王昌林　楊坤林　劉成龍

[摘要]從三個視角闡述“返樸歸真”的數(shù)學教學：一是返教學方法之樸，歸理念之真；二是返教學設(shè)計之樸，歸過程之真；三是返教學手段之樸，歸技術(shù)之真．

[關(guān)鍵詞]返樸歸真；數(shù)學教學；兩角差的余弦公式

近年來，“研究性學習”“深度學習”“項目式學習”等新的課堂教學組織形式如雨后春筍般地呈現(xiàn)在大眾視野．這是教育不斷發(fā)展、進步的結(jié)果，引發(fā)了一些傳統(tǒng)教學組織形式的變革，這些新的課堂教學組織形式也存在一些問題，例如．缺少數(shù)學味道．嚴重忽視學情，過分追求課堂熱鬧，濫用信息技術(shù)，等等．這些問題嚴重偏離了我們一直以來所倡導(dǎo)的真實、自然、質(zhì)樸、深刻的中學數(shù)學課堂．盡管教育隨時代的進步在不斷變化，但是教育的基本規(guī)律亙古不變，課堂教學的基本功能也未曾改變，所以理性、樸實的數(shù)學課堂教學仍然是時代的主旋律，為此．筆者提出“指向‘返樸歸真的數(shù)學教學”．下文以“兩角差的余弦公式”的教學為例．從三個視角闡述“返樸歸真”的數(shù)學教學；返教學方法之樸，歸理念之真；返教學設(shè)計之樸，歸過程之真；返教學手段之樸．歸技術(shù)之真．

返教學方法之樸，歸理念之真

1．深刻把握學情．以學生實際為中心

奧蘇貝爾曾說：“影響學習的唯一重要因素就是學習者已經(jīng)知道了什么．要探明這一點．并據(jù)此進行教學，”因此．掌握學生真實的學情．并以此設(shè)計教學才是合理且有效的．“兩角差的余弦公式”的教學，現(xiàn)有很多好的教學模式，可以照搬嗎？答案是否定的．這是因為不同的學生具有不同的學情，“返樸歸真”的教學是去掉外在裝飾，恢復(fù)知識原本的質(zhì)樸狀態(tài)，選擇適合學情的“兩角差的余弦公式”的教學模式，在教學中，應(yīng)以學生實際為中心．思考諸如此類的問題：為什么要學習兩角差的余弦公式？學生具備哪些知識和經(jīng)驗?zāi)?？與兩角差的余弦公式一脈相承的知識有哪些？怎么教學兩角差的余弦公式？等等．

2．制定教學目標，以課程標準為準繩

章建躍博士曾將數(shù)學教育的“目標域”細化為三個層次：課程目標、單元目標以及教學目標，其中．教學目標是微觀目標．簡單來說就是課堂教學目標．想要上好一堂課，教學目標的制定尤為關(guān)鍵，那么如何制定呢？《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“新課標”）指出：“教學目標制定要突出數(shù)學學科核心素養(yǎng)，要結(jié)合特定教學任務(wù)．思考相應(yīng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)在教學中的孕育點、生長點．”因此，可將兩角差的余弦公式的教學目標制定為：經(jīng)歷兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．感受兩角差的余弦公式的文化背景與證明的多樣性．知道兩角差的余弦公式的意義．

3．研究教材內(nèi)容，以編者意圖為抓手

對比人教A版新老兩套教材可以發(fā)現(xiàn)，人教A版必修4（老教材）中的“兩角差的余弦公式”一節(jié)內(nèi)容編排在平面向量之后．而人教A版必修第一冊（新教材）中的“兩角差的余弦公式”一節(jié)內(nèi)容之前沒有編排平面向量，因此對現(xiàn)行的“兩角差的余弦公式”的教學設(shè)計，就不能應(yīng)用平面向量這一工具進行．在兩角差的余弦公式的證明中，新教材舍棄了老教材中的三角函數(shù)線以及平面向量的證明方法．而是借助單位圓利用兩點間的距離公式進行證明．這樣的改變不僅是強化單位圓的地位．更是教材編排上的“返樸歸真”．三角函數(shù)線以及平面向量對兩角差的余弦公式的證明固然是不錯的方法，但其中的三角函數(shù)線在實際講解中較為煩瑣，也脫離了最初學習三角函數(shù)的基本路徑．單位圓貫穿新教材必修第一冊的第五章，學生可借助前面幾節(jié)內(nèi)容的學習經(jīng)驗進行探索．充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法．有利于從整體上把握“三角函數(shù)”一章內(nèi)容．

返教學設(shè)計之樸，歸過程之真

1．問題引入．激發(fā)動機

問題1 某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上．如圖1所示，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間的距離約為60米．從點A觀測電視發(fā)射塔的仰角（∠BAD）約為60°，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°．求這座電視發(fā)射塔的高度．

評注 問題1改編自人教A版必修4第124頁的章節(jié)引入問題．通過把質(zhì)樸、真實的生活情境抽象為數(shù)學問題，讓學生感受到數(shù)學就在身邊，進而發(fā)展學生的應(yīng)用意識．充分體會學習兩角差的余弦公式的必要性．

