陳琴琴

[ 摘 要 ]“教學(xué)評(píng)一體化”作為一種教學(xué)思想與手段，將其應(yīng)用于課堂教學(xué)中，有利于提升教學(xué)效果和學(xué)習(xí)效率.在培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的過程中，教師作為課堂教學(xué)的引導(dǎo)者，必須更新教學(xué)觀念，突破傳統(tǒng)教學(xué)的束縛，重視“教學(xué)評(píng)一體化”的應(yīng)用，結(jié)合教學(xué)中的反饋進(jìn)行適時(shí)、適度的啟發(fā)和指導(dǎo)，以此逐步提升學(xué)生的幾何推理能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[ 關(guān)鍵詞 ]垂線段；最短；定義；模型；最值

基金項(xiàng)目：福建省福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于教學(xué)評(píng)一體化的初中生幾何推理能力培養(yǎng)行動(dòng)研究”（FZ2023GH051）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，完整的教學(xué)活動(dòng)包括教、學(xué)、評(píng)三個(gè)方面.在課堂教學(xué)中，要把教、學(xué)與評(píng)價(jià)相互整合，既要考慮教什么、怎么教，為什么教，明確教學(xué)中學(xué)生應(yīng)具有的學(xué)習(xí)效果，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，了解學(xué)生學(xué)會(huì)了什么，有沒有達(dá)到預(yù)期要求，并根據(jù)實(shí)際反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)策略，真正做到“教學(xué)評(píng)一體化”.不過在實(shí)際教學(xué)中，部分教師為了趕進(jìn)度，只管教什么和怎么教，卻不關(guān)注教學(xué)結(jié)果，只是為了教而教.教、學(xué)、評(píng)的相互分離，很容易使課程的實(shí)施偏移預(yù)設(shè)的軌道，影響教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果.因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要明確教學(xué)目標(biāo)與學(xué)習(xí)結(jié)果，進(jìn)而為教與學(xué)提供方向，為評(píng)提供依據(jù).

若想學(xué)好初中數(shù)學(xué)，學(xué)生需要具備一定的幾何推理能力，但是從目前整體水平來看，很多學(xué)生幾何推理能力存在不足，表現(xiàn)為推理意識(shí)不強(qiáng)，并未形成良好的推理習(xí)慣，思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性、變通性.為了改變這一局面，教學(xué)中教師不僅要關(guān)注自身的教，更要關(guān)注學(xué)生的學(xué)，要提供時(shí)間和空間讓學(xué)生思考與探究，并結(jié)合課堂生成進(jìn)行適時(shí)的評(píng)價(jià)和引導(dǎo)，真正做到教學(xué)評(píng)一體化，推動(dòng)學(xué)生幾何推理能力的提升.下面，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)分析培養(yǎng)學(xué)生幾何推理過程中存在的問題，并提出幾點(diǎn)建議.

培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力過程中存在的問題

1.缺乏一定的幾何推理意識(shí)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師側(cè)重于教，常常大包大攬，忽視了學(xué)生的學(xué).“以教代學(xué)”的教學(xué)模式影響學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升，影響學(xué)生幾何推理能力的培養(yǎng).從整體來看，初中生普遍存在推理意識(shí)不強(qiáng)的問題，表現(xiàn)為思路混亂.

例如，如圖1，在△ABC中，AC=AB=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD上兩點(diǎn)，求陰影部分的面積.問題給出后，大多數(shù)學(xué)生首先想到的就是分別計(jì)算出陰影部分的面積，再將各陰影部分的面積相加，但是根據(jù)已知，無法計(jì)算出AE，EF，F(xiàn)D的長度，所以沒有得到答案.之所以出現(xiàn)以上情況，是因?yàn)閷W(xué)生還沒有形成推理習(xí)慣，解題時(shí)習(xí)慣于生搬硬套.根據(jù)已知條件可知△ABC是等腰三角形，又AD是△ABC的中線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”定理可知，AD也是等腰三角形的高，所以△ABD和△ADC的面積相等.又BD = DC，且AD⊥BC，所以S△BEF=S△CEF，這樣問題便轉(zhuǎn)化為求△ABC面積的一半.對(duì)于該題，如果學(xué)生有較好的幾何推理意識(shí)和轉(zhuǎn)化意識(shí)，問題便可迎刃而解.

2.缺乏數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，常常是“一字之差，謬以千里”.在幾何問題的解決過程中，答案的準(zhǔn)確與否取決于每個(gè)推理環(huán)節(jié)結(jié)論準(zhǔn)確與否，只有確保每步推理都是合理的、正確的，才能得到正確的答案.顯然其對(duì)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性有著較高的要求.

