胡曉東 張鵬天 周福建 李昕桐 白亞超 陳超

摘要：水力壓裂后，儲層形成較多的迂曲裂縫，支撐劑在迂曲裂縫中的運移和鋪置規(guī)律尚不明確，在稠密顆粒流模型的基礎上耦合顆粒物料仿真軟件，模擬迂曲角度、支撐劑尺寸、注入速率、攜砂液密度和支撐劑密度對迂曲裂縫中支撐劑運移和砂堵的影響。結果表明：大多支撐劑會堆積在裂縫第一轉折角處，迂曲角度的變化會顯著影響支撐劑的運移和砂堵的發(fā)生，迂曲角度大，容易發(fā)生砂堵且砂堵程度嚴重；密度大和粒徑小的支撐劑發(fā)生砂堵時會形成致密的支撐劑堆積，加劇砂堵程度；注入速率大，支撐劑在裂縫中運移距離較遠，但注入速度和攜砂液密度的增加，會加劇砂堵程度。

關鍵詞：迂曲裂縫； 支撐劑運移； 砂堵預測； 數值模擬

中圖分類號：TE 357.12?? 文獻標志碼：A

文章編號：1673-5005（2024）03-0111-08?? doi：10.3969/j.issn.1673-5005.2024.03.012

Numerical simulation of proppant transport in tortuous fractures

HU Xiaodong1，2， ZHANG Pengtian1，2， ZHOU Fujian1，2， LI Xintong1，2， BAI Yachao1，2， CHEN Chao1，2

（1.State Key Laboratory of Petroleum Resources and Engineering， Beijing 102249， China;2.Unconventional Petroleum Research Institute， China University of Petroleum（Beijing）， Beijing 102249， China）

Abstract： After hydraulic fracturing， numerous tortuous fractures can be generated and formed in the reservoir， and the migration and distribution behavior of proppants in these tortuous fractures is not clear. In this study， in coupling with a simulation software of granular materials， a dense particle flow model was proposed to simulate the effects of tortuosity angle， proppant size， injection rate， carrying fluid density and proppant density on the migration of proppants and sand plugging in tortuous fractures. The results show that most proppants can accumulate at the location of first turning angle of the fracture. The variation in tortuosity angle can significantly affect the migration of proppants and the occurrence of sand plugging， with a higher tortuosity angle leading to more severe sand plugging. Proppants with higher density and smaller particle size tend to form dense proppant accumulation during sand plugging， exacerbating the severity of sand plugging. Higher injection rates can result in longer migration distances of proppants in the fracture， but increasing injection velocity and carrying fluid density can exacerbate the severity of sand plugging.

Keywords： tortuous fractures; proppant transport; sand plugging predictions; numerical simulation

近年來水力壓裂已經成為非常規(guī)增產改造的重要手段，支撐劑在裂縫中的運移和分布是水力壓裂的一個重要部分，由于地層的非均質性，水力壓裂形成許多迂曲裂縫，在支撐劑注入過程不能參照平面平行裂縫中支撐劑運移規(guī)律，因此研究支撐劑在迂曲裂縫中的運移十分關鍵［1-3］。水力壓裂形成的裂縫形態(tài)復雜，如果泵注設計不合理，壓裂施工過程中就會存在砂堵風險，支撐劑在裂縫中的堆積狀態(tài)決定了裂縫導流能力［4］，最終會影響采收率。通過調研國內外相關研究，發(fā)現目前對迂曲裂縫中支撐劑運移的研究較少，對迂曲裂縫內運移過程砂堵風險的討論鮮有提及，僅有的一些研究主要采用試驗的方法和Fluent數值模擬兩種途徑。然而，由于試驗場地限制和試驗條件難以控制且大多數的試驗適用于平直裂縫，試驗結果的準確性并不理想；采用Fluent進行模擬，無法精確模擬支撐劑顆粒的運移，無法進一步進行砂堵的模擬。針對上述問題，筆者采用Fluent和EDEM耦合［5］的方法進行模擬研究。稠密離散相模型（DDPM）是專門用來模擬稠密顆粒流的模型，可以理解為簡化了的離散元方法（DEM）［6］，該模型考慮了顆粒的空隙率以及碰撞，但是對于碰撞的計算進行了簡化，不是計算真實的碰撞過程，因此為了更加真實地模擬支撐劑的碰撞過程，筆者在DDPM模型的基礎上耦合EDEM軟件來模擬支撐劑的運移過程，直觀地觀察支撐劑的運移過程，分析迂曲裂縫內支撐劑運移的影響因素以及對應工況下裂縫入口壓力特征，為砂堵預測預警提供有效建議。