2．直觀感知．先猜后證

問題2 審視問題1發(fā)現(xiàn)．求電視發(fā)射塔的高度則需要求cos15°的值．即cos（60°-45°）的值，能否根據(jù)45°．60°的三角函數(shù)值表示cos（60°-45°）？

評注 大多數(shù)學生很難用45°，60°的正弦值或余弦值表示出cos（60°-45°），設(shè)計問題2意在讓學生有犯錯的體驗和經(jīng)歷．充分感受學習就是在不斷犯錯、糾錯的真實過程中不斷完善．

追問1：觀察表1中的數(shù)據(jù)，同學們有什么發(fā)現(xiàn)？

追問2：請同學們猜想，如何運用30°，45°，60°等特殊角的三角函數(shù)值計算cos15°？

追問3：請同學們猜想，α，β的三角函數(shù)值與cos（α-β）有什么關(guān)系？

意圖 涉及α-β的余弦值的問題，一般考慮聯(lián)系單位圓或平面向量知識求解，但由于新教材將平面向量安排在本節(jié)內(nèi)容之后．因此構(gòu)造如圖2所示的單位圓進行證明．

設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點A（1，0），以x軸非負半軸為始邊作角α，β，α-β，終邊分別與單位圓相交于點P1（cosα，sinα），A，（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sm（α-β））．連接A1P1，4P.運用幾何畫板動態(tài)演示．將扇形OAP繞點O旋轉(zhuǎn)β角，則點A，P分別與點A1，P1重合，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知AP與A1P1重合，從而AP=A1P1，所以AP=A1P1．根據(jù)兩點間的距離公式得[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化簡得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．當α=2kπ+β（k∈Z）時，易證明上式成立，所以，對于任意角α，β，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注 追問1給出cos30°三組表達形式．方便學生從熟悉的特殊三角函數(shù)值入手，在設(shè)計表格數(shù)據(jù)時按其順序排列兩角差的余弦公式．有助于學生快速找到數(shù)據(jù)間的關(guān)系，從特殊到一般是獲得結(jié)論的一般方法．有助于學生提升自主探究能力，這一過程．可謂水到渠成，質(zhì)樸無華．

3．歷史溯源，文化浸潤

新課標指出：“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義．以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動，”將數(shù)學文化．尤其是數(shù)學歷史搬入課堂．讓數(shù)學活動充滿歷史厚重感，既是對數(shù)學發(fā)展歷史的傳播，又是對數(shù)學歷史的尊重．體現(xiàn)了回歸本真之心．

溯源1 3世紀末．亞歷山大時期的數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中給出了這樣一個命題；如圖3所示，設(shè)H是以AB為直徑的半圓上的一點．CE是半圓上在點H處的切線．CH=HE.CD和EF為AB的垂線，D，F(xiàn)是垂足，則（CD+EF）．CE=AB．DF．令∠COH=β，∠HOF=α，則∠EOF=∠FOH-∠EOH=α-β．這樣在平面幾何中發(fā)現(xiàn)兩銳角差的余弦公式.

溯源2 20世紀90年代末，美國《數(shù)學雜志》開辟了“無字證明”專欄（ProofWithoutWords），如圖4所示，可以直觀得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注數(shù)學史家M·克萊因（Mor-risKline）指出：在教科書和學校的課程中．都將“數(shù)學”看作一系列毫無意義的、充滿技巧性的程序．數(shù)學如果脫離了其豐富的文化基礎(chǔ)．就會被簡化成一系列的技巧．它的形象也就被完全歪曲了．通過溯源1與溯源2中的圖形的展示．可以讓學生從簡潔的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式，同時也為后面學習兩角差的正弦公式提供了證明參考，充分發(fā)揮了平面幾何圖形的直觀性，通過在教學中滲透數(shù)學文化，讓學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程．引導(dǎo)學生認識和感悟數(shù)學的文化價值．樹立文化自信、提升人文素養(yǎng)．

4．注重反思，提升認識

新課標將數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想與基本活動經(jīng)驗簡稱為“四基”，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力簡稱為“四能”．并以此作為學生進一步學習以及未來發(fā)展應(yīng)具備的能力．在溯源環(huán)節(jié)．學生掌握了溯源1與溯源2的共同特征，并通過參考帕普斯提出的命題、美國《數(shù)學雜志》的“無字證明”，獲取了證明經(jīng)驗、方法和技能．

證明 如圖5所示，P為單位圓上一點，過點P分別作OP，與x軸的垂線，垂足分別為C與B;過點C作x軸的垂線，垂足為A;過點P作AC的垂線，垂足為D．由此可得．∠ACP=∠BOC=α．因為OP=1，所以O(shè)B=cos（α-β），oc=cosβ，PC=sinβ，則DP=PCsinα=sinαsinβ，OA=OCcosα=cosαcosβ．由于OB=OA+AB=OA+DP，因此cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

評注 單位圓是定義三角函數(shù)、推導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式、理解三角函數(shù)的性質(zhì)、作三角函數(shù)圖象等內(nèi)容的直觀載體和重要工具．因此．引導(dǎo)學生運用單位圓進行證明，有利于回歸本章節(jié)教材的編寫意圖和邏輯起點．

5．分層作業(yè)，尊重差異

層次1 梳理本節(jié)課所涉及的兩角差的余弦公式的證明方法．

層次2 查閱資料．給出兩種有別于本節(jié)課涉及的兩角差的余弦公式的證明方法．

層次3 嘗試探究兩角和的余弦公式.

