)查者回答哪個問題是別人不知道的．所以被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案．結果被調(diào)查的400人中有108人回答了“是”．估計該校學生中有熬夜看球賽的人數(shù)的百分比為__________.（注：該試題是筆者命制的，答案為4%.）

教師追問：在這道試題基礎上如何改編，是否可以更改試題背景或更改考查結論？

③研究過程，各小組在交流后，完善開題報告再進行研究．做到研究任務有分工、合作，責任到人，在研究過程中．教師進行了跟蹤．對“研究方法”“網(wǎng)上資源的利用”“論文和命題表述的規(guī)范性”等方面作了一定的指導，對那些態(tài)度認真、合作默契、方法恰當?shù)男〗M和個人給予了充分的肯定和鼓勵.

④結題展示．當各個小組都完成“結題報告”后．教師安排一次交流講評活動，由教師進行點評．對各個小組的報告進行小組互評．促進學生深度交流．如交流研究過程的嚴謹性、研究方法的多樣性、研究成果的創(chuàng)新性等．交流講評是本次活動最為重要的環(huán)節(jié)．可以讓學生在這一過程中相互借鑒，有效反思．共同提升.

設計意圖“閱讀與思考”欄目是“以學生為主體，自主學習，數(shù)學交流，深度反思”的有效載體，教師引導學生帶著研究的主題自主閱讀材料，讓學生明確“我要做什么．要解決的問題是什么”，在此基礎上．查閱一些文獻資料，通過師生交流、生生交流、人機交流等方式思考“如何解決問題”．在課題成果展示環(huán)節(jié)，通過生生互評、教師點評的交流活動深度反思“我的收獲是什么”．

通過經(jīng)歷小組小課題的研究過程．學生加深了對敏感性問題的誠實反應問卷設計原理的理解與方法的掌握，能夠充分利用統(tǒng)計概率的有關知識解決實際問題，感受數(shù)學的應用價值．

思之則活，思活則深，思深則透，思透則新．思新則進．學生在研究過程的交流反思中．積累了提出問題和解決問題的經(jīng)驗，培養(yǎng)了問題意識、創(chuàng)新意識、應用意識，發(fā)展了數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

寫在最后

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議一書》中指出：在學生的腦力勞動中，擺在首位的是讓學生本人進行思考．進行生動的創(chuàng)造．

“生”動教學旨在促進學生生動的創(chuàng)造．教學活動的主體是學生．教師通過問題驅(qū)動、知識探究、交流互動、反思觸動等方式，引領學生思考，促進學生思維不斷優(yōu)化．培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

基金項目：應用數(shù)學福建省高校重點實驗室（莆田學院）開放課題（SX202301）．