1 模型的開發(fā)與驗證

通過調研以前的支撐劑運移數值模擬研究，發(fā)現數值模型主要分為歐拉-拉格朗日模型和歐拉-歐拉模型兩種類型。歐拉-拉格朗日模型［7］將流體看作連續(xù)相，顆粒看作離散相，用歐拉法處理流體運動，拉格朗日方法計算顆粒運動軌跡。歐拉-拉格朗日模型計算結果精確，但耗費時間較長。歐拉-歐拉模型把流體和顆粒看成一種混合的連續(xù)相進行計算，通過歐拉-歐拉模型可以快速獲得模擬結果。但是歐拉-歐拉模型把固液作為一個整體計算，無法得到顆粒的運動軌跡。

Larry等［8］使用透明測試儀研究了水基凍膠壓裂液中的支撐劑運移規(guī)律，但由于試驗方案設計不足，試驗沒有取得成功。Nolte［9］提出了一種廣泛用于支撐劑運移研究的方法。在這個方法中定義了流體效率，它是用裂縫體積除以注入流體體積，其目的是準確且較為簡單地研究支撐劑運移過程。然而，上述兩個模型都只適用于使用高黏度的攜砂液且不考慮支撐劑沉降過程。Siddhamshetty等［10］提出了一個用于頁巖中低黏度流體的支撐劑運移模型，該模型中的支撐劑運移是由歐拉-歐拉模型模擬的。由于支撐劑被認為是連續(xù)相，其間的相互作用如碰撞和分散不能被準確模擬。因此使用歐拉-歐拉模型進行支撐劑運移設計不準確。

在歐拉-拉格朗日模型的基礎上設計一個實驗室規(guī)模的支撐劑運移模型。假設：攜砂液是牛頓流體；攜砂液在裂縫中的濾失忽略不計。

1.1 數學模型

本文中的模型是基于稠密離散相法DDPM［11］建立的。DDPM模型是歐拉-拉格朗日模型的一個子類型模型，被廣泛用于石油工程中的支撐劑運移模擬。為了更加真實地描述和模擬支撐劑在迂曲裂縫的運移過程，通過DDPM模型接口建立了CFD-DEM耦合模型。CFD-DEM耦合模型可以直觀準確地模擬支撐劑運移問題。

流場采用CFD方法求解，流體流動過程方程式［12］為

u=0，（1）

ρut+ρ（u）u=-p+μ2.（2）

式中，ρ為流體密度，kg/m3；u為流體速度，m/s；p為流體壓力，Pa；

μ為流體黏度，Pa·s。

式（1）、（2）稱為納維-斯托克斯方程，滿足了流體的質量和動量守恒。顆粒運動采用DEM方法求解。該方法將牛頓第二定律應用于單個粒子軌跡的計算，該軌跡由作用于每個粒子的力和力矩的總和產生。粒子運動方程［13］為

mp=dvpdt=Fp，f+Fp，p+Fp，w+Fb，（3）

Ip=dωpdt=rpFt.（4）

式中，mp為粒子質量，kg；vp為粒子速度，m/s；t為時間，s；

Fp，f為周圍流體施加在粒子上的力，N；Fp，p為粒子與粒子間接觸力，N；

Fp，w為粒子與壁面間接觸力，N；Fb為粒子體積力，N；rp為粒子半徑，m；Ft為作用在粒子上的切向力，N；Ip為粒子的轉動慣量，對于球形粒子， Ip為（2/5）mpr2p，kg·m2 ；wp為粒子角速度，s-1。

根據Hertz的法向接觸理論［14］和Mindin等的切向接觸理論［15］，Fp，p由法向力和切向力組合表示為

Fp，p=（knδn-γnΔup）+（ktδt-γtΔut）.（5）

式中，k為彈力系數，N/m；δ為重疊高度，m；γ為阻尼系數，N·s/m；Δu為接觸點處的相對速度，m/s;下標n和t分別表示法向和切向。彈力系數和阻尼系數可以根據粒子材料特性得出［16］。