評注 通過分層布置差異化、高質(zhì)量的作業(yè)．讓不同的學生在數(shù)學學習中有不同的選擇，從而實現(xiàn)不同的發(fā)展．這既體現(xiàn)了作業(yè)的價值．又回歸了教育的初心．

返教學手段之樸，歸技術(shù)之真

1．注重課堂板書演示．展示思維邏輯

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，電子課件，白板的廣泛使用給教學帶來了便利．隨之而來的也有一些問題．例如。課件演示代替板書，使得板書越來越少，甚者還出現(xiàn)了“零板書”的現(xiàn)象，眾所周知．板書作為輔助教學的一種基本手段．是教師的一種基本技能．它能全面展示教學過程．是教學活動的重要組成部分．事實上，在復(fù)雜而細膩的教學活動中．板書從來不是孤立存在的對象，而是凝聚思想、知識、技能、藝術(shù)等諸多因素的綜合體，它既是對知識的再加工．又是對教學藝術(shù)的再創(chuàng)造，同時還是對教學過程以及邏輯關(guān)系的再現(xiàn)．

如圖6所示．這是兩角差的余弦公式探究過程的板書．有利于學生“慢思考”和“再思考”，例如，學生在教師板書的過程中思考，避免由于PPT展示過快造成思維困境．同時．學生在教師完成講解后，利用板書“再思考”，從而實現(xiàn)思維的“再深化”，因此．只有以發(fā)展學生為前提，尊重學生的身心發(fā)展規(guī)律．遵循教學的基本原則，把握學科的基本特征，才能更好地把握板書的價值，發(fā)揮板書育人的作用．

2．規(guī)范運用信息技術(shù)，提升課堂效率

新課標的實施建議中的第5條明確指出：重視信息技術(shù)運用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果．例如．利用計算機展示函數(shù)圖象、幾何圖形運動變化過程；利用計算機探究算法、進行較大規(guī)模的計算；從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表；利用計算機的隨機模擬結(jié)果．幫助學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發(fā)生的概率．現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學教學中是學生學習和教師教學的重要輔助手段，其具有直觀、形象等特點．恰當運用可以提升課堂效率．例如，本課運用幾何畫板可以快速準確地呈現(xiàn)單位圓，以及驗證學生對cos15°的猜想．如圖7所示，不僅加深學生對兩角差的幾何印象．更能引發(fā)學生的探究興趣，因此，現(xiàn)代教育技術(shù)的合理使用對開闊教學思路、提高教學效率、激發(fā)學習興趣發(fā)揮著重要作用，但值得注意的是數(shù)學課不是計算機課，規(guī)范運用信息技術(shù)是十分必要的．我們不能用技術(shù)的演示代替學生的思考和教師的講解．

3．“互聯(lián)網(wǎng)+教育”，融合信息時代便捷

互聯(lián)網(wǎng)的蓬勃發(fā)展．使得“互聯(lián)網(wǎng)+教育”成為一種必然．與傳統(tǒng)課堂相比較，互聯(lián)網(wǎng)可以將課堂有效前置和延后．在傳統(tǒng)教學中，學生的學習資源局限于教材和教輔資料．學生甚至教師幾乎不會通過其他途徑獲取更多的學習或教學資源，傳統(tǒng)課堂對學生的信息反饋比較滯后，且不夠準確．而“互聯(lián)網(wǎng)+教育”下的課堂．教師通過平臺的數(shù)據(jù)分析，可以快捷、準確地獲取學生的真實學情，從而有針對性地制定課堂教學方案．同時，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”下的課堂之前．教師可以利用互聯(lián)網(wǎng)平臺收集學生對課前任務(wù)的完成情況并作數(shù)據(jù)分析；課堂之中，教師可以及時根據(jù)學生的反饋情況，對教學方法與內(nèi)容難度進行適當調(diào)整；課堂之后．根據(jù)不同學生的作業(yè)反饋．為學生推送個性化的練習與探究性的學習素材．例如，本課后的層次2和層次3的作業(yè)學生直接完成有一定困難．教師可以引導(dǎo)學生運用互聯(lián)網(wǎng)平臺進行資料查閱、在線討論和成果反饋．

基金項目：2022年內(nèi)江市教育局高?；A(chǔ)教育研究專項課題“指向數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的復(fù)習課教學研究”；2022年內(nèi)江市社科規(guī)劃項課題“中小學教師有效教育科研的提升策略研究”．