3.缺乏足夠的合情推理能力

在教學(xué)中，課堂教學(xué)側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，而忽視對(duì)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，使得學(xué)生對(duì)合情推理方面的知識(shí)與技能掌握較少.合情推理的結(jié)論雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但它在很多時(shí)候是演繹推理的“引路人”.

例如，以圖1中計(jì)算陰影部分的面積為例，若學(xué)生通過觀察能夠猜想出所求陰影面積為△ABC面積的一半，那么學(xué)生在解題時(shí)就可以此為條件，反向?qū)ふ揖€索.不過從學(xué)生的解題反饋來看，大多數(shù)學(xué)生的合情推理能力不高，他們局限于根據(jù)已知條件來推導(dǎo)答案.

培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的策略研究

1.培養(yǎng)推理意識(shí)，提升學(xué)生幾何推理能力

推理意識(shí)應(yīng)是初中生應(yīng)具備的素養(yǎng)之一.在幾何教學(xué)中，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，教師首先要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何證明的樂趣，讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣；其次要重視概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力；最后要引導(dǎo)學(xué)生梳理解題過程，并鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新推理方法.逐層的引導(dǎo)與訓(xùn)練，能為學(xué)生幾何推理能力的提升打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.精心設(shè)計(jì)問題，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力

學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)緩慢的過程，需要教師在日常教學(xué)中慢慢啟發(fā)、引導(dǎo).教師要改變傳統(tǒng)的講練模式，給學(xué)生提供一定的觀察、思考、探索、歸納的時(shí)間和空間，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的合情推理能力.在具體實(shí)施過程中，教師可以精心設(shè)計(jì)問題鏈，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作探究，同時(shí)對(duì)各種課堂生成給予及時(shí)的、正面的評(píng)價(jià)，以有效規(guī)避講練模式的枯燥感，通過教學(xué)評(píng)一體化的應(yīng)用，潛移默化地提升學(xué)生的合情推理能力.

例如，學(xué)習(xí)了四邊形相關(guān)知識(shí)后，教師從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計(jì)了如下問題鏈：

（1）已知E，F(xiàn)，G，H是平行四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，試猜想四邊形EFGH是什么四邊形，并加以證明；

（2）已知E，F(xiàn)，G，H是矩形ABCD各邊中點(diǎn)，試猜想四邊形EFGH是什么四邊形，并加以證明；

（3）已知E，F(xiàn)，G，H是菱形ABCD各邊中點(diǎn)，試猜想四邊形EFGH是什么四邊形，并加以證明；

（4）已知E，F(xiàn)，G，H是正方形ABCD各邊中點(diǎn)，試猜想四邊形EFGH是什么四邊形，并加以證明；

（5）已知E，F(xiàn)，G，H是任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，試猜想四邊形EFGH是什么四邊形，并加以證明.

教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫一畫、量一量，結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出自己的猜想，并鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)幾何基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行推理、驗(yàn)證.在此過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生爭論，并提供機(jī)會(huì)進(jìn)行生生互評(píng)，以此通過經(jīng)歷操作、猜想、推理、驗(yàn)證、爭論、評(píng)價(jià)等過程，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的幾何推理能力.

3.重視解題規(guī)范，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

幾何證明是幾何教學(xué)的重中之重，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的必經(jīng)之路.對(duì)于初學(xué)幾何證明的初一新生來講，幾何證明是一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生對(duì)幾何證明的學(xué)習(xí)主要源于教師的講授，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明大多從模仿開始.教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮例、習(xí)題的示范功能，幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范解答的好習(xí)慣，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生的幾何推理能力.教師不要急于呈現(xiàn)證明過程，應(yīng)先帶領(lǐng)學(xué)生思考這樣幾個(gè)問題：（1）證明該題需要分幾步？（2）先證什么？（3）再證什么？這樣通過逐層分析得到解題路徑后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生將問題進(jìn)行到底，并讓學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，以幫助學(xué)生形成解題規(guī)范，提高學(xué)生的幾何推理能力.

例如，如圖2，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，求證：AE=CG.

在幾何教學(xué)中，尤其在學(xué)生初學(xué)幾何證明時(shí)，教師一定要重視學(xué)生的書寫規(guī)范，確保證明過程嚴(yán)謹(jǐn)、順暢，每步都有理有據(jù)，有效避免出現(xiàn)一些“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

總之，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力不是一蹴而就的，教學(xué)中教師要分析影響學(xué)生幾何推理能力提升的原因，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際適度引導(dǎo)，以此通過“教學(xué)評(píng)一體化”教學(xué)原則的落實(shí)，提升課堂教學(xué)效果，發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力.