流體作用在粒子上的力［17］表示為

Fp，f=∫（-p+μ2u）dΩs.（6）

式中，Ωs為粒子域。

由于攜砂液攜帶支撐劑在裂縫中的流動形態(tài)為湍流流態(tài)，因此本文中全部采用標準K-E模型［18］，其中K為紊流脈動動能，K越大表明紊流脈動長度和時間尺度越大；E為紊流脈動動量的耗散率，E越大代表紊流脈動長度和時間尺度越小。

1.2 物理模型

采用三維迂曲裂縫模型來模擬迂曲裂縫中的支撐劑運移過程。建立一條長0.4 m、高0.1 m和寬0.002 m、迂曲角度為45°的裂縫中固液兩相流模型，利用Fluent和EDEM耦合的方法對迂曲裂縫中的支撐劑運移和砂堵預測進行模擬。圖1為基本案例模型。

1.3 模型驗證

首先建立一個三維垂直平面裂縫模型，用于模型驗證。裂縫的長度、高度和寬度分別為0.381、0.0762和0.002 m，網格總數為10000，支撐劑粒徑、質量分數和密度分別為0.6 mm、1.3%和2650 kg/m3，攜砂液密度和黏度分別為1000 kg/m3和0.001 Pa·s，注入速度為0.3 m/s。圖2為裂縫長度和高度方向的網格和幾何形狀。在模擬中使用了速度入口和壓力出口。假設為湍流流態(tài)，壓力-速度耦合與校正采用SIMPLE算法［19］。動量和體積分數的空間離散化處理采用QUICK方案 ［20］。為了便于收斂，湍流動能方程和湍流耗散率系數方程采用一階迎風格式［21］。

通過Tong等［22］的試驗數據和Hu等［23］的模擬結果來驗證本文的模型。比較注入速度為0.3 m/s時的支撐劑分布情況，結果如圖3所示，可以看到該模型中支撐劑床的分布與試驗數據相似。為了更加清楚地比較結果，采用無量綱支撐劑運移長度（支撐劑運移長度與裂縫總長度之比，DPBL）和無量綱支撐劑床層高度（最大支撐劑床層高度和總裂縫高度的比，DPBH）［23］。相同條件下，Tong等、Hu等［23］和本文中無量綱支撐劑運移長度分別為86.27%、95.10%和90.20%，無量綱支撐劑床層高度分別為50%、45%和57.14%。本文模型結果和文獻［22］試驗結果及文獻［23］模擬結果之間的DPBL的最大誤差為4.9%，DPBH的最大誤差為12.14%，說明本文的模型與試驗結果有合理的匹配。本文中模型與Tong等的試驗誤差主要是由于試驗中的分支縫，試驗中存在一個旁路，這導致支撐劑運移到二級裂縫中；與Hu等的模擬結果存在誤差的原因在于本文的顆粒運移計算采用EDEM軟件，而在文獻［23］中的模擬，顆粒和流體都是用ANSYSFLUENT軟件進行計算的。

2 數值模擬結果分析

通過數值模擬的方法研究迂曲角度、支撐劑尺寸、注入速率、支撐劑密度、裂縫寬度和支撐劑密度對迂曲裂縫中支撐劑沉降和砂堵的影響。

2.1 基本案例

基本案例，裂縫的長度、高度和寬度分別為0.4、0.1和0.002 m，支撐劑粒徑、質量分數和密度分別為0.6 mm、1.3%和2650 kg/m3，攜砂液密度和黏度分別為1000 kg/m3和0.001 Pa·s，注入速度為0.3 m/s。圖4為支撐劑運移與砂堵情況。由圖4可以看出，攜砂液攜帶的支撐劑最初傾向于在第一段裂縫的下部區(qū)域沉淀并形成支撐劑床。隨著支撐劑的不斷注入，支撐劑在裂縫寬度變窄時，首先在第一轉折角形成支撐劑堆積，隨支撐劑不斷增多最終形成密實的支撐劑堆積，阻礙后進入的支撐劑運移，這時入口壓力激增形成砂堵。

2.2 迂曲角度對支撐劑運移和砂堵的影響

圖5為不同迂曲角度下注入時間為2 s時支撐劑的運移和砂堵狀況。在迂曲角度為0°時，支撐劑運移距離較遠，由于整個裂縫寬度相同，支撐劑的堆積面是一個平穩(wěn)的曲線面，同時在壓力曲線上，裂縫的入口壓力沒有劇烈變化，因而沒有發(fā)生砂堵現象；當迂曲角度增到15°時，可以明顯地看到在兩個裂縫轉折處支撐劑堆積呈現翹角的狀態(tài)，這是由于在裂縫轉折處裂縫變窄，流體與支撐劑的流動方向和速度發(fā)生改變，但其裂縫入口壓力也沒有劇烈變化，未出現砂堵現象；當迂曲角度增到30°和45°時，支撐劑大部分堆積在第一段裂縫內且在第一個轉折處出現翹角，翹角的出現阻礙了支撐劑的運移，同時裂縫入口壓力都在2 s內的某一時刻發(fā)生激增，出現了砂堵現象。

在迂曲角度為30°和45°的裂縫中，2 s內發(fā)生了砂堵現象。通過計算可得45°迂曲裂縫入口壓力突變時間和入口壓力峰值時間比30°迂曲裂縫的分別提前了34%和29%，而入口壓力峰值卻只比30°迂曲裂縫的高了1.7%。這說明迂曲角度會影響砂堵形成的時間，對支撐劑封堵裂縫的嚴重程度影響較小。迂曲角度越小，支撐劑運移長度越長，且越不容易形成砂堵。

2.3 注入速率對支撐劑運移和砂堵的影響

在壓裂施工過程中，注入速率是影響支撐劑運移的重要參數。不同注入速率的支撐劑運移與砂堵情況如圖6所示。

當注入速率為0.1 m/s時，可以看出在2 s時，支撐劑的運移尚未到達裂縫第一轉折角處，支撐劑主要堆積在注入口附近，其裂縫入口壓力在2 s內沒有激增變化；注入速率為0.2 m/s時，支撐劑已經運移到裂縫第一個轉折角處，且在第一個轉折角前形成了大量沉積，入口壓力在2 s內也沒有發(fā)生激增，說明2 s時雖然支撐劑大量堆積在第一段裂縫中，轉折角處幾乎被支撐劑堆滿，但其入口處還可以進入流體和支撐劑，不會出現砂堵現象；注入速率為0.3和0.4 m/s時，支撐劑雖然有運移更遠距離的趨勢，但是裂縫發(fā)生轉折，使其寬度以及流體、支撐劑運移方向和速度改變，只有極少量的支撐劑可以通過第一個裂縫轉折處進入第二段裂縫內，同時堆積在轉折處的支撐劑墻阻礙著后進入的流體和支撐劑。在入口壓力曲線上，也可以看到0.3 和0.4 m/s的入口壓力均在2 s內發(fā)生激增，即在該時刻發(fā)生了砂堵現象。注入速率為0.4 m/s的裂縫入口壓力開始突變時間和入口壓力峰值時間比0.3 m/s的提前了71%和73%，入口壓力峰值也比0.3 m/s的提高了38%。這說明注入速率的增加在一定程度上確實可以使支撐劑運移的更遠，但是當支撐劑在迂曲角前已形成堆積時，增加注入速率會提前砂堵發(fā)生的時間也會增加支撐劑封堵裂縫的嚴重程度。

2.4 支撐劑粒徑對支撐劑運移和砂堵的影響

迂曲角度為45°，支撐劑以0.3 m/s的固定速率注入，入口支撐劑質量分數恒定為10%，不同粒徑支撐劑運移和砂堵情況如圖7所示。

從圖7中可以看出：粒徑為0.4 mm的支撐劑在通過裂縫時，只要有很少的一部分在裂縫第一個轉折角處堆積就會形成砂堵；粒徑為0.5 和0.6 mm的支撐劑通過裂縫時，支撐劑在2 s內也會在裂縫的第一個轉折角度堆積，最終造成砂堵；粒徑為0.7 mm的支撐劑通過裂縫時，支撐劑也會在第一個轉折角處形成堆積，但0.7 mm的支撐劑在2 s內雖有堆積，但其未造成砂堵。同時，隨著支撐劑粒徑的增大，裂縫第一個轉折角前形成的支撐劑堆積增多。說明支撐劑粒徑越大，其形成的支撐劑堆積越不致密，其中的縫隙越容易使流體通過。粒徑為0.4、0.5和0.6 mm的支撐劑入口壓力都在不到2 s發(fā)生了激增，而粒徑0.7 mm的支撐劑入口壓力在2 s內幾乎沒有變化。這也說明0.4、0.5 和0.6 mm粒徑的支撐劑在運移過程中都造成了砂堵，而0.7 mm粒徑的支撐劑運移過程中，2 s內并未發(fā)生砂堵。同時支撐劑顆粒越小，入口壓力激增的時間越靠前，迂曲裂縫越快形成砂堵，同時支撐劑粒徑越小，封堵裂縫的程度越嚴重。

2.5 攜砂液密度對支撐劑運移和砂堵的影響

圖8為不同攜砂液密度下發(fā)生砂堵時的情況。從圖8中可以看出，當發(fā)生砂堵前一時刻，不同攜砂液密度下，支撐劑沉積情況和在第一轉折角前形成的支撐劑堆積幾乎相同。攜砂液密度為

1000、950 和900 kg/m3時入口壓力先發(fā)生突變，且發(fā)生突變的時間也幾乎相同，而攜砂液密度為850 kg/m3時入口壓力突變時間稍滯后。這說明在密度較大的攜砂液里支撐劑沉降較慢，支撐劑可以更快地隨攜砂液到達裂縫第一轉折角處，從而造成砂堵。裂縫入口處最大壓力對應的攜砂液密度依次為1000、950、900、850 kg/m3。在迂曲裂縫中，攜砂液密度越大越容易形成砂堵且支撐劑封堵裂縫程度嚴重。

2.6 支撐劑密度對支撐劑運移和砂堵的影響

裂縫迂曲角度為45°，支撐劑以0.3 m/s的固定速率注入，入口支撐劑質量分數恒定為10%，不同支撐劑密度下支撐劑運移和砂堵情況如圖9所示。

角處形成支撐劑堆積。隨著支撐劑密度增大，發(fā)生砂堵時支撐劑在轉折角度形成的砂堵堆積越多。這就說明支撐劑密度越小，支撐劑在運移過程中越不容易沉降，其運移到裂縫轉折角處的時間也就越短，越快速地在裂縫轉折角處形成支撐劑堆積，從而造成砂堵。同時，隨著支撐劑密度的增大，迂曲裂縫入口壓力激增的時間也在不斷增大。這也說明支撐劑密度越大，形成砂堵的時間越晚，但是迂曲裂縫入口壓力峰值在整體規(guī)律上卻在不斷增大，砂堵裂縫的程度越嚴重。

3 結 論

（1）支撐劑在迂曲裂縫中的運移過程中，大多數支撐劑會在第一個轉折角處形成沉積，最終形成砂堵。

（2）迂曲角度會顯著影響迂曲裂縫中支撐劑的運移和砂堵現象的發(fā)生，在現場壓裂施工的過程中應盡量避免大角度裂縫的形成。

（3）注入速率越大，支撐劑運移的越遠。但是當裂縫轉折角處形成支撐劑堆積時，增大注入速率只會更快更嚴重地形成砂堵。

（4）支撐劑的粒徑并不是越小越好。較小的支撐劑形成支撐劑堆積比較致密，不容易使流體和支撐劑通過，會加重支撐劑封堵裂縫的程度。

（5）攜砂液的密度對支撐劑的運移影響較小，但密度較大的攜砂液會加快砂堵的形成，且加重支撐劑封堵裂縫的程度。

（6）支撐劑密度越大，在迂曲裂縫中形成砂堵的時間越慢。但是支撐劑密度并不是越大越好，較重的支撐劑會加重裂縫的封堵程度。

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（編輯 李志芬）

基金項目：國家自然科學基金聯(lián)合基金項目（U23B2084）

第一作者及通信作者：胡曉東（1990-），男，副研究員，博士，研究方向為水力壓裂裂縫擴展/支撐劑運移機制、水力壓裂診斷與評估、智能壓裂。E-mail： huxiaodong@cup.edu.cn。

引用格式：胡曉東，張鵬天，周福建，等.迂曲裂縫內支撐劑運移數值模擬［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2024，48（3）：111-118.

HU Xiaodong， ZHANG Pengtian， ZHOU Fujian， et al.